שאלות פתוחות: גאומטריה חישובית במשולש: זוויות, קטעים מיוחדים, היקף ושטח - כיתה ט'

גאומטריה חישובית במשולש לכיתה ט': זוויות, גבהים, תיכונים וחוצי זווית, וגם היקף ושטח. השאלות כוללות חישוב זוויות בין קטעים שיוצאים מאותו קודקוד, חוצה זווית שנתון באמצעות משתנה t, תיכון במשולש ישר זווית, גובה ליתר, וגבהים שנופלים מחוץ למשולש. אחת השאלות עוסקת במפרש צל משולש בחצר בית הספר. יש שאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. מורה יכול לבחור מהן מבחן או דף עבודה בגאומטריה, עם פתרון מלא לכל סעיף והורדה ל-Word.

180 שאלותרמה א': 88רמה ב': 82מצוינות: 10

שאלה 1 · גובה, חוצה זווית ותיכון מאותו קודקודשאלת ביניים · רמה א'

במשולש PQRPQRPQR נתון: ∠RPQ=46∘\angle RPQ=46^\circ∠RPQ=46∘, ∠PQR=74∘\angle PQR=74^\circ∠PQR=74∘. מהקודקוד RRR יוצאים שלושה קטעים אל הצלע PQPQPQ, ונתון: RH⊥PQRH\perp PQRH⊥PQ; ∠PRE=∠ERQ\angle PRE=\angle ERQ∠PRE=∠ERQ; PK=KQPK=KQPK=KQ.
PQRKEH

א.

קבעו לפי הנתונים איזה מהקטעים RHRHRH, RERERE, RKRKRK הוא הגובה לצלע PQPQPQ, איזה חוצה את ∠PRQ\angle PRQ∠PRQ ואיזה התיכון לצלע PQPQPQ. נמקו כל קביעה בעזרת ההגדרה של הקטע.

ב.

חשבו את ∠PRQ\angle PRQ∠PRQ, את ∠PRE\angle PRE∠PRE, את ∠PRH\angle PRH∠PRH ואת ∠HRE\angle HRE∠HRE.

ג.

אלון טוען: "בכל משולש, חוצה הזווית מקודקוד הוא גם הגובה מאותו קודקוד." הפריכו את הטענה בעזרת סעיף ב. הראו שבמשולש הזה ∠HRE\angle HRE∠HRE שווה למחצית ההפרש ∠PQR−∠RPQ\angle PQR-\angle RPQ∠PQR−∠RPQ. מה צריך להתקיים בין ∠RPQ\angle RPQ∠RPQ ל-∠PQR\angle PQR∠PQR כדי ש-RERERE ו-RHRHRH יתלכדו?

שאלה 2 · חוצה זווית עם נעלם: מהחצאים אל הזווית כולהשאלת ביניים · רמה ב'

במשולש KLMKLMKLM הקטע LNLNLN חוצה את הזווית ∠KLM\angle KLM∠KLM, והנקודה NNN נמצאת על הצלע KMKMKM. הזוויות נתונות במעלות: ∠KLN=3t+4\angle KLN=3t+4∠KLN=3t+4, ∠NLM=5t−12\angle NLM=5t-12∠NLM=5t−12, ∠LKM=70∘\angle LKM=70^\circ∠LKM=70∘.
KLMN

א.

חוצה זווית מחלק את הזווית לשתי זוויות שוות. כתבו משוואה ומצאו את ttt.

ב.

חשבו את ∠KLN\angle KLN∠KLN ואת ∠KLM\angle KLM∠KLM. איזו זווית נחצתה, ומה גודלה?

ג.

חשבו את ∠LMK\angle LMK∠LMK ואת ∠KNL\angle KNL∠KNL. בדקו את התשובה בעזרת סכום הזוויות במשולש LNMLNMLNM.

שאלה 3 · תיכון מקודקוד הזווית הישרה: זוויות שונות, שטחים שוויםשאלת ביניים · מצוינות

במשולש PQRPQRPQR הזווית ∠PRQ\angle PRQ∠PRQ ישרה. TTT היא אמצע הצלע PQPQPQ, ו-RTRTRT הוא התיכון לצלע PQPQPQ. נתון: PQ=16PQ=16PQ=16 ס"מ, PR=8PR=8PR=8 ס"מ, RT=8RT=8RT=8 ס"מ.
RPQT

א.

מה סוג המשולש PRTPRTPRT לפי הצלעות שלו? נמקו. חשבו את הזוויות ∠RPQ\angle RPQ∠RPQ, ∠PRT\angle PRT∠PRT, ∠TRQ\angle TRQ∠TRQ ו-∠PQR\angle PQR∠PQR.

ב.

יואב טוען: "בכל משולש ישר זווית, התיכון שיוצא מקודקוד הזווית הישרה מחלק אותה לשתי זוויות של 45∘45^\circ45∘." הראו שהמשולש PQRPQRPQR מפריך את הטענה. אחר כך הראו ששטח המשולש PRTPRTPRT שווה לשטח המשולש TRQTRQTRQ. האם שוויון השטחים מחייב שגם הזוויות ליד RRR יהיו שוות? הסבירו.

שאלה 4 · מפרש צל משולש: שטח, ציפוי של חלק, ומה נתוןשאלת ביניים · רמה א'

בחצר בית הספר מתחו מפרש צל בצורת המשולש ABCABCABC. אורך הצלע ABABAB הוא 777 מ', והגובה CHCHCH לצלע ABABAB הוא 444 מ'.
ABCH

א.

חשבו את השטח של המפרש.

ב.

מצפים רק רבע מהשטח של המפרש בחומר שמחזיר קרינה. החומר עולה 363636 ש"ח למ"ר. כמה מ"ר יצופו, וכמה יעלה החומר? מה השטח שלא יצופה? בדקו ששני החלקים יחד הם כל המפרש.

ג.

קבעו לכל משפט אם הוא נתון (כתוב בשאלה), מסקנה (חישבנו אותה מהנתונים) או השערה (אי אפשר להכריע בה לפי הנתונים). נמקו.
(1) הגובה CHCHCH הוא 444 מ'.
(2) השטח שלא יצופה גדול פי 333 מהשטח שיצופה.
(3) מתחת לחלק המצופה יהיה קריר יותר מאשר מתחת לשאר המפרש.

שאלה 5 · הגובה ליתר: שטח בשתי דרכים, ולמה הוא קצר מהניצביםשאלה קצרה · מצוינות

במשולש ABCABCABC הזווית ∠ACB\angle ACB∠ACB ישרה, והקטע CDCDCD הוא הגובה ליתר ABABAB. הסרטוט מתאים לסעיף א.
ABCD

א.

נתון: AB=25AB=25AB=25 ס"מ, CD=12CD=12CD=12 ס"מ, AC=15AC=15AC=15 ס"מ. חשבו את שטח המשולש ABCABCABC. מצאו את BCBCBC בלי משפט פיתגורס, ואחר כך בדקו את התשובה בעזרת משפט פיתגורס.

ב.

הסבירו למה בכל משולש ישר זווית מכפלת שני הניצבים שווה למכפלת היתר בגובה ליתר. דני טוען: "במשולש ישר זווית שאורכי הניצבים בו 777 ס"מ ו-242424 ס"מ, הגובה ליתר הוא 777 ס"מ." הסבירו בלי לחשב את הגובה למה דני טועה. אחר כך חשבו את הגובה.

שאלה 6 · רגל הגובה: על הצלע או על ההמשך שלה?שאלה קצרה · מצוינות

מכל קודקוד של משולש מורידים גובה אל הישר שעליו נמצאת הצלע שמולו. הנקודה שבה הגובה פוגש את הישר היא רגל הגובה. שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.

א.

במשולש ABCABCABC: ∠A=115∘\angle A=115^\circ∠A=115∘, ∠B=40∘\angle B=40^\circ∠B=40∘. הקטע CHCHCH הוא הגובה מ-CCC לישר ABABAB. רינה אומרת שהנקודה HHH נמצאת על הצלע ABABAB. הסבירו בעזרת סכום הזוויות במשולש AHCAHCAHC למה רינה טועה, וקבעו היכן נמצאת HHH. מצאו את הזוויות של המשולש AHCAHCAHC.

ב.

במשולש KLMKLMKLM הזוויות ∠K\angle K∠K ו-∠L\angle L∠L חדות. הקטע MPMPMP הוא הגובה מ-MMM לישר KLKLKL. הסבירו למה הרגל PPP נמצאת על הצלע KLKLKL עצמה, בין KKK ל-LLL. הדרכה: בדקו מה היה קורה לזווית ∠K\angle K∠K אילו PPP הייתה בנקודה KKK עצמה, או על ההמשך של LKLKLK מעבר ל-KKK.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (174)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

משולש פנימי ומחצית השטח של המשולש הגדול (שאלה קצרה · רמה ב')
במערכת הצירים שני משולשים בעלי צלע משותפת $AC$ : המשולש הגדול $ABC$ והמשולש $ADC$ . שיעורי הקודקודים: $A(1,1)$ ,…
ערוגות משולשות בין שני שבילים מקבילים (שאלה קצרה · רמה ב')
בפארק יש שני שבילים ישרים ומקבילים, והמרחק ביניהם $5$ מ'. גנן שוקל שלוש אפשרויות לערוגה בצורת משולש. בכל…
גובה פי 2 מהצלע, ושינוי של צלע וגובה (שאלה קצרה · רמה א')
שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
משולשים בין שני ישרים מקבילים (שאלה קצרה · רמה ב')
בין שני קווים ישרים ומקבילים מסורטטים שלושה משולשים שונים בעלי צלע משותפת המונחת על אחד הישרים המקבילים…
שטח משולש במערכת צירים בשתי דרכים (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת הצירים המשולש $ABC$ : $A(2,1)$ , $B(0,9)$ , $C(4,5)$ . אף צלע של המשולש אינה מקבילה לאחד הצירים.
שלושה גבהים במשולש אחד (שאלת ביניים · רמה א')
במשולש $ABC$ סורטטו שלושת הגבהים: $AD$ לצלע $BC$ , $BE$ לצלע $AC$ ו- $CF$ לצלע $AB$ . נתון: $AB=14$ ס"מ, $CF=12$ …
בד למפרשים של סירה (שאלה מלאה · רמה ב')
לסירת מפרש יש שני מפרשים בצורת משולש. המפרש הגדול הוא המשולש $ABC$ , ובו הזווית $\angle ABC$ ישרה. הצלע $AB$ …
נקודה בתוך מלבן: חקירה של שטחים (שאלה מלאה · רמה א')
$ABCD$ הוא מלבן: $AB=8$ ס"מ, $BC=6$ ס"מ. בוחרים נקודה $P$ בתוך המלבן ומחברים אותה לארבעת הקודקודים. כך המלבן…
צלע משותפת על ציר y וקודקודים על ישר מקביל (שאלה קצרה · רמה ב')
במערכת הצירים הנקודות $A(0,-2)$ ו- $B(0,4)$ נמצאות על ציר $y$ . הנקודות $C(5,-4)$ , $D(5,1)$ ו- $E(5,6)$ נמצאות על…
הזזת משולש והחלקת קודקוד: מה קורה לשטח? (שאלת ביניים · רמה ב')
במערכת הצירים המשולש $KLM$ : $K(-5,-3)$ , $L(-1,-3)$ , $M(-4,2)$ .
משולשים בין שני ישרים מקבילים: חקירה (שאלה מלאה · רמה א')
שני ישרים מקבילים, והמרחק ביניהם $6$ ס"מ. על הישר התחתון נמצאות הנקודות $A$ , $B$ ו- $C$ , בסדר הזה משמאל לימין,…
משולש בתוך מלבן: חצי מהשטח (שאלה קצרה · רמה ב')
שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
דגל עם משולש צבוע: מהשטח אל המידות (שאלה קצרה · רמה ב')
על דגל בצורת המלבן $PQRS$ צבוע המשולש $PQT$ . הצלע $PQ$ היא הצלע התחתונה של הדגל, והנקודה $T$ נמצאת על הצלע…
גובה מחוץ למשולש: מסבירים את הנוסחה בעזרת מלבנים (שאלה קצרה · רמה א')
במשולש $ABC$ הצלע $AB$ מונחת על קו אופקי, ו- $AB=4$ ס"מ. הזווית $\angle ABC$ קהה, ולכן הגובה מ- $C$ לצלע $AB$ …
ערוגה משולשת בחלקה מלבנית (שאלת ביניים · רמה ב')
חלקה בגינה הקהילתית היא מלבן שאורכו $12$ מ' ורוחבו $8$ מ'. בחלקה שותלים פרחים בערוגה בצורת משולש: צלע אחת של…
נקודה בתוך מלבן במערכת צירים: שני זוגות של משולשים (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת הצירים המלבן $ABCD$ : $A(-4,-2)$ , $B(4,-2)$ , $C(4,3)$ , $D(-4,3)$ . הנקודה $P(1,0)$ נמצאת בתוך המלבן,…
אמצע הבסיס ובסיס כפול (שאלה קצרה · רמה ב')
שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
נקודה על הבסיס: יותר מחצי, חצי או רבע? (שאלה קצרה · רמה ב')
במערכת הצירים המשולש $ABC$ : $A(0,0)$ , $B(8,0)$ , $C(2,6)$ . הנקודה $D(6,0)$ נמצאת על הצלע $AB$ .
חלוקת שדה משולש בין אחים (שאלת ביניים · רמה ב')
לשלושה אחים יש שדה בצורת המשולש $ABC$ . הצלע $BC$ של השדה נמצאת לאורך כביש, ואורכה $30$ מ'. הגובה מ- $A$ לצלע…
אמצעים של קטעים בתוך משולש: חקירת שטחים (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת הצירים המשולש $ABC$ : $A(2,8)$ , $B(0,0)$ , $C(12,0)$ . הנקודה $D(6,0)$ היא אמצע הצלע $BC$ , והנקודה…
משטח גומי משולש בגן שעשועים: חלוקה לאזורים (שאלה מלאה · רמה א')
בגן שעשועים יש משטח גומי בצורת המשולש $ABC$ . בתוכנית של הגן, במערכת צירים שבה כל יחידה היא $1$ מ', הקודקודים…
איפה נמצא הגובה: משולש ישר זווית ומשולש קהה זווית (שאלה קצרה · רמה ב')
לפניכם שני משולשים. במשולש $ABC$ הזווית $\angle ABC$ ישרה, $AB=6$ ס"מ ו- $BC=8$ ס"מ. במשולש $PQR$ הזווית…
איזו מכפלה נותנת את השטח? (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש $ABC$ הקטע $AD$ הוא הגובה לצלע $BC$ , והקטע $BE$ הוא הגובה לצלע $AC$ .
משנים בסיס וגובה: מה קורה לשטח? (שאלה קצרה · רמה ב')
שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
שטח קבוע: כלל לשינוי של בסיס וגובה (שאלה קצרה · רמה א')
שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
ניחוש ובדיקה: מהשטח אל המידות (שאלה קצרה · רמה א')
שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה. בכל סעיף מצאו את המידות בניחוש ובדיקה, והראו לפחות שני ניסיונות.
משולש ישר זווית: הגובה לצלע הארוכה (שאלת ביניים · רמה ב')
במשולש $KLM$ הזווית $\angle KLM$ ישרה. אורכי הצלעות: $KL=12$ ס"מ, $LM=16$ ס"מ, $KM=20$ ס"מ. הקטע $LH$ הוא…
קטלוג של בסיסים וגבהים שלמים לשטח נתון (שאלת ביניים · רמה ב')
מתכננים משולשים ששטחם $12$ סמ"ר. בכל משולש בוחרים צלע אחת כבסיס, ומודדים את הגובה אליה. הבסיס והגובה הם מספרים…
מתי הבסיס והגובה יכולים להיות שווים ושלמים? (שאלת ביניים · רמה א')
בשאלה זו הבסיס של משולש והגובה אליו הם תמיד מספרים שלמים של ס"מ.
מה גובה יכול להיות ומה לא (שאלת ביניים · רמה א')
בשני משולשים יש צלע $AB=6$ ס"מ וצלע $AC=5$ ס"מ. הצלע השלישית לא נתונה.
כרזה משולשת עם קו באמצע: שטח, הדפסה ומחיר (שאלת ביניים · רמה ב')
לטקס סוף השנה מכינים כרזה מבד בצורת המשולש $ABC$ . אורך הצלע $AB$ הוא $500$ ס"מ, והגובה $CH$ מהקודקוד $C$ לצלע…
שני משולשים על בסיס משותף: מהשטח אל הגובה (שאלה קצרה · רמה ב')
שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
אריחים משולשים סביב נקודה: מתי ההיקף גדל ומתי קטן (שאלה מלאה · רמה א')
אריחים זהים בצורת משולש שווה צלעות, שאורך הצלע של כל אחד $5$ ס"מ, מונחים סביב הנקודה $O$ . לכל אריח יש קודקוד…
חותכים משולש שווה צלעות: סכום ההיקפים מול ההיקף (שאלה מלאה · רמה א')
$\triangle ABC$ הוא משולש שווה צלעות שאורך צלעו $18$ ס"מ. הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AB$ והנקודה $E$ על הצלע…
מסלול על צלעות של משולשים שווי צלעות (שאלת ביניים · רמה א')
הקטע $AB$ , שאורכו $20$ ס"מ, מחולק בנקודות $D$ ו- $E$ לשלושה חלקים: $AD = 3$ ס"מ, $DE = 7$ ס"מ, $EB = 10$ ס"מ.…
משולש שווה צלעות בפינה של משולש שווה צלעות (שאלת ביניים · רמה ב')
$\triangle KLM$ ו- $\triangle KNP$ הם משולשים שווי צלעות. הנקודה $L$ נמצאת על הצלע $KN$ , והנקודה $M$ נמצאת על…
צלעות באורכים שלמים: מה ההיקף מגלה? (שאלה קצרה · רמה א')
בשאלה זו אורכי כל הצלעות של המשולשים הם מספרים שלמים (בס"מ).
משולשים במערכת הצירים (שאלת ביניים · רמה א')
במערכת צירים מסומנות הנקודות $A(-3,-1)$ , $B(3,-1)$ , $C(0,2)$ ו- $F(-3,5)$ . כל משבצת היא יחידה אחת.
הזווית השלישית במשולש וסוג המשולש (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש $PQR$ נתון: $\angle P = 34^\circ$ , $\angle Q = 71^\circ$ .
האם קיים משולש כזה? (שאלה קצרה · רמה ב')
לכל תיאור החליטו אם קיים משולש כזה. אם קיים, כתבו את גודלי כל שלוש הזוויות שלו. אם לא קיים, הסבירו למה.
המשך צלע וזווית צמודה במשולש (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש $KLM$ ממשיכים את הצלע $LM$ מעבר לנקודה $M$ עד הנקודה $N$ . נתון: $\angle KMN = 128^\circ$ ,…
תוכנית של גג: איפה הטעות? (שאלה קצרה · רמה ב')
חתך של גג רעפים הוא משולש שווה שוקיים: שתי קורות הגג שוות באורכן ונפגשות בפסגה, והבסיס הוא קורת התקרה. בתוכנית…
טענות כלליות: תמיד, לפעמים או אף פעם? (שאלה קצרה · רמה א')
לכל טענה קבעו אם היא נכונה תמיד, לפעמים או אף פעם. אם הטענה נכונה תמיד, הסבירו למה. אם לא, תנו דוגמה מתאימה.
חוצה זווית במשולש (שאלת ביניים · רמה ב')
במשולש $ABC$ נתון: $\angle BAC = 70^\circ$ , $\angle ABC = 50^\circ$ . הקטע $AD$ חוצה את הזווית $\angle BAC$ ,…
משולש שווה שוקיים בתוך משולש (שאלת ביניים · רמה ב')
במשולש $ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ , כך ש- $AD = AB$ . נתון: $\angle ABC = 65^\circ$ ,…
הזווית בין שני חוצי זוויות במשולש (שאלת ביניים · רמה א')
במשולש $ABC$ חוצה הזווית $\angle ABC$ וחוצה הזווית $\angle ACB$ נפגשים בנקודה $I$ .
סולם בטוח (שאלה מלאה · רמה ב')
סולם נשען על קיר אנכי, ורגלי הסולם עומדות על רצפה אופקית. מהצד רואים משולש ישר זווית $ABC$ : - $AB$ הוא הסולם;…
משולש עם זווית של $11 0^{\circ}$ (שאלה מלאה · רמה ב')
במשולש $ABC$ נתון: $\angle BAC = 110^\circ$ .
זיגזג של קטעים שווים בין שתי קרניים (שאלה מלאה · רמה א')
שתי קרניים יוצאות מהנקודה $O$ , והזווית ביניהן היא $20^\circ$ . על הקרן התחתונה מסמנים את הנקודות $A$ , $C$ , $E$ ,…
איזו טענה אינה נכונה? משולשים שקיימים (שאלה קצרה · רמה ב')
איזו מבין הטענות הבאות אינה נכונה?
משולש שבו $∠ A = 10 0^{\circ}$ : איזו טענה אינה נכונה? (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש $ABC$ נתון כי זווית $A$ שווה ל- $100^\circ$ . איזו מבין הטענות הבאות אינה נכונה? נמקו את תשובתכם.
מדידה שגויה במשולש שווה שוקיים (שאלה קצרה · רמה א')
שירה מודדת את הזוויות במשולש שווה-שוקיים. היא מודדת את אחת הזוויות ומקבלת $42^\circ$ . היא מודדת זווית נוספת…
משולש שווה שוקיים בתוך משולש: מהי α? (שאלה קצרה · רמה ב')
בסרטוט שלפניכם הנקודה $D$ נמצאת על $AC$ . נתון: משולש $ABD$ הוא שווה-שוקיים ( $AD = DB$ ).…
אילו טענות על זוויות במשולש נכונות? (שאלה מלאה · רמה ב')
אילו מבין הטענות הבאות נכונות? נמקו
זוויות המשולש בחלקים שווים: "פי 2" ו"פי 3" (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף מוצאים את הזוויות של משולש בעזרת חלקים שווים.
זוויות המשולש לפי "גדולה ב-" (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף נתונים הפרשים בין זוויות של משולש. מצאו את הזוויות בחשבון ופרטו את החישוב.
ערוגה משולשת: זווית הראש גדולה פי 4 (שאלת ביניים · רמה ב')
ערוגה בגינה היא משולש $ABC$ שבו $AC = BC$ . הזווית $\angle ACB$ גדולה פי $4$ מהזווית $\angle CAB$ . מהקודקוד $C$ …
משולש שבו זווית אחת גדולה פי 2 מזווית אחרת (שאלה מלאה · רמה א')
במשולש $ABC$ הזווית $\angle B$ גדולה פי $2$ מהזווית $\angle A$ . בסעיפים א-ג מוסיפים בכל פעם נתון אחר על…
שלוש זוויות בהמשכי הצלעות: כמה הן יחד? (שאלה קצרה · רמה א')
בכל קודקוד של משולש $ABC$ ממשיכים צלע אחת מעבר לקודקוד: את $CA$ מעבר ל- $A$ עד $D$ , את $AB$ מעבר ל- $B$ עד $E$ ,…
אלכסון מחלק מרובע לשני משולשים (שאלת ביניים · רמה ב')
במרובע $ABCD$ מסורטט האלכסון $BD$ . האלכסון מחלק את המרובע לשני משולשים: $ABD$ ו- $CBD$ . נתון:…

ועוד 114 שאלות במחולל המבחנים.