מבחן לדוגמה: יישומים: ערך מרבי ומזערי בעזרת קדקוד הפרבולה - כיתה ט'

יואב בחר שני מספרים חיוביים. אחד מהם גדול מהשני ב-$4$, והמכפלה שלהם $60$. נסמן את המספר הקטן ב-$x$. כתבו משוואה ומצאו את שני המספרים ואת הסכום שלהם. הסבירו מדוע פוסלים את הפתרון השני של המשוואה.

עכשיו בוחרים שני מספרים חיוביים אחרים שהסכום שלהם $16$. נסמן אחד מהם ב-$x$. הביעו את המכפלה $M(x)$ בעזרת $x$, ומצאו את המכפלה הגדולה ביותר. האם אפשר לקבל מכפלה $55$? ומכפלה $70$?

מיכל אומרת: "יש עוד זוג של מספרים חיוביים שהסכום שלהם $16$ והמכפלה שלהם $60$, שונה מהזוג של יואב." היעזרו בפונקציה $M$ ובדקו את הטענה.

הסבירו מדוע אורך הצלע השנייה הוא $18-x$, ומדוע השטח (במ"ר) הוא $S(x)=x(18-x)$. אילו ערכים יכול לקבל $x$?

מצאו את השטח הגדול ביותר שאפשר להקיף, ואת מידות הערוגה במקרה הזה. אחר כך ענו: המשתלה הבטיחה לנועה ערוגה ששטחה $90$ מ"ר. האם זה אפשרי עם $36$ מטר של גדר? ואם נועה תשתמש רק בחלק מהגדר, האם השטח יכול לגדול? נמקו.

נועה החליטה על ערוגה ששטחה $65$ מ"ר. מצאו את מידות הערוגה. דנה אומרת: "למשוואה יש שני פתרונות, ולכן יש שתי ערוגות שונות." האם היא צודקת?

פתרו את המערכת

הסבירו למה $(2,4)$ ו-$(4,2)$ הם שני פתרונות שונים.

פתרו את המערכת

הראו שלמערכת

אין פתרון.

בכל אחד מהסעיפים א-ג ההצבה נתנה משוואה מהצורה $x^2-6x+p=0$, כאשר $p$ הוא הערך של המכפלה $xy$.

היעזרו בזה ובדיסקרימיננטה, וקבעו כמה פתרונות יש לכל אחת מהמערכות:

(1) $x+y=6$ ו-$xy=9.5$

(2) $x+y=6$ ו-$xy=-16$

מצאו את הפתרונות של המערכת שיש לה פתרונות.

לכל זוג שמקיים $x+y=6$ מתקיים $y=6-x$, ולכן $xy=x(6-x)$. היעזרו בפונקציה $f(x)=x(6-x)$ והסבירו למה אין פתרון לאף מערכת שבה $x+y=6$ ו-$xy$ שווה למספר גדול מ-$9$.

מה ההכנסה היומית עכשיו? מה יהיו מחיר הכוס, מספר הכוסות ביום וההכנסה היומית, אם המחיר יעלה ב-$10\%$?

הביעו בעזרת $p$ את מחיר הכוס, את מספר הכוסות ביום ואת ההכנסה היומית $R$ אחרי ההעלאה.

בעל בית הקפה רוצה הכנסה יומית של $3{,}888$ ש"ח. בכמה אחוזים עליו להעלות את המחיר? מצאו את כל האפשרויות, ולכל אחת כתבו את מחיר הכוס ואת מספר הכוסות ביום.

הכנת כל כוס קפה עולה לבעל בית הקפה $3$ ש"ח. איזו משתי האפשרויות שבסעיף ג משאירה לו יותר כסף בכל יום (ההכנסה פחות עלות ההכנה)? בכמה ש"ח?

ההכנסה $R$ היא פונקציה ריבועית של $p$. באיזה אחוז העלאה ההכנסה היומית היא הגדולה ביותר? מה ההכנסה הזאת, ומה יהיו אז מחיר הכוס ומספר הכוסות?

הביעו את $S$ באמצעות $x$ בלבד. לאיזה זוג $S$ הוא הקטן ביותר, ומהו הערך הקטן ביותר של $S$?

שקד טוענת: "יש זוג מספרים שהסכום שלהם $14$ וסכום הריבועים שלהם $90$." האם היא צודקת? נמקו בשתי דרכים: בעזרת סעיף א, ובעזרת מספר הפתרונות של משוואה.

הביעו בעזרת $x$ ו-$P$ את השטח $S(x)$ של המכלאה. הראו שהשטח הגדול ביותר שאפשר להקיף בגדר שאורכה $P$ הוא $\frac{P^2}{16}$, ומתקבל בריבוע.

המכלאה צריכה להיות בשטח $36$ מ"ר בדיוק. מהו האורך הקטן ביותר של גדר שמאפשר זאת? הסבירו מדוע בגדר קצרה יותר זה בלתי אפשרי, ומהן המידות של המכלאה בגדר הקצרה ביותר.

החוואי קנה $24$ מטר של גדר, ואחר כך החליט שהמכלאה צריכה להיות בשטח $49$ מ"ר. האם הגדר מספיקה? אם לא, כמה מטרים של גדר עליו לקנות לפחות בנוסף? סרטטו סקיצה של הפונקציה $S$ עבור הגדר המקורית, עם התחום שלה והקדקוד, והראו בה את התשובה.