מבחן לדוגמה: מערכת משוואות ממעלה שנייה: פתרון אלגברי בהצבה - כיתה ט'

אילו מהזוגות $(3,1)$, $(1,3)$, $(-1,9)$ הם פתרונות של המערכת? בדקו כל זוג בשתי המשוואות.

האם יש למערכת פתרון שבו $x=0$? נמקו.

בודדו את $x$ מהמשוואה הראשונה, הציבו אותו במשוואה השנייה, והראו שמתקבלת המשוואה $y^2+2y-8=0$.

פתרו את המשוואה $y^2+2y-8=0$.

השלימו כל ערך של $y$ לזוג סדור $(x,y)$, ובדקו כל זוג בשתי המשוואות של המערכת.

פתרו את המערכת

הסבירו למה $(2,4)$ ו-$(4,2)$ הם שני פתרונות שונים.

פתרו את המערכת

הראו שלמערכת

אין פתרון.

בכל אחד מהסעיפים א-ג ההצבה נתנה משוואה מהצורה $x^2-6x+p=0$, כאשר $p$ הוא הערך של המכפלה $xy$.

היעזרו בזה ובדיסקרימיננטה, וקבעו כמה פתרונות יש לכל אחת מהמערכות:

(1) $x+y=6$ ו-$xy=9.5$

(2) $x+y=6$ ו-$xy=-16$

מצאו את הפתרונות של המערכת שיש לה פתרונות.

לכל זוג שמקיים $x+y=6$ מתקיים $y=6-x$, ולכן $xy=x(6-x)$. היעזרו בפונקציה $f(x)=x(6-x)$ והסבירו למה אין פתרון לאף מערכת שבה $x+y=6$ ו-$xy$ שווה למספר גדול מ-$9$.

בדקו כל אחד מארבעת הזוגות של רון בשתי המשוואות. אילו מהם אינם פתרונות של המערכת?

הסבירו מה הטעות של רון, וכתבו את הפתרונות הנכונים של המערכת.

הסבירו למה, כאשר ההצבה מובילה למשוואה ריבועית (כמו במערכת של רון), למערכת יש לכל היותר שני פתרונות.

פתרו את המערכת בדרך ההצבה. איזו משוואה התקבלה אחרי ההצבה?

פתרו את המערכת בדרך ההצבה. איזו משוואה התקבלה אחרי ההצבה?

בשתי המערכות שבסעיפים א ו-ב יש פתרון אחד בלבד. הסבירו מה ההבדל בין הסיבות.

נועה טוענת: "אם אחרי ההצבה האיברים הריבועיים מתבטלים, אז למערכת יש בדיוק פתרון אחד".

הראו בעזרת המערכת $x=y$, $x^2-y^2=6$ שהטענה של נועה אינה נכונה.

בלי להציב, היעזרו בפירוק $x^2-y^2=(x+y)(x-y)$ והסבירו למה למערכת $x+y=3$, $x^2-y^2=6$ יש בדיוק פתרון אחד. מצאו אותו.