מבחן לדוגמה: הצגה כמכפלה: נקודות אפס וקדקוד - כיתה ט'

מבחן במתמטיקה - כיתה ט'

הצגה כמכפלה: נקודות אפס וקדקוד

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · מההצגה כמכפלה: נקודות אפס, קדקוד ושתי הצגות נוספותשאלת ביניים · רמה ב'

נתונה הפונקציה f(x)=(x−1)(x−9)f(x)=(x-1)(x-9)f(x)=(x−1)(x−9).

א.

מצאו את נקודות האפס של fff ואת נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yyy. האם הפרבולה פתוחה כלפי מעלה או כלפי מטה? נמקו.

ב.

מצאו את משוואת ציר הסימטריה ואת הקדקוד של הפרבולה. האם הקדקוד הוא נקודת מינימום או נקודת מקסימום?

ג.

כתבו את fff בהצגה סטנדרטית ax2+bx+cax^2+bx+cax2+bx+c. השלימו: f(x)=(x−5)2+□f(x)=(x-5)^2+\squaref(x)=(x−5)2+□, ובדקו בפתיחת סוגריים. באיזה תחום fff יורדת, ובאיזה תחום fff שלילית?

שאלה 2 · פרבולה לפי נקודות האפס ועוד נתון אחדשאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף נתונה פרבולה אחרת, ונתונות נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-xxx.

א.

הפרבולה חותכת את ציר ה-xxx בנקודות (−8,0)(-8,0)(−8,0) ו-(4,0)(4,0)(4,0), והקדקוד שלה נמצא מעל ציר ה-xxx. האם הפרבולה פתוחה כלפי מעלה או כלפי מטה? מהו שיעור ה-xxx של הקדקוד? באיזה תחום הפונקציה יורדת, ובאיזה תחום היא חיובית? נמקו.

ב.

הפרבולה חותכת את ציר ה-xxx בנקודות (1,0)(1,0)(1,0) ו-(7,0)(7,0)(7,0), ועוברת בנקודה (0,−5)(0,-5)(0,−5). האם הקדקוד שלה נמצא מעל ציר ה-xxx או מתחתיו? באיזה תחום הפונקציה עולה? נמקו.

שאלה 3 · מכפלה שהמקדם בה אינו $1$ : קדקוד ושלוש הצגותשאלת ביניים · רמה א'

נתונה הפונקציה f(x)=(3x−6)(x+4)f(x)=(3x-6)(x+4)f(x)=(3x−6)(x+4).

א.

מצאו את נקודות האפס של fff. הוציאו גורם משותף מהסוגריים הראשונים, וכתבו את fff בצורה a(x−t)(x−r)a(x-t)(x-r)a(x−t)(x−r). האם לפונקציה יש נקודת מינימום או נקודת מקסימום? נמקו.

ב.

מצאו את משוואת ציר הסימטריה ואת הקדקוד. רון כתב: "הקדקוד הוא (−1,−9)(-1,-9)(−1,−9)." מה הטעות של רון?

ג.

כתבו את fff בהצגה סטנדרטית. הראו בפתיחת סוגריים ש-f(x)=3(x+1)2−27f(x)=3(x+1)^2-27f(x)=3(x+1)2−27. מצאו את נקודת החיתוך עם ציר ה-yyy מכל אחת משלוש ההצגות, ובדקו שמתקבלת אותה נקודה.

שאלה 4 · מתי אפשר לכתוב טרינום כמכפלה?שאלת ביניים · רמה א'

נתונים שלושה טרינומים:
P=x2+3x−10P=x^2+3x-10P=x2+3x−10, Q=x2+3x+3Q=x^2+3x+3Q=x2+3x+3, R=x2+3x+1R=x^2+3x+1R=x2+3x+1.
אם ttt ו-rrr הם שני הפתרונות של משוואה מהצורה x2+bx+c=0x^2+bx+c=0x2+bx+c=0, אפשר לכתוב x2+bx+c=(x−t)(x−r)x^2+bx+c=(x-t)(x-r)x2+bx+c=(x−t)(x−r) (את זה מכירים מההצגה כמכפלה).

א.

חשבו את הדיסקרימיננטה של כל אחת מהמשוואות P=0P=0P=0, Q=0Q=0Q=0, R=0R=0R=0. אחר כך פתרו את המשוואה P=0P=0P=0 וכתבו את PPP כמכפלה. בדקו בפתיחת סוגריים.

ב.

הסבירו למה אי אפשר לכתוב את QQQ כמכפלה (x−t)(x−r)(x-t)(x-r)(x−t)(x−r), בשום מספרים ttt ו-rrr.

ג.

אין שני מספרים שלמים שהמכפלה שלהם 111 והסכום שלהם 333, ולכן אי אפשר לפרק את RRR בשיטת הסכום והמכפלה עם מספרים שלמים. האם בכל זאת אפשר לכתוב את RRR כמכפלה (x−t)(x−r)(x-t)(x-r)(x−t)(x−r)? אם כן, מצאו את ttt ואת rrr.

שאלה 5 · שתי הצגות, שתי שאלות: נקודות על ציר ה- $x$ והנקודה הנמוכה ביותרשאלה קצרה · מצוינות

נתונה הפונקציה r(x)=x2−8x+12r(x)=x^2-8x+12r(x)=x2−8x+12.

א.

הראו בפתיחת סוגריים ש-r(x)=(x−2)(x−6)r(x)=(x-2)(x-6)r(x)=(x−2)(x−6) וגם r(x)=(x−4)2−4r(x)=(x-4)^2-4r(x)=(x−4)2−4. היעזרו בהצגה המתאימה ומצאו את נקודות החיתוך של הגרף של rrr עם ציר ה-xxx. אחר כך היעזרו בהצגה האחרת והסבירו מדוע הנקודה (4,−4)(4,-4)(4,−4) היא הנקודה הנמוכה ביותר על הגרף.

ב.

כתבו את ציר הסימטריה ואת תחום החיוביות של rrr. אחר כך מצאו פונקציה ריבועית sss שיש לה אותן נקודות אפס כמו ל-rrr, והערך הקטן ביותר שלה הוא −16-16−16. כתבו אותה בשתי ההצגות.

שאלה 6 · חוק שמקשר בין המקדם לשטח המשולששאלת ביניים · מצוינות

כל הפונקציות בשאלה הן מהצורה f(x)=ax(x−8)f(x)=ax(x-8)f(x)=ax(x−8), כאשר a≠0a\neq 0a=0. הגרף של כל אחת חותך את ציר ה-xxx בנקודות O(0,0)O(0,0)O(0,0) ו-B(8,0)B(8,0)B(8,0). VVV הוא הקדקוד. בונים את המשולש OBVOBVOBV.

א.

הראו שאם a>0a>0a>0, שטח המשולש OBVOBVOBV הוא 64a64a64a, ואם a<0a<0a<0, השטח הוא −64a-64a−64a. הסבירו מדוע אין צורך לחשב את האורכים של הצלעות OVOVOV ו-BVBVBV.

ב.

דרושה פרבולה כזאת שהקדקוד שלה מעל ציר ה-xxx, ושטח המשולש OBVOBVOBV הוא 323232. האם הדרישה קובעת את הפרבולה באופן יחיד? מצאו את fff ואת VVV, ובדקו שוב את השטח.

ג.

רוצים משולש ששטחו פי 333 משטח המשולש שבסעיף ב, ונקודות האפס נשארות במקומן. פי כמה משתנים אורך הבסיס, הגובה והמקדם aaa? כתבו את הפונקציה החדשה (גם כאן הקדקוד מעל ציר ה-xxx).

שאלה 1 · מההצגה כמכפלה: נקודות אפס, קדקוד ושתי הצגות נוספותשאלת ביניים · רמה ב'

שאלה 2 · פרבולה לפי נקודות האפס ועוד נתון אחדשאלה קצרה · רמה א'

שאלה 3 · מכפלה שהמקדם בה אינו 1: קדקוד ושלוש הצגותשאלת ביניים · רמה א'

שאלה 4 · מתי אפשר לכתוב טרינום כמכפלה?שאלת ביניים · רמה א'

שאלה 5 · שתי הצגות, שתי שאלות: נקודות על ציר ה-x והנקודה הנמוכה ביותרשאלה קצרה · מצוינות

שאלה 6 · חוק שמקשר בין המקדם לשטח המשולששאלת ביניים · מצוינות

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד

שאלה 3 · מכפלה שהמקדם בה אינו $1$ : קדקוד ושלוש הצגותשאלת ביניים · רמה א'

שאלה 5 · שתי הצגות, שתי שאלות: נקודות על ציר ה- $x$ והנקודה הנמוכה ביותרשאלה קצרה · מצוינות