מבחן לדוגמה: הזזה אנכית y=ax²+k - כיתה ט'

כל פונקציה מתקבלת מפונקציה מהצורה $y=ax^2$ בהזזה אנכית. כתבו לכל פונקציה: מאיזו פונקציה $y=ax^2$ היא מתקבלת, לאיזה כיוון (למעלה או למטה) ובכמה יחידות הוזז הגרף. מהו הקדקוד של כל פרבולה, והאם הוא נקודת מינימום או נקודת מקסימום?

כתבו את הפונקציה שהגרף שלה מתקבל מהגרף של $y=-2x^2$ בהזזה של $7$ יחידות למטה. כתבו גם את הפונקציה שהגרף שלה מתקבל מהגרף של $y=0.5x^2$ בהזזה אנכית, והקדקוד שלה הוא $(0,3)$. מהי משוואת ציר הסימטריה של שתי הפרבולות?

מה המחיר הכולל של הזמנת שטיח שאורך הצלע שלו $2$ מטרים? ושל שטיח שאורך הצלע שלו $3$ מטרים?

הגרף של $P$ מתקבל מהגרף של $y=50x^2$ בהזזה. לאיזה כיוון ובכמה יחידות? מהו הקדקוד של הפרבולה? מה מייצג המספר $40$ בהקשר של השאלה?

לקוח שילם $840$ שקלים על הזמנת שטיח אחד. מה אורך הצלע של השטיח?

האם אפשר להזמין שטיח במחיר כולל של $30$ שקלים? הסבירו בעזרת הקדקוד.

בחודש מבצע החנות מוותרת על דמי המשלוח. כתבו את הפונקציה $Q(x)$ שמתארת את המחיר הכולל בחודש המבצע. בכמה שקלים זולה כל הזמנה במבצע? איזו הזזה מעבירה את הגרף של $P$ לגרף של $Q$? מה המחיר במבצע של שטיח שאורך הצלע שלו $3$ מטרים? היעזרו בסעיף א.

לפניכם הגרף של פונקציה מהצורה $y=ax^2+k$. הקדקוד של הפרבולה הוא $V(0,9)$, והגרף עובר בנקודה $A(2,5)$.

מצאו את $k$ ואת $a$, וכתבו את הפונקציה.

הישר $y=12$ חותך את הגרף של הפונקציה $y=x^2+k$ בשתי נקודות, והמרחק בין שתי הנקודות הוא $8$. מצאו את $k$.

מה אורך מוט התלייה שבאמצע הגשר ($x=0$)? מה אורך המוט שב-$x=10$? באיזה גובה מעל מסלול ההליכה מחובר הכבל לעמודים?

מה האורך הכולל של שבעת מוטות התלייה? היעזרו בסימטריה.

המהנדסים מחליטים לחבר את הכבל לעמודים $0.5$ מטר גבוה יותר. כך כל הכבל עולה $0.5$ מטר, והצורה שלו לא משתנה. כתבו את הפונקציה שמתארת את הכבל החדש. מה האורך הכולל של שבעת המוטות עכשיו? באילו מקומות יש עכשיו מוטות שאורכם $3.5$ מטרים?

הסבירו למה לפונקציה יש שתי נקודות אפס כאשר ל-$a$ ול-$c$ יש סימנים מנוגדים, ואין לה נקודות אפס כאשר ל-$a$ ול-$c$ יש אותו סימן. נמקו באופן אלגברי ובעזרת הקדקוד.

ידוע ש-$f(3)=-5$ ו-$f(1)=3$. מצאו את $a$ ואת $c$, ומצאו את נקודות האפס של $f$. האם התוצאה מתאימה לסעיף א?

מיכל אומרת: "אם נזיז את הגרף של $f$ מסעיף ב למטה, בכמה יחידות שנרצה, תמיד יישארו לו שתי נקודות אפס." יונתן אומר: "אם נזיז את הגרף של $f$ למעלה מספיק יחידות, לא יהיו לו נקודות אפס." האם מיכל צודקת? האם יונתן צודק? נמקו, ותנו דוגמה לכל טענה שאינה נכונה.

הראו שלכל $x$ מתקיים $f(x)-g(x)=4$. איזו הזזה מעבירה את השפה התחתונה לשפה העליונה? מה העובי האנכי של הפס (המרחק האנכי בין שתי השפות) בכל מקום?

מצאו את הרוחב האופקי של הפס בגובה $y=1$ ובגובה $y=6$. כתבו תשובה מדויקת, וגם בקירוב של שתי ספרות אחרי הנקודה.

דנה מחשבת את הרוחב האופקי בגובה $y=22$ ואומרת: "הרוחב האופקי הולך וקטן ככל שעולים. לכן אם נמשיך את הפס מספיק גבוה, שתי השפות ייפגשו." חשבו את הרוחב בגובה $22$. האם דנה צודקת? נמקו.

המעצבת רוצה להשאיר את השפה התחתונה ולהחליף את השפה העליונה בגרף של פונקציה $h(x)=x^2+c$, כך שהרוחב האופקי של הפס בגובה $y=6$ יהיה בדיוק $1$. מצאו את $c$. מה יהיה העובי האנכי של הפס החדש?

בוחרים שוב שפה עליונה $h(x)=x^2+c$, כך שהישר $y=6$ חותך אותה. האם אפשר לבחור את $c$ כך שהרוחב האופקי של הפס בגובה $y=6$ יהיה $4$? נמקו. מהו הרוחב האופקי הגדול ביותר שאפשר לקבל בגובה $6$, ועבור איזה $c$?