מבחן לדוגמה: גאומטריה חישובית במשולש: זוויות, קטעים מיוחדים, היקף ושטח - כיתה ט'

חוצה זווית מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות. כתבו משוואה ומצאו את $t$.

חשבו את $\angle KLN$ ואת $\angle KLM$. איזו זווית נחצתה, ומה גודלה?

חשבו את $\angle LMK$ ואת $\angle KNL$. בדקו את התשובה בעזרת סכום הזוויות במשולש $LNM$.

קבעו לפי הנתונים איזה מהקטעים $RH$, $RE$, $RK$ הוא הגובה לצלע $PQ$, איזה חוצה את $\angle PRQ$ ואיזה התיכון לצלע $PQ$. נמקו כל קביעה בעזרת ההגדרה של הקטע.

חשבו את $\angle PRQ$, את $\angle PRE$, את $\angle PRH$ ואת $\angle HRE$.

אלון טוען: "בכל משולש, חוצה הזווית מקודקוד הוא גם הגובה מאותו קודקוד." הפריכו את הטענה בעזרת סעיף ב. הראו שבמשולש הזה $\angle HRE$ שווה למחצית ההפרש $\angle PQR-\angle RPQ$. מה צריך להתקיים בין $\angle RPQ$ ל-$\angle PQR$ כדי ש-$RE$ ו-$RH$ יתלכדו?

חשבו את השטח של המפרש.

מצפים רק רבע מהשטח של המפרש בחומר שמחזיר קרינה. החומר עולה $36$ ש"ח למ"ר. כמה מ"ר יצופו, וכמה יעלה החומר? מה השטח שלא יצופה? בדקו ששני החלקים יחד הם כל המפרש.

קבעו לכל משפט אם הוא נתון (כתוב בשאלה), מסקנה (חישבנו אותה מהנתונים) או השערה (אי אפשר להכריע בה לפי הנתונים). נמקו.

(1) הגובה $CH$ הוא $4$ מ'.

(2) השטח שלא יצופה גדול פי $3$ מהשטח שיצופה.

(3) מתחת לחלק המצופה יהיה קריר יותר מאשר מתחת לשאר המפרש.

במשולש $ABC$: $\angle A=115^\circ$, $\angle B=40^\circ$. הקטע $CH$ הוא הגובה מ-$C$ לישר $AB$. רינה אומרת שהנקודה $H$ נמצאת על הצלע $AB$. הסבירו בעזרת סכום הזוויות במשולש $AHC$ למה רינה טועה, וקבעו היכן נמצאת $H$. מצאו את הזוויות של המשולש $AHC$.

במשולש $KLM$ הזוויות $\angle K$ ו-$\angle L$ חדות. הקטע $MP$ הוא הגובה מ-$M$ לישר $KL$. הסבירו למה הרגל $P$ נמצאת על הצלע $KL$ עצמה, בין $K$ ל-$L$. הדרכה: בדקו מה היה קורה לזווית $\angle K$ אילו $P$ הייתה בנקודה $K$ עצמה, או על ההמשך של $LK$ מעבר ל-$K$.

נתון: $AB=25$ ס"מ, $CD=12$ ס"מ, $AC=15$ ס"מ. חשבו את שטח המשולש $ABC$. מצאו את $BC$ בלי משפט פיתגורס, ואחר כך בדקו את התשובה בעזרת משפט פיתגורס.

הסבירו למה בכל משולש ישר זווית מכפלת שני הניצבים שווה למכפלת היתר בגובה ליתר. דני טוען: "במשולש ישר זווית שאורכי הניצבים בו $7$ ס"מ ו-$24$ ס"מ, הגובה ליתר הוא $7$ ס"מ." הסבירו בלי לחשב את הגובה למה דני טועה. אחר כך חשבו את הגובה.

מה סוג המשולש $PRT$ לפי הצלעות שלו? נמקו. חשבו את הזוויות $\angle RPQ$, $\angle PRT$, $\angle TRQ$ ו-$\angle PQR$.

יואב טוען: "בכל משולש ישר זווית, התיכון שיוצא מקודקוד הזווית הישרה מחלק אותה לשתי זוויות של $45^\circ$." הראו שהמשולש $PQR$ מפריך את הטענה. אחר כך הראו ששטח המשולש $PRT$ שווה לשטח המשולש $TRQ$. האם שוויון השטחים מחייב שגם הזוויות ליד $R$ יהיו שוות? הסבירו.