מבחן לדוגמה: אי-שוויונות ריבועיים - כיתה ט'

פתרו את אי-השוויון $(x-2)^2\le9$. בדקו בהצבה את שני הקצוות של התחום, והסבירו למה הם שייכים לפתרון.

רון אומר: "מספיק לפתור $x-2\le3$." מצאו מספר שמקיים את $x-2\le3$, אבל לא את אי-השוויון המקורי.

פתרו את אי-השוויון $x^2\le9$. מצאו מספר שמקיים את $x^2\le9$ ולא את $(x-2)^2\le9$, ומספר שמקיים את $(x-2)^2\le9$ ולא את $x^2\le9$.

מצאו את השיעורים של $A$, $B$ ו-$C$.

מצאו את השיעורים של הקדקוד $D$. מהו הערך הקטן ביותר של $f$?

עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x)<0$? עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x)>0$? ועבור אילו $f(x)=0$?

חשבו את שטח המשולש $ABC$, ומצאו את משוואת הישר $AC$.

מצאו את השיעורים של $E$. עבור אילו ערכי $x$ מתקיים $f(x)>16$?

היעזרו בגרף, ופתרו את אי-השוויונות $f(x)\ge0$ ו-$f(x)<0$. הסבירו מתי נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ שייכות לפתרון ומתי לא.

כתבו ביטוי אלגברי של $f$ בעזרת נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ והנקודה $(0,-3)$. אילו היו ידועים רק נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ ותחום השליליות $-1<x<3$, האם הביטוי היה נקבע באופן יחיד? נמקו.

מהו השטח הגדול ביותר האפשרי? לקוח ביקש מסגרת ששטחה לפחות $110$ סמ"ר. האם אפשר לעמוד בבקשה? נמקו בעזרת הפונקציה.

לקוח אחר דורש שני תנאים יחד: השטח לפחות $84$ סמ"ר, וכל צלע לפחות $8$ ס"מ. מצאו את כל ערכי $x$ שמקיימים את שני התנאים.

לקוח שלישי דורש: השטח לפחות $91$ סמ"ר, והצלע הארוכה לפחות $14$ ס"מ. הראו שאי אפשר לעמוד בשתי הדרישות. מה המספר הגדול ביותר שאפשר לשים במקום $14$ כדי שהדרישות יהיו אפשריות? מה המידות של המסגרת במקרה הזה? בדוח נכתב: "למשוואה $x(20-x)=91$ יש שני פתרונות, ולכן יש שתי מסגרות שונות ששטחן $91$ סמ"ר." האם זה נכון? נמקו.

מצאו את המספר $k$ שעבורו קבוצת הפתרונות של אי-השוויון $x^2-2x\le k$ היא בדיוק $-3\le x\le5$. הוכיחו שכל המספרים בקטע הזה, ורק הם, מקיימים את אי-השוויון. מה ישתנה אם נחליף את $\le$ ב-$<$?

האם יש מספר $m$ שעבורו קבוצת הפתרונות של אי-השוויון $x^2-2x\ge m$ היא בדיוק $-3\le x\le5$? נמקו.

מאיה טוענת: "אם $x^2>49$, אז $x>7$." תנו דוגמה נגדית בעזרת מספר שלם. הוסיפו לטענה תנאי על $x$ (בלי לשנות את $x^2>49$) שיהפוך אותה לנכונה, והסבירו למה בלי התנאי אי אפשר להסיק את המסקנה.

האם הטענה "אם $x>7$, אז $x^2>49$" נכונה לכל $x$? ומה לגבי הטענה "אם $x<7$, אז $x^2<49$"? נמקו כל קביעה.