דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: יישומים: ערך מרבי ומזערי בעזרת קדקוד הפרבולה - כיתה ט'

בעיות ערך מרבי ומזערי בעזרת קדקוד הפרבולה, לכיתה ט'. השאלות לקוחות ממצבים מוכרים: ערוגה מלבנית שמקיפים ב-36 מטר גדר, מכלאה עם היקף נתון, בית קפה ששוקל להעלות מחיר, זיקוק שגובהו מתואר בנוסחה, וסכום ריבועים של שני מספרים שסכומם 14. בכל אחת בונים פונקציה ריבועית ומוצאים את הקדקוד. יש שאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. מורה יכול לבנות מהן מבחן, בוחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל סעיף ויצוא ל-Word.

57 שאלותרמה א': 38רמה ב': 10מצוינות: 9

שאלה 1 · שתי תוכניות למגרש משחקים: ריבוע או מלבןשאלה מלאה · רמה א'

לבית ספר הוצעו שתי תוכניות למגרש משחקים.

בתוכנית הראשונה המגרש הוא ריבוע שאורך צלעו x+3x+3 מטרים.

בתוכנית השנייה המגרש הוא מלבן שאורכו 2x2x מטרים ורוחבו x−1x-1 מטרים (x>1x>1).

מסמנים ב-S(x)S(x) את השטח (במ"ר) של המגרש הריבועי, וב-R(x)R(x) את השטח (במ"ר) של המגרש המלבני.

לפניכם סקיצה של הגרפים של שתי הפונקציות, עבור x>1x>1.

א.

כתבו את S(x)S(x) ואת R(x)R(x) בהצגה סטנדרטית.

ב.

עבור איזה ערך של xx שטחי שני המגרשים שווים? מהו השטח במקרה זה? מהן המידות של שני המגרשים?

ג.

עבור אילו ערכים של xx המגרש הריבועי גדול יותר? היעזרו בסקיצה ובדקו בחישוב.

ד.

עבור איזה ערך של xx ההפרש S(x)−R(x)S(x)-R(x) הוא הגדול ביותר? מהו ההפרש הזה, ומה השטח של כל אחד מהמגרשים במקרה זה?

ה.

האם יש ערך של xx שעבורו המגרש המלבני גדול מהמגרש הריבועי ב-2020 מ"ר? אם כן, מצאו אותו בקירוב של שתי ספרות אחרי הנקודה.

שאלה 2 · גדר של מטר: איזה מלבן אפשר להקיף?שאלת ביניים · רמה ב'

לנועה יש 3636 מטר של גדר. היא רוצה להקיף בכל הגדר ערוגה מלבנית. נסמן ב-xx את אורך אחת הצלעות של הערוגה (במטרים).

א.

הסבירו מדוע אורך הצלע השנייה הוא 18−x18-x, ומדוע השטח (במ"ר) הוא S(x)=x(18−x)S(x)=x(18-x). אילו ערכים יכול לקבל xx?

ב.

מצאו את השטח הגדול ביותר שאפשר להקיף, ואת מידות הערוגה במקרה הזה. אחר כך ענו: המשתלה הבטיחה לנועה ערוגה ששטחה 9090 מ"ר. האם זה אפשרי עם 3636 מטר של גדר? ואם נועה תשתמש רק בחלק מהגדר, האם השטח יכול לגדול? נמקו.

ג.

נועה החליטה על ערוגה ששטחה 6565 מ"ר. מצאו את מידות הערוגה. דנה אומרת: "למשוואה יש שני פתרונות, ולכן יש שתי ערוגות שונות." האם היא צודקת?

שאלה 3 · כמה גדר צריך לפחות? מהשטח אל ההיקףשאלת ביניים · מצוינות

חוואי רוצה להקיף בגדר מכלאה מלבנית. אורך הגדר הוא PP מטרים, וכולה משמשת להיקף. נסמן ב-xx את אורך אחת הצלעות (במטרים).

א.

הביעו בעזרת xx ו-PP את השטח S(x)S(x) של המכלאה. הראו שהשטח הגדול ביותר שאפשר להקיף בגדר שאורכה PP הוא P216\frac{P^2}{16}, ומתקבל בריבוע.

ב.

המכלאה צריכה להיות בשטח 3636 מ"ר בדיוק. מהו האורך הקטן ביותר של גדר שמאפשר זאת? הסבירו מדוע בגדר קצרה יותר זה בלתי אפשרי, ומהן המידות של המכלאה בגדר הקצרה ביותר.

ג.

החוואי קנה 2424 מטר של גדר, ואחר כך החליט שהמכלאה צריכה להיות בשטח 4949 מ"ר. האם הגדר מספיקה? אם לא, כמה מטרים של גדר עליו לקנות לפחות בנוסף? סרטטו סקיצה של הפונקציה SS עבור הגדר המקורית, עם התחום שלה והקדקוד, והראו בה את התשובה.

שאלה 4 · סכום קבוע ומכפלות שונות: כמה פתרונות יש למערכת?שאלה מלאה · רמה א'

בשאלה זו בודקים מערכות שבהן המשוואה הראשונה היא תמיד x+y=6x+y=6, ובמשוואה השנייה המכפלה xyxy שווה למספרים שונים.

א.

פתרו את המערכת

{x+y=6xy=8\begin{cases}x+y=6\\xy=8\end{cases}

הסבירו למה (2,4)(2,4) ו-(4,2)(4,2) הם שני פתרונות שונים.

ב.

פתרו את המערכת

{x+y=6xy=9\begin{cases}x+y=6\\xy=9\end{cases}
ג.

הראו שלמערכת

{x+y=6xy=10\begin{cases}x+y=6\\xy=10\end{cases}

אין פתרון.

ד.

בכל אחד מהסעיפים א-ג ההצבה נתנה משוואה מהצורה x2−6x+p=0x^2-6x+p=0, כאשר pp הוא הערך של המכפלה xyxy.

היעזרו בזה ובדיסקרימיננטה, וקבעו כמה פתרונות יש לכל אחת מהמערכות:

(1) x+y=6x+y=6 ו-xy=9.5xy=9.5

(2) x+y=6x+y=6 ו-xy=−16xy=-16

מצאו את הפתרונות של המערכת שיש לה פתרונות.

ה.

לכל זוג שמקיים x+y=6x+y=6 מתקיים y=6−xy=6-x, ולכן xy=x(6−x)xy=x(6-x). היעזרו בפונקציה f(x)=x(6−x)f(x)=x(6-x) והסבירו למה אין פתרון לאף מערכת שבה x+y=6x+y=6 ו-xyxy שווה למספר גדול מ-99.

שאלה 5 · שני מספרים: מהמכפלה אל הסכום, ומהסכום אל המכפלה הגדולה ביותרשאלת ביניים · רמה ב'

במשחק בכיתה בוחרים שני מספרים חיוביים.

א.

יואב בחר שני מספרים חיוביים. אחד מהם גדול מהשני ב-44, והמכפלה שלהם 6060. נסמן את המספר הקטן ב-xx. כתבו משוואה ומצאו את שני המספרים ואת הסכום שלהם. הסבירו מדוע פוסלים את הפתרון השני של המשוואה.

ב.

עכשיו בוחרים שני מספרים חיוביים אחרים שהסכום שלהם 1616. נסמן אחד מהם ב-xx. הביעו את המכפלה M(x)M(x) בעזרת xx, ומצאו את המכפלה הגדולה ביותר. האם אפשר לקבל מכפלה 5555? ומכפלה 7070?

ג.

מיכל אומרת: "יש עוד זוג של מספרים חיוביים שהסכום שלהם 1616 והמכפלה שלהם 6060, שונה מהזוג של יואב." היעזרו בפונקציה MM ובדקו את הטענה.

שאלה 6 · סכום קבוע: מתי סכום הריבועים הקטן ביותר?שאלה קצרה · מצוינות

שני מספרים, xx ו-yy, מקיימים x+y=14x+y=14. לכל זוג כזה נתבונן בסכום הריבועים S=x2+y2S=x^2+y^2.

א.

הביעו את SS באמצעות xx בלבד. לאיזה זוג SS הוא הקטן ביותר, ומהו הערך הקטן ביותר של SS?

ב.

שקד טוענת: "יש זוג מספרים שהסכום שלהם 1414 וסכום הריבועים שלהם 9090." האם היא צודקת? נמקו בשתי דרכים: בעזרת סעיף א, ובעזרת מספר הפתרונות של משוואה.

שאלה 7 · בית קפה: העלאת מחיר באחוזים והכנסה יומיתשאלה מלאה · רמה א'

בבית קפה מוכרים כוס קפה ב-1212 ש"ח, ונמכרות 300300 כוסות ביום. בעל בית הקפה שוקל להעלות את המחיר. לפי ההערכה שלו, אם יעלה את המחיר ב-pp אחוזים, מספר הכוסות שיימכרו ביום יקטן ב-p2\frac{p}{2} אחוזים (חצי מאחוז ההעלאה). כאן 0<p<2000<p<200.

ההכנסה היומית היא מחיר כוס כפול מספר הכוסות שנמכרו ביום.

א.

מה ההכנסה היומית עכשיו? מה יהיו מחיר הכוס, מספר הכוסות ביום וההכנסה היומית, אם המחיר יעלה ב-10%10\%?

ב.

הביעו בעזרת pp את מחיר הכוס, את מספר הכוסות ביום ואת ההכנסה היומית RR אחרי ההעלאה.

ג.

בעל בית הקפה רוצה הכנסה יומית של 3,8883{,}888 ש"ח. בכמה אחוזים עליו להעלות את המחיר? מצאו את כל האפשרויות, ולכל אחת כתבו את מחיר הכוס ואת מספר הכוסות ביום.

ד.

הכנת כל כוס קפה עולה לבעל בית הקפה 33 ש"ח. איזו משתי האפשרויות שבסעיף ג משאירה לו יותר כסף בכל יום (ההכנסה פחות עלות ההכנה)? בכמה ש"ח?

ה.

ההכנסה RR היא פונקציה ריבועית של pp. באיזה אחוז העלאה ההכנסה היומית היא הגדולה ביותר? מה ההכנסה הזאת, ומה יהיו אז מחיר הכוס ומספר הכוסות?

שאלה 8 · זיקוק ושני הבזקים באותו גובהשאלת ביניים · מצוינות

זיקוק משוגר מהקרקע כלפי מעלה. הגובה שלו (במטרים), tt שניות אחרי השיגור, הוא h(t)=−5(t−4)2+80h(t)=-5(t-4)^2+80. הנוסחה מתארת את התנועה מהשיגור ועד שהזיקוק חוזר לקרקע. בזיקוק יש מנגנון שמפעיל שני הבזקי אור, בהפרש של 66 שניות זה מזה. רוצים ששני ההבזקים יהיו באותו גובה.

א.

כתבו לוח זמנים: מתי הזיקוק משוגר ומאיזה גובה, מתי הוא מגיע לגובה המרבי ומהו הגובה הזה, ומתי הוא חוזר לקרקע.

ב.

נסמן ב-tt את רגע ההבזק הראשון. מצאו את זמני שני ההבזקים ואת הגובה המשותף, והוכיחו שזה התכנון היחיד. הסבירו איך ציר הסימטריה של הפרבולה מאשר את התשובה.

ג.

יצרן אחר מציע מנגנון שעובד רק עד השנייה ה-66 אחרי השיגור. האם אפשר לבצע בו את התכנון? מהו ההפרש הגדול ביותר בין שני הבזקים באותו גובה שאפשר לתכנן במנגנון כזה? נמקו.

שאלה 9 · מסגרת מחוט באורך ס"מ: דרישות לשטח ולצלעותשאלת ביניים · רמה א'

מכופפים חוט באורך 4040 ס"מ למסגרת מלבנית (כל החוט משמש להיקף). נסמן ב-xx את אורך אחת הצלעות (בס"מ). השטח של המלבן (בסמ"ר) הוא S(x)=x(20−x)S(x)=x(20-x), כאשר 0<x<200<x<20.

א.

מהו השטח הגדול ביותר האפשרי? לקוח ביקש מסגרת ששטחה לפחות 110110 סמ"ר. האם אפשר לעמוד בבקשה? נמקו בעזרת הפונקציה.

ב.

לקוח אחר דורש שני תנאים יחד: השטח לפחות 8484 סמ"ר, וכל צלע לפחות 88 ס"מ. מצאו את כל ערכי xx שמקיימים את שני התנאים.

ג.

לקוח שלישי דורש: השטח לפחות 9191 סמ"ר, והצלע הארוכה לפחות 1414 ס"מ. הראו שאי אפשר לעמוד בשתי הדרישות. מה המספר הגדול ביותר שאפשר לשים במקום 1414 כדי שהדרישות יהיו אפשריות? מה המידות של המסגרת במקרה הזה? בדוח נכתב: "למשוואה x(20−x)=91x(20-x)=91 יש שני פתרונות, ולכן יש שתי מסגרות שונות ששטחן 9191 סמ"ר." האם זה נכון? נמקו.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (48)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.