מבחן לדוגמה: הדיסקרימיננטה ומספר הפתרונות - כיתה ט'

(1) $3x^2-2x-5=0$

(2) $16x^2-24x+9=0$

(3) $2x^2-x+3=0$

$5x=2x^2+4$

מה הייתה הטמפרטורה של המים בתחילת הניסוי? מה היא הייתה כעבור $8$ דקות?

כעבור כמה דקות הייתה הטמפרטורה של המים $8$ מעלות? כתבו משוואה, חשבו את הדיסקרימיננטה ופתרו.

כעבור כמה דקות הייתה הטמפרטורה של המים $10$ מעלות? כתבו תשובה מדויקת, ואחר כך עגלו לעשיריות.

האם היה רגע שבו הטמפרטורה של המים הייתה $4$ מעלות? כמה רגעים כאלה היו? נמקו בעזרת הדיסקרימיננטה.

האם הטמפרטורה של המים ירדה אי פעם ל-$3$ מעלות? האם היא הגיעה ל-$0$ מעלות (טמפרטורת הקפיאה של מים)? נמקו בעזרת הדיסקרימיננטה.

יואב כתב: "במשוואה $-2x^2+3x+5=0$ מתקיים $b^2-4ac=9-40=-31$, ולכן אין לה פתרון." מצאו את הטעות של יואב, קבעו כמה פתרונות יש למשוואה, ופתרו אותה.

מאיה כתבה: "למשוואה $x^2=-10x-25$ אין פתרון, כי ריבוע של מספר לא יכול להיות שווה למספר שלילי." הסבירו מה הטעות בנימוק של מאיה. קבעו בעזרת הדיסקרימיננטה כמה פתרונות יש למשוואה, ופתרו אותה.

פתרו את המשוואה $x^2-4x-21=0$ בנוסחת השורשים. חשבו את ההפרש בין הפתרון הגדול לפתרון הקטן, והשוו אותו ל-$\sqrt{b^2-4ac}$.

הסבירו בעזרת נוסחת השורשים למה בכל משוואה $x^2+bx+c=0$ שיש לה שני פתרונות, ההפרש בין הפתרון הגדול לפתרון הקטן שווה ל-$\sqrt{b^2-4ac}$. מה קורה להפרש כאשר $b^2-4ac=0$?

מצאו את $c$ כך שלמשוואה $x^2+2x+c=0$ יהיו שני פתרונות שההפרש ביניהם $6$. מצאו את הפתרונות.

לאילו ערכים של $c$ יש למשוואה (1) שני פתרונות? לאילו ערכים של $c$ יש למשוואה (2) שני פתרונות?

הסבירו למה אין אף ערך של $c$ שעבורו לשתי המשוואות אין פתרון.

לאילו ערכים של $c$ יש לשתי המשוואות יחד בדיוק שני פתרונות שונים? (פתרון שמשותף לשתי המשוואות נספר פעם אחת.)

פתחו סוגריים בכל אחת מהפונקציות, וחשבו את הדיסקרימיננטה $b^2-4ac$ של המשוואה $f(x)=0$.

$f_1(x)=2(x-1)^2-8$, $f_2(x)=-(x+3)^2+2$, $f_3(x)=3(x+2)^2+5$

בכל פונקציה חשבו את המכפלה $-4ak$, כאשר $a$ ו-$k$ לקוחים מההצגה $a(x-p)^2+k$. השוו לדיסקרימיננטה שמצאתם בסעיף א, ונסחו השערה.

הסבירו למה ההשערה נכונה לכל $a\neq0$ ולכל $p$ ו-$k$.

היעזרו בסעיף ג: מה צריך להתקיים ל-$a$ ול-$k$ כדי שלגרף של $f(x)=a(x-p)^2+k$ יהיו שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$? הסבירו את אותה מסקנה גם בעזרת הקדקוד $(p,k)$ וסוג נקודת הקיצון.

בביטוי $-4ak$ לא מופיע $p$. הסבירו בעזרת הזזות למה מספר נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-$x$ לא תלוי ב-$p$.