מבחן לדוגמה: חיתוך ישר ופרבולה - כיתה ט'

$f(x) = x^2 - 4x + 5$

$g(x) = 0.5x + 3$

קראו מהגרף את השיעורים של $A$ ושל $B$.

בדקו בדרך אלגברית את מה שקראתם: פתרו את המשוואה $x^2=x+2$, והשוו את הפתרונות לתשובה של סעיף א.

לאילו ערכים של $x$ הישר נמצא מעל הפרבולה? היעזרו בסעיפים הקודמים ובגרף.

מצאו נקודת חיתוך נוספת של כל אחד מהישרים עם הפרבולה. סמנו את נקודות החיתוך ב- $A$ ו- $B$.

מצאו נקודה $M$ כך שהמרובע $AOBM$ יהיה מעוין.

באיזה תחום $f(x) > 0$?

באיזה תחום $f(x) < g(x)$?

$K$ הוא קדקוד הפרבולה. כתבו את משוואת הישר המקביל לגרף של $g(x)$ ועובר דרך הנקודה $K$.

מהו התחום שבו המכפלה $f(x)\cdot g(x)$ היא חיובית? נמקו את תשובתכם.

לאילו ערכים של $k$ יש לישר $y=k$ ולפרבולה שתי נקודות משותפות? לאילו ערכים של $k$ יש להם נקודה משותפת אחת בלבד? לאילו ערכים של $k$ אין להם נקודות משותפות? נמקו.

הישר $y=k$ חותך את הפרבולה בשתי נקודות, והמרחק בין שתי הנקודות הוא $4$. מצאו את $k$.

מצאו את $P$ ואת $Q$. הביעו בעזרת $t$ את אורך הצלע $AB$ ואת אורך הצלע $BC$.

הסבירו מדוע המלבן הוא ריבוע בדיוק כאשר הקדקוד $C$ נמצא על הישר $y=2x$.

מצאו את השיעורים של $C$ כאשר המלבן הוא ריבוע, ואת אורך הצלע של הריבוע. כתבו תשובה מדויקת, ותשובה מעוגלת לשתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

הראו שהיקף המלבן הוא $20$ בדיוק כאשר $C$ נמצא על הישר $y=10-2x$. מצאו את כל המלבנים שהיקפם $20$, וכתבו את אורכי הצלעות שלהם.

האם יש מלבן כזה שהיקפו $21$? נמקו בעזרת נקודות החיתוך של ישר ופרבולה.