דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: אי-שוויונות ריבועיים - כיתה ט'

אי-שוויונות ריבועיים לכיתה ט': פתרון בעזרת סימן הגורמים או סקיצה של פרבולה, והצגת הפתרון על ישר המספרים. יש אי-שוויונות שבהם משווים את x² למספר, אי-שוויונות על ריבוע של ביטוי, שאלות על x²-2x, ובדיקת טענות "אם... אז..." על מספרים. שאלה נוספת מציגה פתרון שגוי של תלמיד לתיקון. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו את המתאימות לבוחן או לדף עבודה, וקבלו פתרונות מלאים בקובץ Word.

37 שאלותרמה א': 24רמה ב': 4מצוינות: 9

שאלה 1 · שני ענפים ותשובות מדויקותשאלה קצרה · רמה א'

כתבו את הפתרונות בערכים מדויקים (בעזרת שורש, אם צריך), בלי לעגל.

א.

פתרו את אי-השוויונות: (1) (x+3)2>16(x+3)^2>16 (2) (x−1)2<6(x-1)^2<6

ב.

יוסי טוען: "אי-השוויון x2≥20x^2\ge20 מתקיים בדיוק כאשר x≥20x\ge\sqrt{20}." הפריכו את הטענה בעזרת מספר שלם, וכתבו את קבוצת הפתרונות המלאה. הסבירו מה יוסי איבד.

שאלה 2 · מכפלה של שני גורמים: מתי היא שלילית ומתי היא אינה שליליתשאלה קצרה · רמה ב'

פתרו את אי-השוויונות. היעזרו בסימן של כל גורם או בסקיצה של פרבולה, והציגו כל פתרון על ישר המספרים.

א.

(x−4)(x+1)<0(x-4)(x+1)<0

כתבו גם את כל המספרים השלמים שמקיימים את אי-השוויון, והסבירו למה 44 ו-−1-1 אינם ביניהם.

ב.

(x+5)(x−3)≥0(x+5)(x-3)\ge0

שאלה 3 · מוצאים סף לפי קבוצת פתרונות נתונהשאלה קצרה · מצוינות

בשאלה זו עוסקים באי-שוויונות שבאגף אחד שלהם הביטוי x2−2xx^2-2x.

א.

מצאו את המספר kk שעבורו קבוצת הפתרונות של אי-השוויון x2−2x≤kx^2-2x\le k היא בדיוק −3≤x≤5-3\le x\le5. הוכיחו שכל המספרים בקטע הזה, ורק הם, מקיימים את אי-השוויון. מה ישתנה אם נחליף את ≤\le ב-<<?

ב.

האם יש מספר mm שעבורו קבוצת הפתרונות של אי-השוויון x2−2x≥mx^2-2x\ge m היא בדיוק −3≤x≤5-3\le x\le5? נמקו.

שאלה 4 · אי-שוויונות עם ריבוע שלםשאלה קצרה · רמה א'

בשאלה זו כל אי-השוויונות בנויים על ריבוע של ביטוי.

א.

פתרו כל אחד מאי-השוויונות:

(1) (x+5)2>0(x+5)^2>0 (2) (x+5)2≥0(x+5)^2\ge0 (3) (x+5)2<0(x+5)^2<0 (4) (x+5)2≤0(x+5)^2\le0

הסבירו בעזרת הגרף של y=(x+5)2y=(x+5)^2 למה הסימן של הביטוי אינו מתחלף ב-x=−5x=-5.

ב.

פתרו את אי-השוויון x2−8x+16>0x^2-8x+16>0. אחר כך כתבו אי-שוויון עם ריבוע, שקבוצת הפתרונות שלו היא רק המספר 11.

שאלה 5 · לעומת מספר: לא לשכוח את הצד השלילישאלה קצרה · רמה ב'

בשאלה זו פותרים אי-שוויונות שבהם משווים את x2x^2 למספר.

א.

פתרו את x2≥25x^2\ge25 ואת x2>25x^2>25. מה ההבדל בין שני הפתרונות? הציגו כל פתרון על ישר המספרים.

ב.

דנה פתרה את אי-השוויון x2>36x^2>36 וכתבה: x>6x>6. מצאו מספר שמקיים את אי-השוויון, אבל אינו בתשובה של דנה. מה דנה שכחה? כתבו את הפתרון הנכון.

שאלה 6 · מסקנות מ-: מתי מותר להסיק?שאלה קצרה · מצוינות

בשאלה זו בודקים טענות מהצורה "אם ... אז ..." על מספרים.

א.

מאיה טוענת: "אם x2>49x^2>49, אז x>7x>7." תנו דוגמה נגדית בעזרת מספר שלם. הוסיפו לטענה תנאי על xx (בלי לשנות את x2>49x^2>49) שיהפוך אותה לנכונה, והסבירו למה בלי התנאי אי אפשר להסיק את המסקנה.

ב.

האם הטענה "אם x>7x>7, אז x2>49x^2>49" נכונה לכל xx? ומה לגבי הטענה "אם x<7x<7, אז x2<49x^2<49"? נמקו כל קביעה.

שאלה 7 · איפה הטעות בפתרון אי-השוויון?שאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף מוצג פתרון של תלמיד, והפתרון שגוי.

א.

רון פתר את אי-השוויון x2>7xx^2>7x כך: הוא חילק את שני האגפים ב-xx, וקיבל x>7x>7. הראו בעזרת מספר שלילי שרון איבד פתרונות. הסבירו מה הטעות, ופתרו את אי-השוויון בלי לחלק ב-xx.

ב.

ליה פתרה את אי-השוויון −x2+2x+8>0-x^2+2x+8>0. היא מצאה את נקודות האפס x=−2x=-2 ו-x=4x=4, וכתבה: "הפתרון נמצא מחוץ לנקודות האפס: x<−2x<-2 או x>4x>4." בחרו מספר מהתשובה של ליה ובדקו אותו באי-השוויון. מה ליה לא לקחה בחשבון? כתבו את הפתרון הנכון.

שאלה 8 · : הקצוות, ומה קורה כשמזיזים את המרכזשאלה קצרה · רמה ב'

בשאלה זו פותרים אי-שוויונות עם ריבוע של ביטוי.

א.

פתרו את אי-השוויון (x−2)2≤9(x-2)^2\le9. בדקו בהצבה את שני הקצוות של התחום, והסבירו למה הם שייכים לפתרון.

רון אומר: "מספיק לפתור x−2≤3x-2\le3." מצאו מספר שמקיים את x−2≤3x-2\le3, אבל לא את אי-השוויון המקורי.

ב.

פתרו את אי-השוויון x2≤9x^2\le9. מצאו מספר שמקיים את x2≤9x^2\le9 ולא את (x−2)2≤9(x-2)^2\le9, ומספר שמקיים את (x−2)2≤9(x-2)^2\le9 ולא את x2≤9x^2\le9.

שאלה 9 · כשהמקדם עצמו הוא ביטוי ריבועישאלה קצרה · מצוינות

בכל סעיף mm ו-kk הם מספרים, והמקדמים של הפונקציה תלויים בהם. שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.

א.

נתונה הפונקציה y=(m2−2m−15)x2+4x−1y=(m^2-2m-15)x^2+4x-1.

(1) עבור אילו ערכים של mm הגרף הוא פרבולה הפתוחה כלפי מטה?

(2) עבור אילו ערכים של mm הגרף אינו פרבולה? מהו הגרף במקרה זה?

ב.

נתונה הפונקציה הקווית y=(k2−9k+14)x+3y=(k^2-9k+14)x+3.

עבור אילו ערכים של kk הפונקציה עולה? עבור אילו ערכים של kk היא קבועה?

שאלה 10 · מהגרף לאי-השוויון, ומהגרף לנוסחהשאלה קצרה · רמה א'

לפניכם הגרף של פונקציה ריבועית ff. הגרף חותך את ציר ה-xx בשתי נקודות שנמצאות על הרשת, ועובר בנקודה (0,−3)(0,-3).

-4-3-2-1123456-5-4-3-2-1123456
א.

היעזרו בגרף, ופתרו את אי-השוויונות f(x)≥0f(x)\ge0 ו-f(x)<0f(x)<0. הסבירו מתי נקודות החיתוך עם ציר ה-xx שייכות לפתרון ומתי לא.

ב.

כתבו ביטוי אלגברי של ff בעזרת נקודות החיתוך עם ציר ה-xx והנקודה (0,−3)(0,-3). אילו היו ידועים רק נקודות החיתוך עם ציר ה-xx ותחום השליליות −1<x<3-1<x<3, האם הביטוי היה נקבע באופן יחיד? נמקו.

עוד 5 שאלות על אי-שוויונות ריבועיים

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

  1. פרבולה וישר אופקי: חיתוכים, תחומים ושטח (שאלה מלאה · רמה ב')

    נתונה הפונקציה f(x)=x2−10x+16f(x)=x^2-10x+16. הגרף שלה חותך את ציר ה-yy בנקודה AA ואת ציר ה-xx בנקודות BB ו-CC (BB משמאל ל-CC). DD הוא הקדקוד של…

  2. לאילו ערכים של אי-השוויון מתקיים לכל ? (שאלה קצרה · רמה א')

    בכל סעיף kk הוא מספר.

  3. : אי-שוויון בלי פתרון ואי-שוויון שמתקיים תמיד (שאלה קצרה · רמה א')

    נתון הביטוי S(x)=(x−1)2+(x+3)2S(x)=(x-1)^2+(x+3)^2.

  4. מסגרת מחוט באורך ס"מ: דרישות לשטח ולצלעות (שאלת ביניים · רמה א')

    מכופפים חוט באורך 4040 ס"מ למסגרת מלבנית (כל החוט משמש להיקף). נסמן ב-xx את אורך אחת הצלעות (בס"מ). השטח של המלבן (בסמ"ר) הוא…

  5. אי-שוויונות שצריך קודם לפתוח בהם סוגריים (שאלה קצרה · רמה א')

    פתרו את אי-השוויונות. בכל סעיף פתחו סוגריים, העבירו הכול לאגף אחד וכנסו איברים דומים לפני שאתם פותרים.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (22)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.