מבחן לדוגמה: מעוין: הגדרה, תכונות האלכסונים ומשפטי זיהוי - כיתה ט'

נתון: $BD=26$ ס"מ. חשבו את היקף המעוין $AOBE$.

נתון: $\angle AOB=50^\circ$. חשבו את ארבע הזוויות של המעוין $AOBE$ ואת $\angle OAD$.

נתון (במעלות): $\angle BAC=x+9$, $\angle DAC=3x-21$. מצאו את $x$, את $\angle BAD$ ואת $\angle ABC$. בדקו שסכום שתי הזוויות הסמוכות הוא $180^\circ$.

מחוץ למעוין, על הצלע $AB$, בונים משולש שווה צלעות $ABE$, ומחברים את $D$ ל-$E$. היעזרו בסעיף א וחשבו את $\angle DAE$ ואת $\angle ADE$.

חשבו את שטח המעוין ואת אורך הצלע שלו.

חשבו את הגובה של המעוין, כלומר את המרחק בין הצלעות $AB$ ו-$DC$. כתבו תשובה מדויקת (שבר), בלי לעגל.

שני תלמידים טעו. גיל חישב את השטח כך: $30\cdot16=480$. רוני חישב את הצלע כך: $AB^2=AC^2-BD^2=900-256$. הסבירו כל טעות, ובדקו בעזרת התשובות של סעיף א.

הסבירו בעזרת שטח המעוין למה $AE=AF$.

נתון: $\angle EAF=50^\circ$. חשבו את ארבע זוויות המעוין. יעל אומרת: "מספיק לדעת ש-$AE=AF$ כדי לחשב את זוויות המעוין." האם היא צודקת? נמקו.

בסעיף זה לא משתמשים בנתון של סעיף ב. במעוין $ABCD$ (צלעו $10$ ס"מ) נתון $AE=8$ ס"מ. חשבו את שטח המעוין ואת $BE$ ו-$EC$.

במעוין אחר $KLMN$, שגם צלעו $10$ ס"מ, נתון $\angle L=30^\circ$. $KH$ הוא הגובה לצלע $LM$. חשבו את $KH$ ואת שטח המעוין, והשוו לשטח ריבוע שצלעו $10$ ס"מ.

הוכיחו שתי טענות: (1) אם $OE=OF$, אז $EBFD$ מעוין. (2) אם $EBFD$ מעוין, אז $OE=OF$.

הראו גם שלא כל בחירה של $E$ ו-$F$ נותנת מעוין: חשבו את $EB$ ואת $FB$ כאשר $OE=5$ ס"מ ו-$OF=9$ ס"מ.

מצאו את $OE$ שעבורו $EBFD$ ריבוע, הוכיחו שבבחירה הזו הוא אכן ריבוע, וחשבו איזה חלק משטח $ABCD$ הוא שטחו.

נועה רוצה לבחור את $E$ ואת $F$ כך ש-$EBFD$ יהיה מעוין שצלעו $11$ ס"מ. הסבירו למה זה בלתי אפשרי.

חשבו את אורכי ארבע הצלעות של $ABCD$. האם $ABCD$ מעוין? האם הוא דלתון? מה מראה הדוגמה על הטענה של גיל?

חשבו את השטחים של ארבעת המשולשים $AOB$, $BOC$, $COD$ ו-$DOA$ ואת השטח של $ABCD$. בדקו ש-$\frac{AC\cdot BD}{2}$ נותן את אותו שטח, ובדקו ש-$S_{AOB}\cdot S_{COD}=S_{BOC}\cdot S_{DOA}$.

נתון מרובע קמור כלשהו $PQRS$ שהאלכסונים שלו מאונכים ונחתכים בנקודה $O$. נסמן: $OP=a$, $OQ=b$, $OR=c$, $OS=d$. הסבירו למה השטח של $PQRS$ הוא $\frac{PR\cdot QS}{2}$, ולמה $S_{POQ}\cdot S_{ROS}=S_{QOR}\cdot S_{SOP}$.