דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: הצגה כמכפלה: נקודות אפס וקדקוד - כיתה ט'

הצגה כמכפלה של פונקציה ריבועית לכיתה ט': מציאת נקודות האפס והקדקוד מתוך f(x)=(x-1)(x-9) ודומיה. התלמידים כותבים טרינום כמכפלה בעזרת פתרונות המשוואה, מוצאים קדקוד כאמצע בין נקודות האפס, וחוקרים משפחת פרבולות y=ax(x-8). שאלה אחת משלבת שטח משולש שקדקודיו נקודות האפס וקדקוד הפרבולה. יש שאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. בחרו מהן מבחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים ואפשרות להוריד ל-Word.

33 שאלותרמה א': 23רמה ב': 6מצוינות: 4

שאלה 1 · מתי אפשר לכתוב טרינום כמכפלה?שאלת ביניים · רמה א'

נתונים שלושה טרינומים:

P=x2+3x−10P=x^2+3x-10, Q=x2+3x+3Q=x^2+3x+3, R=x2+3x+1R=x^2+3x+1.

אם tt ו-rr הם שני הפתרונות של משוואה מהצורה x2+bx+c=0x^2+bx+c=0, אפשר לכתוב x2+bx+c=(x−t)(x−r)x^2+bx+c=(x-t)(x-r) (את זה מכירים מההצגה כמכפלה).

א.

חשבו את הדיסקרימיננטה של כל אחת מהמשוואות P=0P=0, Q=0Q=0, R=0R=0. אחר כך פתרו את המשוואה P=0P=0 וכתבו את PP כמכפלה. בדקו בפתיחת סוגריים.

ב.

הסבירו למה אי אפשר לכתוב את QQ כמכפלה (x−t)(x−r)(x-t)(x-r), בשום מספרים tt ו-rr.

ג.

אין שני מספרים שלמים שהמכפלה שלהם 11 והסכום שלהם 33, ולכן אי אפשר לפרק את RR בשיטת הסכום והמכפלה עם מספרים שלמים. האם בכל זאת אפשר לכתוב את RR כמכפלה (x−t)(x−r)(x-t)(x-r)? אם כן, מצאו את tt ואת rr.

שאלה 2 · מההצגה כמכפלה: נקודות אפס, קדקוד ושתי הצגות נוספותשאלת ביניים · רמה ב'

נתונה הפונקציה f(x)=(x−1)(x−9)f(x)=(x-1)(x-9).

א.

מצאו את נקודות האפס של ff ואת נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-yy. האם הפרבולה פתוחה כלפי מעלה או כלפי מטה? נמקו.

ב.

מצאו את משוואת ציר הסימטריה ואת הקדקוד של הפרבולה. האם הקדקוד הוא נקודת מינימום או נקודת מקסימום?

ג.

כתבו את ff בהצגה סטנדרטית ax2+bx+cax^2+bx+c. השלימו: f(x)=(x−5)2+□f(x)=(x-5)^2+\square, ובדקו בפתיחת סוגריים. באיזה תחום ff יורדת, ובאיזה תחום ff שלילית?

שאלה 3 · חוק שמקשר בין המקדם לשטח המשולששאלת ביניים · מצוינות

כל הפונקציות בשאלה הן מהצורה f(x)=ax(x−8)f(x)=ax(x-8), כאשר a≠0a\neq 0. הגרף של כל אחת חותך את ציר ה-xx בנקודות O(0,0)O(0,0) ו-B(8,0)B(8,0). VV הוא הקדקוד. בונים את המשולש OBVOBV.

א.

הראו שאם a>0a>0, שטח המשולש OBVOBV הוא 64a64a, ואם a<0a<0, השטח הוא −64a-64a. הסבירו מדוע אין צורך לחשב את האורכים של הצלעות OVOV ו-BVBV.

ב.

דרושה פרבולה כזאת שהקדקוד שלה מעל ציר ה-xx, ושטח המשולש OBVOBV הוא 3232. האם הדרישה קובעת את הפרבולה באופן יחיד? מצאו את ff ואת VV, ובדקו שוב את השטח.

ג.

רוצים משולש ששטחו פי 33 משטח המשולש שבסעיף ב, ונקודות האפס נשארות במקומן. פי כמה משתנים אורך הבסיס, הגובה והמקדם aa? כתבו את הפונקציה החדשה (גם כאן הקדקוד מעל ציר ה-xx).

שאלה 4 · פרבולה לפי נקודות האפס ושטח משולששאלת ביניים · רמה א'

פונקציה ריבועית ff חותכת את ציר ה-xx בנקודות A(−1,0)A(-1,0) ו-B(5,0)B(5,0). VV הוא הקדקוד של הפרבולה. נתון ששטח המשולש ABVABV הוא 2727 יחידות שטח.

א.

הסבירו מדוע f(x)=a(x+1)(x−5)f(x)=a(x+1)(x-5) ומדוע שיעור ה-xx של VV הוא 22. היעזרו בשטח המשולש ומצאו את כל האפשרויות ל-aa, ולכל אפשרות כתבו את ff ואת VV.

ב.

נתון נוסף: f(0)<0f(0)<0. איזו מהאפשרויות מסעיף א מתאימה? הסבירו מדוע הנתונים קובעים עכשיו את ff באופן יחיד, ובדקו שוב את שטח המשולש בעזרת הנוסחה.

ג.

כתבו את תחום החיוביות ואת תחום השליליות של כל אחת משתי הפונקציות שמצאתם בסעיף א. האם יש ערך של xx שבו שתי הפונקציות חיוביות? נמקו.

שאלה 5 · שתי הצגות, שתי שאלות: נקודות על ציר ה- והנקודה הנמוכה ביותרשאלה קצרה · מצוינות

נתונה הפונקציה r(x)=x2−8x+12r(x)=x^2-8x+12.

א.

הראו בפתיחת סוגריים ש-r(x)=(x−2)(x−6)r(x)=(x-2)(x-6) וגם r(x)=(x−4)2−4r(x)=(x-4)^2-4. היעזרו בהצגה המתאימה ומצאו את נקודות החיתוך של הגרף של rr עם ציר ה-xx. אחר כך היעזרו בהצגה האחרת והסבירו מדוע הנקודה (4,−4)(4,-4) היא הנקודה הנמוכה ביותר על הגרף.

ב.

כתבו את ציר הסימטריה ואת תחום החיוביות של rr. אחר כך מצאו פונקציה ריבועית ss שיש לה אותן נקודות אפס כמו ל-rr, והערך הקטן ביותר שלה הוא −16-16. כתבו אותה בשתי ההצגות.

שאלה 6 · מכפלה שהמקדם בה אינו : קדקוד ושלוש הצגותשאלת ביניים · רמה א'

נתונה הפונקציה f(x)=(3x−6)(x+4)f(x)=(3x-6)(x+4).

א.

מצאו את נקודות האפס של ff. הוציאו גורם משותף מהסוגריים הראשונים, וכתבו את ff בצורה a(x−t)(x−r)a(x-t)(x-r). האם לפונקציה יש נקודת מינימום או נקודת מקסימום? נמקו.

ב.

מצאו את משוואת ציר הסימטריה ואת הקדקוד. רון כתב: "הקדקוד הוא (−1,−9)(-1,-9)." מה הטעות של רון?

ג.

כתבו את ff בהצגה סטנדרטית. הראו בפתיחת סוגריים ש-f(x)=3(x+1)2−27f(x)=3(x+1)^2-27. מצאו את נקודת החיתוך עם ציר ה-yy מכל אחת משלוש ההצגות, ובדקו שמתקבלת אותה נקודה.

שאלה 7 · פרבולה לפי נקודות האפס ועוד נתון אחדשאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף נתונה פרבולה אחרת, ונתונות נקודות החיתוך שלה עם ציר ה-xx.

א.

הפרבולה חותכת את ציר ה-xx בנקודות (−8,0)(-8,0) ו-(4,0)(4,0), והקדקוד שלה נמצא מעל ציר ה-xx. האם הפרבולה פתוחה כלפי מעלה או כלפי מטה? מהו שיעור ה-xx של הקדקוד? באיזה תחום הפונקציה יורדת, ובאיזה תחום היא חיובית? נמקו.

ב.

הפרבולה חותכת את ציר ה-xx בנקודות (1,0)(1,0) ו-(7,0)(7,0), ועוברת בנקודה (0,−5)(0,-5). האם הקדקוד שלה נמצא מעל ציר ה-xx או מתחתיו? באיזה תחום הפונקציה עולה? נמקו.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (26)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.