שאלות פתוחות: הדיסקרימיננטה ומספר הפתרונות - כיתה ט'

יואב כתב: "במשוואה $-2x^2+3x+5=0$ מתקיים $b^2-4ac=9-40=-31$, ולכן אין לה פתרון." מצאו את הטעות של יואב, קבעו כמה פתרונות יש למשוואה, ופתרו אותה.

מאיה כתבה: "למשוואה $x^2=-10x-25$ אין פתרון, כי ריבוע של מספר לא יכול להיות שווה למספר שלילי." הסבירו מה הטעות בנימוק של מאיה. קבעו בעזרת הדיסקרימיננטה כמה פתרונות יש למשוואה, ופתרו אותה.

(1) $3x^2-2x-5=0$

(2) $16x^2-24x+9=0$

(3) $2x^2-x+3=0$

$5x=2x^2+4$

נתון שגם $c\neq0$. הסבירו למה למשוואה $ax^2+bx+c=0$ ולמשוואה $cx^2+bx+a=0$ יש אותו מספר פתרונות.

עומר טוען: "אם מגדילים את $c$ במשוואה $ax^2+bx+c=0$ ולא משנים את $a$ ואת $b$, מספר הפתרונות לא יכול לגדול." הראו בדוגמה שהטענה של עומר אינה נכונה. לאילו ערכים של $a$ הטענה נכונה? הסבירו.

חשבו את הדיסקרימיננטה של כל אחת מהמשוואות $P=0$, $Q=0$, $R=0$. אחר כך פתרו את המשוואה $P=0$ וכתבו את $P$ כמכפלה. בדקו בפתיחת סוגריים.

הסבירו למה אי אפשר לכתוב את $Q$ כמכפלה $(x-t)(x-r)$, בשום מספרים $t$ ו-$r$.

אין שני מספרים שלמים שהמכפלה שלהם $1$ והסכום שלהם $3$, ולכן אי אפשר לפרק את $R$ בשיטת הסכום והמכפלה עם מספרים שלמים. האם בכל זאת אפשר לכתוב את $R$ כמכפלה $(x-t)(x-r)$? אם כן, מצאו את $t$ ואת $r$.

חשבו את הדיסקרימיננטה של כל אחת מהמשוואות $f(x)=0$, $g(x)=0$, $h(x)=0$, וקבעו כמה פתרונות יש לכל משוואה.

הפתרונות של המשוואה $f(x)=0$ הם שיעורי ה-$x$ של נקודות החיתוך של הגרף של $f$ עם ציר ה-$x$. היעזרו בסעיף א והתאימו לכל פונקציה את הגרף שלה. נמקו.

מצאו את שיעורי הנקודות המשותפות לציר ה-$x$ ולגרף של $f$, ואת שיעורי הנקודה המשותפת לציר ה-$x$ ולגרף של $g$.

לאילו ערכים של $c$ יש למשוואה (1) שני פתרונות? לאילו ערכים של $c$ יש למשוואה (2) שני פתרונות?

הסבירו למה אין אף ערך של $c$ שעבורו לשתי המשוואות אין פתרון.

לאילו ערכים של $c$ יש לשתי המשוואות יחד בדיוק שני פתרונות שונים? (פתרון שמשותף לשתי המשוואות נספר פעם אחת.)

פתרו את המשוואה $x^2-4x-21=0$ בנוסחת השורשים. חשבו את ההפרש בין הפתרון הגדול לפתרון הקטן, והשוו אותו ל-$\sqrt{b^2-4ac}$.

הסבירו בעזרת נוסחת השורשים למה בכל משוואה $x^2+bx+c=0$ שיש לה שני פתרונות, ההפרש בין הפתרון הגדול לפתרון הקטן שווה ל-$\sqrt{b^2-4ac}$. מה קורה להפרש כאשר $b^2-4ac=0$?

מצאו את $c$ כך שלמשוואה $x^2+2x+c=0$ יהיו שני פתרונות שההפרש ביניהם $6$. מצאו את הפתרונות.

נועה קיבלה מכפלה $20$. כתבו משוואה מתאימה בצורה $ax^2+bx+c=0$, חשבו את הדיסקרימיננטה, ומצאו את כל המספרים שנועה יכלה לבחור.

האם נועה יכולה לקבל מכפלה $-16$? אם כן, מצאו את כל המספרים שהיא יכלה לבחור.

האם נועה יכולה לקבל מכפלה $-18$? נמקו בעזרת הדיסקרימיננטה.

פתחו סוגריים בכל אחת מהפונקציות, וחשבו את הדיסקרימיננטה $b^2-4ac$ של המשוואה $f(x)=0$.

$f_1(x)=2(x-1)^2-8$, $f_2(x)=-(x+3)^2+2$, $f_3(x)=3(x+2)^2+5$

בכל פונקציה חשבו את המכפלה $-4ak$, כאשר $a$ ו-$k$ לקוחים מההצגה $a(x-p)^2+k$. השוו לדיסקרימיננטה שמצאתם בסעיף א, ונסחו השערה.

הסבירו למה ההשערה נכונה לכל $a\neq0$ ולכל $p$ ו-$k$.

היעזרו בסעיף ג: מה צריך להתקיים ל-$a$ ול-$k$ כדי שלגרף של $f(x)=a(x-p)^2+k$ יהיו שתי נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$? הסבירו את אותה מסקנה גם בעזרת הקדקוד $(p,k)$ וסוג נקודת הקיצון.

בביטוי $-4ak$ לא מופיע $p$. הסבירו בעזרת הזזות למה מספר נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה-$x$ לא תלוי ב-$p$.

הביעו בעזרת $x$ את אורך החלק הראשון של החוט, את אורך החלק השני ואת אורך הצלע של הריבוע השני. אילו ערכים יכול לקבל $x$?

הראו שהשטח הכולל של שני הריבועים (בסמ"ר) הוא $S=2x^2-20x+100$.

האם אפשר לחתוך את החוט כך שהשטח הכולל יהיה $58$ סמ"ר? אם כן, מצאו את אורכי הצלעות של שני הריבועים.

האם אפשר לקבל שטח כולל של $50$ סמ"ר? ושל $40$ סמ"ר? נמקו בעזרת הדיסקרימיננטה, ותארו את החיתוך כשהוא אפשרי.

הסבירו בעזרת הדיסקרימיננטה למה אי אפשר לקבל שטח כולל קטן מ-$50$ סמ"ר.