מבחן לדוגמה: ריבוע: הגדרה, תכונות ומשפטי זיהוי - כיתה ט'

הוכיחו ש-$\triangle BCE\cong\triangle DCE$, והסבירו למה המרובע $ABED$ הוא דלתון. מהם קודקודי הראש שלו?

נתון: $\angle BEC=\angle DEC=20^\circ$. חשבו את ארבע הזוויות של המרובע $ABED$.

הוכיחו ש-$\triangle ABE\cong\triangle CBF$.

הוכיחו שהמשולש $BEF$ שווה שוקיים.

נתון: $\angle EBF=30^\circ$. חשבו את $\angle BEF$, את $\angle AEB$ ואת $\angle ABE$.

נתון: $\angle CBK=25^\circ$. חשבו את $\angle BCA$, את $\angle BQC$ ואת הזווית הצמודה לה $\angle AQB$. חשבו גם את $\angle BKC$.

נסמן $\angle CBK=\alpha$. בטאו בעזרת $\alpha$ את $\angle ABQ$ ואת $\angle AQB$, ומצאו את $\alpha$ שעבורו המשולש $ABQ$ שווה שוקיים עם $AB=AQ$.

הראו שארבעת המשולשים שנוצרים בפינות של $ABCD$ חופפים, והסיקו מהם ש-$KLMN$ ריבוע.

הוכיחו ש-$KL$ מקביל לאלכסון $AC$. נמקו בעזרת זוויות מתאימות.

נתון: צלע הריבוע $ABCD$ היא $6$ ס"מ. פי כמה גדול השטח של $ABCD$ מהשטח של $KLMN$? ופי כמה גדול ההיקף שלו (בקירוב)? מדוע התשובות שונות?

הראו ששטח הריבוע $EFGH$ הוא $S=2x^2-20x+100$. מצאו את כל ערכי $x$ שעבורם $S=58$ סמ"ר. מה משותף לשני המיקומים, ומה שונה ביניהם?

הראו ש-$S-50=2(x-5)^2$. הסיקו שלכל $x$ מתקיים $S\ge50$, ומתי $S=50$. איפה נמצאות אז הנקודות $E$, $F$, $G$, $H$?

האם יש מיקום של הנקודות שבו שטח $EFGH$ הוא $40$ סמ"ר? מהו השטח הקטן ביותר האפשרי? נמקו בלי להסתמך על בדיקה של כמה ערכים של $x$ בלבד, והסבירו למה בדיקה כזו אינה מספיקה.

הוכיחו ש-$\triangle ABK\cong\triangle ADF$, והסיקו ש-$AK=AF$ ו-$\angle KAB=\angle FAD$.

הוכיחו ש-$\angle KAE=45^\circ$, ואחר כך ש-$\triangle KAE\cong\triangle FAE$.

הסיקו ש-$EF=BE+DF$, והוכיחו שהיקף המשולש $CEF$ שווה ל-$2s$ - לא חשוב איפה נמצאות $E$ ו-$F$ (כל עוד $\angle EAF=45^\circ$).

נתון $s=12$ ס"מ ו-$BE=4$ ס"מ. חשבו את $DF$ ואת $EF$. (רמז: סמנו $DF=d$ והשתמשו במשפט פיתגורס במשולש $CEF$.)