שאלות פתוחות: ריבוע: הגדרה, תכונות ומשפטי זיהוי - כיתה ט'

שאלות פתוחות על ריבוע לכיתה ט': תכונות, משפטי זיהוי וחישובים. בין השאלות: מציאת קודקודים של ריבוע במערכת צירים מתוך אלכסון, חישובים בריבוע שאלכסונו 16 ס"מ, נקודות על הצלעות במרחקים שווים מהקודקודים שיוצרות ריבוע פנימי, וזווית של 45° בין שני קטעים מקודקוד. יש גם קטע שחותך אלכסון ויוצר משולשים דומים. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות, ואפשר לבנות מהן מבחן או דף עבודה עם פתרונות להורדה ב-Word.

38 שאלותרמה א': 22רמה ב': 10מצוינות: 6

שאלה 1 · ריבוע שאלכסונו מקביל לציר x: שחזור הקודקודיםשאלת ביניים · רמה א'

הנקודות A(−1,5)A(-1,5)A(−1,5) ו-C(7,5)C(7,5)C(7,5) הן שני קודקודים נגדיים של הריבוע ABCDABCDABCD (ACACAC הוא אלכסון).
הקודקוד BBB נמצא מתחת לאלכסון ACACAC, והקודקוד DDD נמצא מעליו. MMM היא נקודת המפגש של האלכסונים.

א.

מצאו את השיעורים של MMM, ואת האורך של חצי אלכסון. נמקו.

ב.

על איזה ישר נמצאים הקודקודים BBB ו-DDD? כתבו את המשוואה שלו. מצאו את השיעורים של BBB ושל DDD, ופרטו באילו תכונות של האלכסונים בריבוע השתמשתם.

ג.

חשבו את אורך הצלע ABABAB, את ההיקף ואת השטח של הריבוע. חשבו את השטח בשתי דרכים: בעזרת הצלע, ובעזרת האלכסונים.

שאלה 2 · חלקים בתוך ריבועשאלת ביניים · רמה ב'

ABCDABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 121212 ס"מ. הנקודה EEE על הצלע ADADAD והנקודה FFF על הצלע BCBCBC, כך ש-EF∥ABEF\parallel ABEF∥AB ו-AE=4AE=4AE=4 ס"מ.
ABCDEF

א.

הסבירו למה ABFEABFEABFE מלבן, וחשבו את שטחו.

ב.

איזה חלק משטח הריבוע הוא שטח המלבן ABFEABFEABFE? מה שטח החלק EFCDEFCDEFCD שנשאר?

ג.

מחברים את EEE ל-CCC. הקטע ECECEC מחלק את הריבוע למשולש ECDECDECD ולטרפז ABCEABCEABCE. חשבו את שטח המשולש, ואת שטח הטרפז בשתי דרכים: כהפרש שטחים ולפי נוסחת שטח הטרפז.

שאלה 3 · זווית של $4 5^{\circ}$ בפינת הריבועשאלה מלאה · מצוינות

ABCDABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו sss. הנקודה EEE על הצלע BCBCBC והנקודה FFF על הצלע CDCDCD, כך ש-∠EAF=45∘\angle EAF=45^\circ∠EAF=45∘. מאריכים את CBCBCB מעבר ל-BBB עד הנקודה KKK, כך ש-BK=DFBK=DFBK=DF.
ABCDEFK

א.

הוכיחו ש-△ABK≅△ADF\triangle ABK\cong\triangle ADF△ABK≅△ADF, והסיקו ש-AK=AFAK=AFAK=AF ו-∠KAB=∠FAD\angle KAB=\angle FAD∠KAB=∠FAD.

ב.

הוכיחו ש-∠KAE=45∘\angle KAE=45^\circ∠KAE=45∘, ואחר כך ש-△KAE≅△FAE\triangle KAE\cong\triangle FAE△KAE≅△FAE.

ג.

הסיקו ש-EF=BE+DFEF=BE+DFEF=BE+DF, והוכיחו שהיקף המשולש CEFCEFCEF שווה ל-2s2s2s - לא חשוב איפה נמצאות EEE ו-FFF (כל עוד ∠EAF=45∘\angle EAF=45^\circ∠EAF=45∘).

ד.

נתון s=12s=12s=12 ס"מ ו-BE=4BE=4BE=4 ס"מ. חשבו את DFDFDF ואת EFEFEF. (רמז: סמנו DF=dDF=dDF=d והשתמשו במשפט פיתגורס במשולש CEFCEFCEF.)

שאלה 4 · זוויות בריבוע עם אלכסוןשאלה קצרה · רמה א'

ABCDABCDABCD הוא ריבוע. הנקודה KKK על הצלע CDCDCD, והקטע BKBKBK חותך את האלכסון ACACAC בנקודה QQQ.
ABCDKQ

א.

נתון: ∠CBK=25∘\angle CBK=25^\circ∠CBK=25∘. חשבו את ∠BCA\angle BCA∠BCA, את ∠BQC\angle BQC∠BQC ואת הזווית הצמודה לה ∠AQB\angle AQB∠AQB. חשבו גם את ∠BKC\angle BKC∠BKC.

ב.

נסמן ∠CBK=α\angle CBK=\alpha∠CBK=α. בטאו בעזרת α\alphaα את ∠ABQ\angle ABQ∠ABQ ואת ∠AQB\angle AQB∠AQB, ומצאו את α\alphaα שעבורו המשולש ABQABQABQ שווה שוקיים עם AB=AQAB=AQAB=AQ.

שאלה 5 · מהאלכסון של הריבוע לצלע ולשטחשאלת ביניים · רמה ב'

ABCDABCDABCD הוא ריבוע שאלכסוניו נפגשים בנקודה OOO. אורך האלכסון ACACAC הוא 161616 ס"מ.
ABCDO

א.

חשבו את שטח הריבוע בעזרת שני האלכסונים. אחר כך חשבו את אורך הצלע (אפשר להשאיר שורש, וגם בקירוב).

ב.

מהו המרחק של הקודקוד BBB מהאלכסון ACACAC? נמקו.

ג.

האלכסון ACACAC חותך מהריבוע את המשולש ABCABCABC. מה סוג המשולש הזה? מהן זוויותיו, ומהו שטחו? נמקו בעזרת המשולש למה AC>ABAC>ABAC>AB.

שאלה 6 · ריבוע פנימי לפי שטחשאלת ביניים · מצוינות

ABCDABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 101010 ס"מ. על הצלעות ABABAB, BCBCBC, CDCDCD, DADADA מסמנים את הנקודות EEE, FFF, GGG, HHH כך ש-AE=BF=CG=DH=xAE=BF=CG=DH=xAE=BF=CG=DH=x ס"מ (0<x<100<x<100<x<10). ידוע ש-EFGHEFGHEFGH ריבוע (ארבעת משולשי הפינה חופפים).
ABCDEFGH

א.

הראו ששטח הריבוע EFGHEFGHEFGH הוא S=2x2−20x+100S=2x^2-20x+100S=2x2−20x+100. מצאו את כל ערכי xxx שעבורם S=58S=58S=58 סמ"ר. מה משותף לשני המיקומים, ומה שונה ביניהם?

ב.

הראו ש-S−50=2(x−5)2S-50=2(x-5)^2S−50=2(x−5)2. הסיקו שלכל xxx מתקיים S≥50S\ge50S≥50, ומתי S=50S=50S=50. איפה נמצאות אז הנקודות EEE, FFF, GGG, HHH?

ג.

האם יש מיקום של הנקודות שבו שטח EFGHEFGHEFGH הוא 404040 סמ"ר? מהו השטח הקטן ביותר האפשרי? נמקו בלי להסתמך על בדיקה של כמה ערכים של xxx בלבד, והסבירו למה בדיקה כזו אינה מספיקה.

שאלה 7 · נקודות על האלכסונים של הריבועשאלה מלאה · רמה א'

ABCDABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 101010 ס"מ, ו-OOO היא נקודת המפגש של האלכסונים. בכל סעיף מסמנים נקודות על האלכסונים.

א.

הנקודה PPP נמצאת על האלכסון ACACAC. מ-PPP מורידים אנכים לצלעות: PK⊥ABPK\perp ABPK⊥AB (KKK על ABABAB) ו-PL⊥ADPL\perp ADPL⊥AD (LLL על ADADAD).
ABCDPKL
הוכיחו ש-AKPLAKPLAKPL ריבוע.

ב.

על האלכסון BDBDBD מסמנים את הנקודות EEE ו-FFF כך ש-BE=DF=2BE=DF=2BE=DF=2 ס"מ.
ABCDOEF
הוכיחו ש-AECFAECFAECF מעוין. האם הוא ריבוע? נמקו.

ג.

על האלכסון ACACAC מסמנים את הנקודה GGG כך ש-AG=ABAG=ABAG=AB. חשבו את ∠ABG\angle ABG∠ABG ואת ∠GBC\angle GBC∠GBC.

ד.

הנקודה PPP על האלכסון ACACAC, ו-KKK, LLL הם עקבי האנכים כמו בסעיף א. MMM היא עקב האנך מ-PPP לצלע BCBCBC.
ABCDPKLM
(1) הסבירו למה PK+PM=10PK+PM=10PK+PM=10 ס"מ לכל מיקום של PPP על ACACAC.
(2) נסמן AK=xAK=xAK=x. מצאו את כל המיקומים של PPP שבהם שטח הריבוע AKPLAKPLAKPL גדול פי 222 משטח המלבן KBMPKBMPKBMP. האם יש רק מיקום אחד?

שאלה 8 · ריבועים גדלים: מה קורה להיקף ולשטח?שאלה קצרה · רמה ב'

ענו על כל סעיף בנפרד.

א.

השלימו את הטבלה. פי כמה גדל ההיקף, ופי כמה גדל השטח, כשהצלע גדלה פי 222? ופי 333?
צלע (ס"מ)היקף (ס"מ)שטח (סמ"ר)
444
888
121212

ב.

צלע של ריבוע אחד aaa ס"מ, וצלע של ריבוע שני a+2a+2a+2 ס"מ. בכמה גדול ההיקף של השני מההיקף של הראשון? בכמה גדול השטח? האם התוספת לשטח תלויה ב-aaa?

שאלה 9 · מרובע מנקודות על אלכסון המעויןשאלה קצרה · מצוינות

ABCDABCDABCD הוא מעוין שאינו ריבוע. אלכסוניו נפגשים בנקודה OOO, ו-AC=32AC=32AC=32 ס"מ, BD=24BD=24BD=24 ס"מ. הנקודה EEE נמצאת על הקטע OAOAOA והנקודה FFF על הקטע OCOCOC (שתיהן שונות מ-OOO). מחברים כל אחת מהן ל-BBB ול-DDD.
ABCDOEF

א.

הוכיחו שתי טענות: (1) אם OE=OFOE=OFOE=OF, אז EBFDEBFDEBFD מעוין. (2) אם EBFDEBFDEBFD מעוין, אז OE=OFOE=OFOE=OF.
הראו גם שלא כל בחירה של EEE ו-FFF נותנת מעוין: חשבו את EBEBEB ואת FBFBFB כאשר OE=5OE=5OE=5 ס"מ ו-OF=9OF=9OF=9 ס"מ.

ב.

מצאו את OEOEOE שעבורו EBFDEBFDEBFD ריבוע, הוכיחו שבבחירה הזו הוא אכן ריבוע, וחשבו איזה חלק משטח ABCDABCDABCD הוא שטחו.
נועה רוצה לבחור את EEE ואת FFF כך ש-EBFDEBFDEBFD יהיה מעוין שצלעו 111111 ס"מ. הסבירו למה זה בלתי אפשרי.

שאלה 10 · משולשים בתוך ריבועשאלה מלאה · רמה א'

ABCDABCDABCD הוא ריבוע שאורך צלעו 888 ס"מ. הנקודה EEE על הצלע BCBCBC והנקודה FFF על הצלע CDCDCD, כך ש-BE=DF=3BE=DF=3BE=DF=3 ס"מ.
ABCDEF

א.

הוכיחו ש-AE=AFAE=AFAE=AF, וחשבו את אורכם (אפשר להשאיר שורש).

ב.

חשבו את EFEFEF ואת שטח המשולש AEFAEFAEF. השוו בלי לחשב שורשים: מה ארוך יותר, AEAEAE או EFEFEF?

ג.

הסבירו בעזרת סעיף א למה ∠AEF=∠AFE\angle AEF=\angle AFE∠AEF=∠AFE, ולמה האלכסון ACACAC חוצה את ∠EAF\angle EAF∠EAF.

ד.

KLMNKLMNKLMN הוא ריבוע אחר, שצלעו 101010 ס"מ. בתוכו בונים על הצלע KLKLKL משולש שווה צלעות KLSKLSKLS.
KLMNS
חשבו את ∠NKS\angle NKS∠NKS, את ∠KNS\angle KNS∠KNS ואת ∠SNM\angle SNM∠SNM. איזה ישר הוא ציר סימטריה של הציור כולו?

ה.

בריבוע KLMNKLMNKLMN של סעיף ד:
(1) חשבו את הגובה של המשולש KLSKLSKLS לצלע KLKLKL (אפשר להשאיר שורש), ואת השטח שבתוך הריבוע ומחוץ למשולש KLSKLSKLS (בקירוב).
(2) גיל אומר: "לשלושת המשולשים KSNKSNKSN, NSMNSMNSM ו-MSLMSLMSL יש בסיס באותו אורך - צלע של הריבוע - ולכן השטחים שלהם שווים." הסבירו בלי חישוב שורשים למה השטחים של KSNKSNKSN ו-LSMLSMLSM שווים, חשבו את שלושת השטחים, והכריעו אם גיל צודק.

עוד 19 שאלות על ריבוע: הגדרה, תכונות ומשפטי זיהוי

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

ביטויים אלגבריים בצלעות ריבוע (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף $ABCD$ הוא ריבוע, וכל האורכים נתונים בס"מ.
שטחים בריבוע: משוואה ומשולש שחצי מהריבוע (שאלת ביניים · מצוינות)
$ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $P$ על הצלע $AB$ והנקודה $Q$ על הצלע $CD$ , כך ש- $PQ\parallel AD$ . נתון: $AP=4$ ס"מ, ושטח המרובע $PBCQ$ הוא $117$ …
משוואות על ריבועים (שאלת ביניים · רמה א')
מספר הסמ"ר בשטח של ריבוע גדול פי $2.5$ ממספר הס"מ בהיקף שלו. סמנו את אורך הצלע ב- $a$ (בס"מ) וכתבו משוואה. למשוואה יש שני פתרונות, אבל רק אחד…
אלכסוני הריבוע: אורכים וזוויות (שאלה קצרה · רמה ב')
$ABCD$ הוא ריבוע שאלכסוניו נפגשים בנקודה $O$ . הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
ריבוע אמצעי הצלעות: יחס השטחים ויחס ההיקפים (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא ריבוע. $K$ , $L$ , $M$ , $N$ הם אמצעי הצלעות $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ . (בשאלה הזו לא משתמשים במשפט קטע אמצעים.)
היקף ושטח של ריבוע (שאלה קצרה · רמה ב')
אורכי הצלעות של מלבן הם $13$ ס"מ ו- $7$ ס"מ. לריבוע יש אותו היקף כמו למלבן. חשבו את אורך הצלע של הריבוע ואת שטחו. למי שטח גדול יותר, לריבוע…
סימטריות של מעוין ושל ריבוע (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת הצירים המרובע $PQRS$ : $P(-4,0)$ , $Q(0,3)$ , $R(4,0)$ , $S(0,-3)$ . האלכסונים מונחים על הצירים ונחתכים בראשית $O$ . יחידות הצירים שוות.…
ריבוע שנחתך ממלבן (שאלת ביניים · רמה ב')
$PQRS$ הוא מלבן. חוצה הזווית $\angle PSR$ חותך את הצלע $PQ$ בנקודה $T$ . דרך $T$ מעבירים ישר המקביל ל- $PS$ , והוא חותך את הצלע $SR$ בנקודה…
שני ריבועים עם קודקוד משותף (שאלת ביניים · רמה א')
צלעות הריבוע $PQRS$ מקבילות לצירים, והאלכסונים שלו נחתכים בראשית הצירים. $P(-4,4)$ הוא הקודקוד השמאלי העליון, $Q$ נמצא מימין ל- $P$ , ו- $R$ …
נקודות על אלכסון הריבוע (שאלת ביניים · רמה ב')
$ABCD$ הוא ריבוע. הנקודות $E$ ו- $F$ נמצאות על האלכסון $AC$ , כך ש- $AE=CF$ . מחברים את $B$ עם $E$ ועם $F$ .
מלבן בתוך ריבוע: פינות של 45° (שאלה מלאה · רמה א')
צלעות הריבוע $ABCD$ מקבילות לצירים. $A(-5,4)$ הוא הקודקוד השמאלי העליון, $C(5,-6)$ הוא הקודקוד הנגדי לו, ו- $B$ נמצא מימין ל- $A$ . על צלעות…
דלתון על המשך האלכסון של ריבוע (שאלה קצרה · רמה ב')
$ABCD$ הוא ריבוע. מאריכים את האלכסון $AC$ מעבר לנקודה $C$ עד הנקודה $E$ , ומחברים את $E$ עם $B$ ועם $D$ . שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
שני ריבועים עם קודקוד משותף (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ ו- $BEFG$ הם ריבועים עם קודקוד משותף $B$ . הנקודות $A$ , $B$ , $E$ נמצאות על ישר אחד, וגם הנקודות $C$ , $B$ , $G$ נמצאות על ישר אחד.
אנכים לאלכסון הריבוע (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $M$ נמצאת על הצלע $AB$ , והנקודה $N$ נמצאת על הצלע $BC$ , כך ש- $AM=CN$ . מהנקודות $M$ ו- $N$ מורידים אנכים לאלכסון…
מקבילית בתוך ריבוע (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ , והנקודה $F$ נמצאת על הצלע $AD$ , כך ש- $AE\parallel FC$ .
מלבן שקודקודו על אלכסון הריבוע (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $P$ נמצאת על האלכסון $BD$ . מ- $P$ מורידים אנכים לצלעות: $PE\perp AB$ ( $E$ על $AB$ ) ו- $PF\perp AD$ ( $F$ על $AD$ ).
שני ריבועים ודלתונים (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ ו- $AEFG$ הם ריבועים. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ , הנקודה $G$ נמצאת על הצלע $AD$ , והנקודה $F$ נמצאת על האלכסון $AC$ . מחברים את $C$ …
דלתון שנוצר על אלכסון הריבוע (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא ריבוע. על האלכסון $AC$ מסמנים את הנקודה $E$ , כך ש- $AE=AB$ . דרך $E$ מעבירים אנך לאלכסון $AC$ , והוא חותך את הצלע $BC$ בנקודה $F$ .
שני קטרים במעגל: מלבן וריבוע (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף $O$ הוא מרכז המעגל. כתבו הוכחה בטענות ונימוקים. שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (9)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

ריבועים על שתי צלעות של משולש (שאלת ביניים · מצוינות)
על הצלעות $AB$ ו- $AC$ של המשולש $ABC$ בנו כלפי חוץ את הריבועים $ABDE$ ו- $ACFG$ . הקטעים $BG$ ו- $CE$ נחתכים…
שני קטעים בריבוע: שווים ומאונכים (שאלה קצרה · רמה א')
$ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ , והנקודה $F$ נמצאת על הצלע $CD$ , כך ש- $BE=CF$ . הקטעים $AE$ …
ישר דרך מרכז הריבוע: חפיפה לפי ז.צ.ז (שאלה קצרה · רמה ב')
אלכסוני הריבוע $ABCD$ נפגשים בנקודה $O$ . ישר העובר דרך $O$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה $P$ ואת הצלע $CD$ בנקודה…
אנך לקטע מקודקוד הריבוע (שאלת ביניים · רמה א')
$ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AB$ . דרך הקודקוד $D$ מעבירים ישר המאונך ל- $DE$ , והוא חותך את המשך…
קטעים שווים ומאונכים בריבוע (שאלת ביניים · מצוינות)
$ABCD$ הוא ריבוע. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ , והנקודה $F$ נמצאת על הצלע $CD$ , כך ש- $BE=CF$ . הקטעים $AE$ …
ריבוע שקודקודו במרכז ריבוע: חפיפה ושטח (שאלת ביניים · רמה א')
אורך צלע הריבוע $ABCD$ הוא 7, ואלכסוניו נפגשים בנקודה $O$ . הנקודה $O$ היא קודקוד של ריבוע $OEFG$ . הצלע $OG$ …
שני קטעים בריבוע (שאלה מלאה · רמה א')
$ABCD$ ריבוע: כל צלעותיו שוות וכל זוויותיו ישרות. הנקודה $E$ על הצלע $AB$ והנקודה $F$ על הצלע $BC$ , כך ש-…
ריבוע בתוך ריבוע (שאלה מלאה · רמה א')
$ABCD$ ריבוע: כל צלעותיו שוות וכל זוויותיו ישרות. על הצלעות $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ נמצאות בהתאמה הנקודות $E$ ,…
בריכה ריבועית ומדשאות שוות שטח (שאלה קצרה · רמה א')
בסרטוט שלפניכם מוצגת תכנית של בריכה ושל מדשאות במרכז ספורט. הבריכה בצורת ריבוע, ומשני צדדיה יש מדשאות בצורת…