שאלות פתוחות: מעוין: הגדרה, תכונות האלכסונים ומשפטי זיהוי - כיתה ט'

חשבו את שטח המעוין ואת אורך הצלע שלו.

חשבו את הגובה של המעוין, כלומר את המרחק בין הצלעות $AB$ ו-$DC$. כתבו תשובה מדויקת (שבר), בלי לעגל.

שני תלמידים טעו. גיל חישב את השטח כך: $30\cdot16=480$. רוני חישב את הצלע כך: $AB^2=AC^2-BD^2=900-256$. הסבירו כל טעות, ובדקו בעזרת התשובות של סעיף א.

נתון (במעלות): $\angle BAC=x+9$, $\angle DAC=3x-21$. מצאו את $x$, את $\angle BAD$ ואת $\angle ABC$. בדקו שסכום שתי הזוויות הסמוכות הוא $180^\circ$.

מחוץ למעוין, על הצלע $AB$, בונים משולש שווה צלעות $ABE$, ומחברים את $D$ ל-$E$. היעזרו בסעיף א וחשבו את $\angle DAE$ ואת $\angle ADE$.

חשבו את אורכי ארבע הצלעות של $ABCD$. האם $ABCD$ מעוין? האם הוא דלתון? מה מראה הדוגמה על הטענה של גיל?

חשבו את השטחים של ארבעת המשולשים $AOB$, $BOC$, $COD$ ו-$DOA$ ואת השטח של $ABCD$. בדקו ש-$\frac{AC\cdot BD}{2}$ נותן את אותו שטח, ובדקו ש-$S_{AOB}\cdot S_{COD}=S_{BOC}\cdot S_{DOA}$.

נתון מרובע קמור כלשהו $PQRS$ שהאלכסונים שלו מאונכים ונחתכים בנקודה $O$. נסמן: $OP=a$, $OQ=b$, $OR=c$, $OS=d$. הסבירו למה השטח של $PQRS$ הוא $\frac{PR\cdot QS}{2}$, ולמה $S_{POQ}\cdot S_{ROS}=S_{QOR}\cdot S_{SOP}$.

נתון: $\angle ABO=2\cdot\angle BAO$. מצאו את ארבע זוויות המעוין.

איזה מאלכסוני המעוין של סעיף א ארוך יותר? נמקו בעזרת הזוויות של המשולש $ABO$.

במעוין אחר, $KLMN$, הזווית שבין הצלע $LK$ לאלכסון $LN$ שווה לזווית המעוין שבקודקוד $K$: $\angle KLN=\angle LKN$. מצאו את זוויות המעוין. דני אומר: "אם זווית בין צלע לאלכסון שווה לזווית של המעוין, המעוין חייב להיות ריבוע." האם הוא צודק? נמקו בעזרת הזוויות שמצאתם.

נתון: $AB=5x-12$ ו-$BC=2x+3$. מצאו את $x$, בדקו את התשובה בשתי הצלעות, וחשבו את היקף המעוין. האם הנתונים האלה קובעים גם את שטח המעוין? נמקו.

נתון: $AO=2y+1$, $OC=5y-8$ ו-$BD=48$. מצאו את $y$ ואת אורך האלכסון $AC$. חשבו את אורך הצלע ואת היקף המעוין. באילו תכונות של האלכסונים השתמשתם?

הוכיחו שתי טענות: (1) אם $OE=OF$, אז $EBFD$ מעוין. (2) אם $EBFD$ מעוין, אז $OE=OF$.

הראו גם שלא כל בחירה של $E$ ו-$F$ נותנת מעוין: חשבו את $EB$ ואת $FB$ כאשר $OE=5$ ס"מ ו-$OF=9$ ס"מ.

מצאו את $OE$ שעבורו $EBFD$ ריבוע, הוכיחו שבבחירה הזו הוא אכן ריבוע, וחשבו איזה חלק משטח $ABCD$ הוא שטחו.

נועה רוצה לבחור את $E$ ואת $F$ כך ש-$EBFD$ יהיה מעוין שצלעו $11$ ס"מ. הסבירו למה זה בלתי אפשרי.

דרך $A$ ודרך $C$ מעבירים ישרים המקבילים ל-$BD$, ודרך $B$ ודרך $D$ מעבירים ישרים המקבילים ל-$AC$. ארבעת הישרים יוצרים את המרובע $PQRS$.

הסבירו למה $PQRS$ מלבן. חשבו את שטחו ואת שטח המעוין.

הנקודה $K$ על $OA$, הנקודה $L$ על $OB$, והנקודה $T$ על הצלע $AB$, כך ש-$OKTL$ מלבן ($KT\parallel OB$, $LT\parallel OA$). נתון $OK=7$ ס"מ.

היעזרו בשטחי המשולשים $AOT$ ו-$BOT$ שסכומם שטח המשולש $AOB$, ומצאו את $KT$. חשבו את היקף המלבן $OKTL$ ואת שטחו.

איזה חלק משטח המעוין הוא שטח המלבן $OKTL$? האם $OKTL$ יכול להיות ריבוע? אם כן, מה צריך להיות $OK$?

$KLMN$ הוא מעוין. אורכי שתי צלעות סמוכות שלו נתונים בס"מ: $KL=4x-9$ ו-$LM=x+15$. מצאו את $x$ ואת היקף המעוין.

$PQRS$ הוא מעוין שאורך צלעו $15$ ס"מ. $PH$ הוא הגובה מהקודקוד $P$ לצלע $SR$, ואורכו $12$ ס"מ.

חשבו את שטח המעוין ואת אורך הקטע $SH$.

הוכיחו שהמשולש $ABC$ שווה צלעות. איזה מאלכסוני המעוין שווה לצלע? מה אורכו?

חשבו את אורך האלכסון $BD$ (אפשר להשאיר שורש) ואת שטח המעוין. הסבירו למה $BD$ אינו שווה לצלע.

$ABCD$ הוא מעוין שאלכסוניו נפגשים בנקודה $O$. נתון: $\angle OAB=x+12$ ו-$\angle OBA=3x+2$.

מצאו את $x$ ואת ארבע זוויות המעוין.

$KLMN$ הוא מעוין שאלכסוניו נפגשים בנקודה $T$. נתון: $\angle LKT=2x$ ו-$\angle KLN=x+30$.

מצאו את $x$ ואת ארבע זוויות המעוין.