שאלות פתוחות: חיתוך ישר ופרבולה - כיתה ט'

בדף הזה 24 שאלות פתוחות במתמטיקה על חיתוך ישר ופרבולה, לתלמידי כיתה ט', מתוך הנושא "הפונקציה הריבועית ומשוואות ריבועיות". השאלות בכמה רמות (רמה א', רמה ב', מצוינות), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

24 שאלותרמה א': 10רמה ב': 7מצוינות: 7

שאלה 1 · פרבולה וישר: אין נקודה משותפת, או שתייםשאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף נתונות משוואה של פרבולה ומשוואה של ישר.

א.

הראו בדרך אלגברית שלגרף של y=x2y=x^2y=x2 ולישר y=4x−5y=4x-5y=4x−5 אין נקודות משותפות. איזה מהשניים נמצא מעל השני בכל מקום? נמקו.

ב.

מצאו את כל הנקודות המשותפות לגרף של y=x2+1y=x^2+1y=x2+1 ולישר y=x+3y=x+3y=x+3, ובדקו כל נקודה בשתי המשוואות.

שאלה 2 · נקודות החיתוך של פרבולה וישר עם מקדם עשרונישאלה קצרה · רמה ב'

מצאו את נקודות החיתוך של הפרבולה והישר:

f(x)=x2−4x+5f(x) = x^2 - 4x + 5f(x)=x2−4x+5
g(x)=0.5x+3g(x) = 0.5x + 3g(x)=0.5x+3

שאלה 3 · פרבולות שנוגעות זו בזו וישר שעובר ביניהןשאלת ביניים · מצוינות

נתונות הפונקציות f(x)=x2−2x+3f(x)=x^2-2x+3f(x)=x2−2x+3 ו-g(x)=−x2+6x−5g(x)=-x^2+6x-5g(x)=−x2+6x−5.

א.

מצאו את כל הנקודות המשותפות לגרפים של fff ושל ggg.

ב.

הראו שלכל xxx מתקיים f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x)f(x)≥g(x). מה אפשר להסיק מכך על המיקום של שני הגרפים זה ביחס לזה?

ג.

נתון הישר y=2x−1y=2x-1y=2x−1. הראו שלכל xxx הישר נמצא בין שני הגרפים, כלומר g(x)≤2x−1≤f(x)g(x)\le 2x-1\le f(x)g(x)≤2x−1≤f(x), ושלישר יש נקודה משותפת אחת בלבד עם כל אחד מהגרפים.

שאלה 4 · פרבולה, ישר ומשולשים: מנקודות חיתוך לישר מקבילשאלה מלאה · רמה א'

נתונות הפונקציות f(x)=x2−2x−8f(x)=x^2-2x-8f(x)=x2−2x−8 ו-g(x)=x+2g(x)=x+2g(x)=x+2.
הגרף של fff חותך את ציר ה-xxx בנקודות AAA ו-CCC (AAA משמאל ל-CCC), ואת ציר ה-yyy בנקודה DDD. הישר חותך את הפרבולה בנקודות AAA ו-BBB.
ABCD

א.

מצאו את השיעורים של AAA, CCC ו-DDD.

ב.

מצאו את נקודות החיתוך של הישר עם הפרבולה, והראו שאחת מהן היא AAA.

ג.

חשבו את שטח המשולש ABCABCABC.

ד.

מצאו את משוואת הישר BDBDBD.

ה.

דרך הנקודה CCC מעבירים ישר המקביל לישר BDBDBD. הישר הזה חותך את הפרבולה בנקודה CCC ובנקודה נוספת EEE. מצאו את EEE, והראו ש-EEE היא הקדקוד של הפרבולה.

שאלה 5 · נקודות החיתוך של ישר ופרבולה, שלב אחר שלבשאלת ביניים · רמה ב'

נתונות הפונקציות f(x)=x2−2x−3f(x)=x^2-2x-3f(x)=x2−2x−3 ו-g(x)=x+1g(x)=x+1g(x)=x+1. מצאו את נקודות החיתוך של הגרפים שלהן לפי השלבים.

א.

בנקודת חיתוך של שני הגרפים מתקיים f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x). כתבו את המשוואה x2−2x−3=x+1x^2-2x-3=x+1x2−2x−3=x+1 בצורה ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0ax2+bx+c=0.

ב.

פתרו את המשוואה שקיבלתם בסעיף א.

ג.

מצאו את שיעור ה-yyy של כל נקודת חיתוך בעזרת g(x)g(x)g(x), ובדקו כל נקודה גם בעזרת f(x)f(x)f(x). כתבו את נקודות החיתוך כזוגות סדורים.

שאלה 6 · ישרים אופקיים ופרבולה: כמה נקודות משותפות ובאיזה גובהשאלה קצרה · מצוינות

נתונה הפרבולה y=x2−6x+11y=x^2-6x+11y=x2−6x+11.

א.

לאילו ערכים של kkk יש לישר y=ky=ky=k ולפרבולה שתי נקודות משותפות? לאילו ערכים של kkk יש להם נקודה משותפת אחת בלבד? לאילו ערכים של kkk אין להם נקודות משותפות? נמקו.

ב.

הישר y=ky=ky=k חותך את הפרבולה בשתי נקודות, והמרחק בין שתי הנקודות הוא 444. מצאו את kkk.

שאלה 7 · ממטרה בתחתית מדרון: היכן המים פוגעים והיכן הסילון הכי גבוה מעל המדרוןשאלת ביניים · רמה א'

ממטרה מוצבת בנקודה OOO שבתחתית מדרון. במערכת צירים שראשיתה OOO, מסלול סילון המים מתואר על ידי הפרבולה y=−0.5x2+3xy=-0.5x^2+3xy=−0.5x2+3x, והמדרון מתואר על ידי הישר y=xy=xy=x.
xxx הוא המרחק האופקי מהממטרה ו-yyy הוא הגובה, שניהם במטרים. לפניכם סקיצה.
סילון המיםהמדרון
O

א.

מצאו את הנקודה שבה סילון המים פוגע במדרון.

ב.

בין OOO לבין הנקודה שמצאתם בסעיף א, סילון המים נמצא מעל המדרון. כתבו ביטוי d(x)d(x)d(x) להפרש הגבהים בין הסילון לבין המדרון באותו מרחק אופקי xxx, ומצאו את d(1)d(1)d(1).

ג.

באיזה מרחק אופקי מהממטרה הסילון נמצא הכי גבוה מעל המדרון, ומהו הפרש הגבהים שם? האם זה המקום שבו הסילון מגיע לגובה המרבי שלו? נמקו.

שאלה 8 · מהגרף אל האלגברה: חיתוך הפרבולה $y = x^{2}$ עם ישרשאלת ביניים · רמה ב'

לפניכם הגרפים של הפרבולה y=x2y=x^2y=x2 ושל הישר y=x+2y=x+2y=x+2 במערכת צירים אחת.
הגרפים נחתכים בנקודות AAA ו-BBB (AAA משמאל ל-BBB).
y=x2y=x+2
-3-2-11234-11234567AB

א.

קראו מהגרף את השיעורים של AAA ושל BBB.

ב.

בדקו בדרך אלגברית את מה שקראתם: פתרו את המשוואה x2=x+2x^2=x+2x2=x+2, והשוו את הפתרונות לתשובה של סעיף א.

ג.

לאילו ערכים של xxx הישר נמצא מעל הפרבולה? היעזרו בסעיפים הקודמים ובגרף.

שאלה 9 · מנקודות החיתוך אל משוואת הפרבולהשאלה קצרה · מצוינות

הישר y=x+3y=x+3y=x+3 חותך את הפרבולה y=x2+bx+cy=x^2+bx+cy=x2+bx+c בשתי נקודות. שיעורי ה-xxx של נקודות החיתוך הם 111 ו-444.

מצאו את bbb ואת ccc.

שאלה 10 · הפרבולה $y = x^{2}$ , שני ישרים דרך הראשית ומעויןשאלת ביניים · רמה א'

נתונים הפרבולה y=x2y = x^2y=x2 ושני הישרים y=2xy = 2xy=2x, y=−2xy = -2xy=−2x
הגרפים של שלוש הפונקציות נחתכים בראשית הצירים (OOO).

א.

מצאו נקודת חיתוך נוספת של כל אחד מהישרים עם הפרבולה. סמנו את נקודות החיתוך ב- AAA ו- BBB.

ב.

מצאו נקודה MMM כך שהמרובע AOBMAOBMAOBM יהיה מעוין.

עוד 6 שאלות על חיתוך ישר ופרבולה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

כדור ורחפן: מתי הם באותו גובה (שאלה מלאה · רמה ב')
כדור נזרק כלפי מעלה מהקרקע. הגובה של הכדור (במטרים) $t$ שניות אחרי הזריקה הוא $h(t)=-5t^2+20t$ . באותו רגע רחפן, שמרחף בגובה $10$ מטרים ליד…
ישרים מקבילים ופרבולה: שתי נקודות, נקודה אחת או אף נקודה (שאלה מלאה · מצוינות)
נתונה הפרבולה $y=x^2-4x$ , ונתונים ישרים מהצורה $y=2x+b$ , כאשר $b$ הוא מספר.
מנהרה בצורת קשת: משאית, רוחב ומצלמה (שאלה מלאה · רמה א')
החזית של מנהרה בנויה בצורת קשת. במערכת צירים שבה ציר ה- $x$ הוא פני הכביש וראשית הצירים נמצאת באמצע הכביש, הקשת מתוארת על ידי הפרבולה…
פרבולה פתוחה כלפי מטה וישר: חיתוכים, קדקוד ומה מעל מה (שאלה מלאה · רמה ב')
נתונות הפונקציות $f(x)=-x^2+4$ ו- $g(x)=2x+1$ . לפניכם סקיצה של הגרפים שלהן. הגרפים נחתכים בנקודות $A$ ו- $B$ ( $A$ משמאל ל- $B$ ).
מלבנים מתחת לפרבולה: ריבוע והיקף בעזרת חיתוך עם ישר (שאלה מלאה · מצוינות)
נתונה הפרבולה $y=9-x^2$ . הפרבולה חותכת את ציר ה- $x$ בנקודות $P$ ו- $Q$ ( $P$ משמאל ל- $Q$ ). בונים מלבנים $ABCD$ כך: הקדקודים $A$ ו- $B$ נמצאים…
פרבולה בהצגת מכפלה וישר: תחומים, ישר מקביל ומכפלה חיובית (שאלה מלאה · רמה א')
נתונות הפונקציות: $f(x) = -2(x - 4)(x + 2)$ $g(x) = x - 4$

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (8)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

נקודות החיתוך של פרבולה וישר (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונות הפונקציות $f(x)=x^2$ ו- $g(x)=2x+3$ .
מציאת פרמטר מנקודת חיתוך ידועה ומציאת נקודת החיתוך השנייה (שאלה קצרה · רמה א')
הישר $y=2x+1$ והפרבולה $y=x^2+bx+7$ ( $b$ פרמטר) נחתכים בנקודה $A$ ששיעור ה- $x$ שלה הוא $2$ .
פרבולה וישר: נקודות חיתוך ושטח משולש (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונים הפרבולה $y=-x^2+6x-3$ והישר $y=x-9$ . הישר חותך את הפרבולה בנקודות $A$ ו- $B$ ( $A$ משמאל ל- $B$ ). $V$ הוא…
ישרים דרך הראשית המשיקים לפרבולה (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונה הפרבולה $y=x^2+4$ . ישר שמשוואתו $y=mx$ עובר דרך ראשית הצירים $O$ . ישר כזה נקרא משיק לפרבולה אם יש לו עם…
פרבולה וישר: מתי הפרבולה מתחת לישר (שאלה קצרה · רמה א')
נתונות הפונקציות $f(x)=x^2+2x-8$ ו- $g(x)=3x-2$ . לפניכם סקיצה של הגרפים של שתי הפונקציות.
מנקודות על הגרפים אל פתרון אי-שוויון (שאלת ביניים · רמה א')
לפניכם סקיצה של הגרף של פונקציה ריבועית $f(x)$ ושל הגרף של פונקציה קווית $g(x)$ . קדקוד הפרבולה הוא $A(2,-1)$ ,…
נקודות החיתוך של ישר ופרבולה (שאלה קצרה · רמה ב')
נתונים הפרבולה $y=x^2-6x+5$ והישר $y=2x-7$ .
מספר הנקודות המשותפות של ישר ופרבולה (שאלה קצרה · רמה א')
נתונה הפרבולה $y=x^2-4x+5$ . בכל סעיף קבעו כמה נקודות משותפות יש לפרבולה ולישר הנתון, ומצאו את שיעורי כל…