שאלות פתוחות: מערכת משוואות ממעלה שנייה: פתרון אלגברי בהצבה - כיתה ט'

מערכות משוואות ממעלה שנייה לכיתה ט', בפתרון אלגברי בשיטת ההצבה. ברוב השאלות משוואה אחת קווית והשנייה ריבועית, כמו 2x+y=7 עם x²+y=10, והתשובות נכתבות כזוגות סדורים בערכים מדויקים. יש גם שימוש בנוסחאות הכפל המקוצר, מערכת עם xy=4, וניתוח פתרון של תלמיד ששכח לבדוק את הערכים. רמה א', רמה ב' ומצוינות. אפשר לבחור מכאן שאלות לבוחן או למבחן ולהוריד אותן ל-Word עם פתרונות מלאים.

18 שאלותרמה א': 9רמה ב': 5מצוינות: 4

שאלה 1 · הצבה שמובילה לפתרונות שבריים ואי-רציונלייםשאלה קצרה · רמה א'

פתרו את מערכות המשוואות. כתבו את הפתרונות כזוגות סדורים, בערכים מדויקים.

א.

{3x−y=2x2+xy=12\begin{cases}3x-y=2\\x^2+xy=12\end{cases}{3x−y=2x2+xy=12​

ב.

{x−y=1xy=1\begin{cases}x-y=1\\xy=1\end{cases}{x−y=1xy=1​

שאלה 2 · הצבה כשאחד הנעלמים כבר מבודדשאלה קצרה · רמה ב'

בכל מערכת אחד הנעלמים כבר מבודד. הציבו אותו במשוואה השנייה ופתרו את המערכת. כתבו את הפתרונות כזוגות סדורים (x,y)(x,y)(x,y).

א.

{x=2yxy=18\begin{cases}x=2y\\xy=18\end{cases}{x=2yxy=18​

ב.

{x=y−2x2+2y=12\begin{cases}x=y-2\\x^2+2y=12\end{cases}{x=y−2x2+2y=12​

שאלה 3 · סכום, סכום ריבועים ומכפלה: מתי אין פתרוןשאלה קצרה · מצוינות

בשני הסעיפים היעזרו בנוסחאות הכפל המקוצר (x+y)2=x2+2xy+y2(x+y)^2=x^2+2xy+y^2(x+y)2=x2+2xy+y2 ו-(x−y)2=x2−2xy+y2(x-y)^2=x^2-2xy+y^2(x−y)2=x2−2xy+y2.

א.

נתונה המערכת 
{x+y=9x2+y2=41\begin{cases}x+y=9\\x^2+y^2=41\end{cases}{x+y=9x2+y2=41​
בלי לפתור את המערכת, חשבו את xyxyxy. אחר כך מצאו את כל פתרונות המערכת.

ב.

נתונה המערכת 
{x+y=9x2+y2=40\begin{cases}x+y=9\\x^2+y^2=40\end{cases}{x+y=9x2+y2=40​
הסבירו למה אין למערכת פתרון. תנו שני נימוקים: אחד בדרך ההצבה, ואחד בעזרת הביטוי (x−y)2(x-y)^2(x−y)2.

שאלה 4 · מערכות ממעלה שנייה: מכפלות, וסכום ריבועיםשאלה קצרה · רמה א'

פתרו את מערכות המשוואות הבאות:

א.

{xy=20(x+6)(y−3)=20\begin{cases}xy = 20\\(x+6)(y-3) = 20\end{cases}{xy=20(x+6)(y−3)=20​

ב.

{x−y=3x2+y2=29\begin{cases}x - y = 3\\x^2 + y^2 = 29\end{cases}{x−y=3x2+y2=29​

שאלה 5 · מהו פתרון של מערכת: בדיקה בשתי המשוואותשאלה קצרה · רמה ב'

נתונה מערכת המשוואות:
{2x+y=7x2+y=10\begin{cases}2x+y=7\\x^2+y=10\end{cases}{2x+y=7x2+y=10​

א.

אילו מהזוגות (3,1)(3,1)(3,1), (1,3)(1,3)(1,3), (−1,9)(-1,9)(−1,9) הם פתרונות של המערכת? בדקו כל זוג בשתי המשוואות.

ב.

האם יש למערכת פתרון שבו x=0x=0x=0? נמקו.

שאלה 6 · ארבעה "פתרונות" למערכת: איפה הטעות?שאלת ביניים · מצוינות

רון פתר את המערכת
{x+y=1x2+y2=25\begin{cases}x+y=1\\x^2+y^2=25\end{cases}{x+y=1x2+y2=25​
כך: הוא הציב y=1−xy=1-xy=1−x במשוואה השנייה וקיבל x=4x=4x=4 או x=−3x=-3x=−3.
אחר כך הציב כל ערך של xxx במשוואה x2+y2=25x^2+y^2=25x2+y2=25: עבור x=4x=4x=4 קיבל y=3y=3y=3 או y=−3y=-3y=−3, ועבור x=−3x=-3x=−3 קיבל y=4y=4y=4 או y=−4y=-4y=−4.
לכן כתב שלמערכת יש ארבעה פתרונות: (4,3)(4,3)(4,3), (4,−3)(4,-3)(4,−3), (−3,4)(-3,4)(−3,4), (−3,−4)(-3,-4)(−3,−4).

א.

בדקו כל אחד מארבעת הזוגות של רון בשתי המשוואות. אילו מהם אינם פתרונות של המערכת?

ב.

הסבירו מה הטעות של רון, וכתבו את הפתרונות הנכונים של המערכת.

ג.

הסבירו למה, כאשר ההצבה מובילה למשוואה ריבועית (כמו במערכת של רון), למערכת יש לכל היותר שני פתרונות.

שאלה 7 · מערכת עם מכפלות: מחסירים ומקבלים משוואה ליניאריתשאלת ביניים · רמה א'

נתונה מערכת המשוואות:
{xy=4(x−1)(y+2)=9\begin{cases}xy=4\\(x-1)(y+2)=9\end{cases}{xy=4(x−1)(y+2)=9​

א.

פתחו את הסוגריים במשוואה השנייה, והיעזרו במשוואה הראשונה כדי להראות שבכל פתרון של המערכת מתקיים y=2x−7y=2x-7y=2x−7.

ב.

פתרו את המערכת, ובדקו כל אחד מהפתרונות בשתי המשוואות.

שאלה 8 · מערכת ממעלה שנייה: הצבה מתוך סכוםשאלה קצרה · רמה ב'

פתרו את מערכת המשוואות הבאה:

{x+y=4x2−3y=6\begin{cases}x + y = 4\\x^2 - 3y = 6\end{cases}{x+y=4x2−3y=6​

שאלה 9 · פתרון יחיד למערכת: שתי סיבות שונותשאלה מלאה · מצוינות

בשאלה זו בודקים מערכות של משוואה ממעלה ראשונה ומשוואה ממעלה שנייה שיש להן בדיוק פתרון אחד, ומבררים למה.

א.

פתרו את המערכת בדרך ההצבה. איזו משוואה התקבלה אחרי ההצבה?
{y−x=1x2+3x−y2=2\begin{cases}y-x=1\\x^2+3x-y^2=2\end{cases}{y−x=1x2+3x−y2=2​

ב.

פתרו את המערכת בדרך ההצבה. איזו משוואה התקבלה אחרי ההצבה?
{x−y=2x2−4y=4\begin{cases}x-y=2\\x^2-4y=4\end{cases}{x−y=2x2−4y=4​

ג.

בשתי המערכות שבסעיפים א ו-ב יש פתרון אחד בלבד. הסבירו מה ההבדל בין הסיבות.

ד.

נועה טוענת: "אם אחרי ההצבה האיברים הריבועיים מתבטלים, אז למערכת יש בדיוק פתרון אחד".
הראו בעזרת המערכת x=yx=yx=y, x2−y2=6x^2-y^2=6x2−y2=6 שהטענה של נועה אינה נכונה.

ה.

בלי להציב, היעזרו בפירוק x2−y2=(x+y)(x−y)x^2-y^2=(x+y)(x-y)x2−y2=(x+y)(x−y) והסבירו למה למערכת x+y=3x+y=3x+y=3, x2−y2=6x^2-y^2=6x2−y2=6 יש בדיוק פתרון אחד. מצאו אותו.

שאלה 10 · איזה נעלם כדאי לבודד? שתי דרכים לאותה מערכתשאלת ביניים · רמה א'

נתונה מערכת המשוואות:
{2x−y=33x2−y2=2\begin{cases}2x-y=3\\3x^2-y^2=2\end{cases}{2x−y=33x2−y2=2​
דנה ויוסי פותרים אותה בדרך ההצבה, אבל כל אחד מהם מבודד נעלם אחר מהמשוואה הראשונה.

א.

דנה בודדה את yyy. פתרו את המערכת בדרך של דנה.

ב.

יוסי בודד את xxx וקיבל x=y+32x=\frac{y+3}{2}x=2y+3​. הציבו את הביטוי של יוסי במשוואה השנייה, פתרו את המשוואה שמתקבלת, והראו שמתקבלים אותם זוגות סדורים כמו בסעיף א.

ג.

איזו דרך נוחה יותר במערכת הזאת? נמקו.

עוד 4 שאלות על מערכת משוואות ממעלה שנייה: פתרון אלגברי בהצבה

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פתרון מערכת בהצבה, שלב אחר שלב (שאלת ביניים · רמה ב')
נתונה מערכת המשוואות:
$\begin{cases}x-y=4\\y^2+2x=16\end{cases}$
פותרים אותה בדרך ההצבה, שלב אחר שלב.
הניצבים מתוך השטח והיתר (שאלה קצרה · מצוינות)
במשולש ישר-זווית $a$ ו- $b$ הם אורכי הניצבים (בס"מ).
סכום קבוע ומכפלות שונות: כמה פתרונות יש למערכת? (שאלה מלאה · רמה א')
בשאלה זו בודקים מערכות שבהן המשוואה הראשונה היא תמיד $x+y=6$ , ובמשוואה השנייה המכפלה $xy$ שווה למספרים שונים.
מערכת בהצבה: שני פתרונות, ואחר כך פתרון אחד (שאלה מלאה · רמה ב')
נתונה מערכת המשוואות:
$\begin{cases}x+y=8\\x^2+4y=44\end{cases}$

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (4)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

מציאת אורך ורוחב של מלבן מהיקף ושטח בעזרת מערכת משוואות (שאלה קצרה · רמה א')
משפחה רוצה להזמין כיסוי לבריכה המלבנית שבחצר ביתה. במסמכי הבנייה של הבריכה רשום שהיקפה $38$ מטר ושטח פני המים…
מלבן ששומר על שטחו כשמשנים את צלעותיו (שאלת ביניים · רמה א')
שטח של מלבן הוא $48$ סמ"ר. אם מאריכים את אורך המלבן ב- $4$ ס"מ ומקצרים את רוחבו ב- $2$ ס"מ, מתקבל מלבן חדש שגם…
פתרון מערכת בשיטת ההצבה (שאלה קצרה · רמה א')
פתרו את מערכת המשוואות:
$\begin{cases}x-2y=1\\x^2-3y^2=13\end{cases}$
מערכות שבהן פירוק לגורמים חוסך עבודה (שאלה קצרה · רמה א')
פתרו את מערכות המשוואות. שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.