מבחן לדוגמה: משפט פיתגורס: חישובי צלעות, היקפים ושטחים - כיתה ט'

במשולש $ABC$ אורכי הצלעות הם $AB=5$ ס"מ, $BC=6$ ס"מ ו-$CA=7$ ס"מ. (1) אילו היתה במשולש זווית ישרה, מול איזו צלע היא הייתה נמצאת? נמקו. (2) בדקו אם מתקיים שוויון פיתגורס המתאים. מה אפשר להסיק על הטענה של יואב?

שלשה פיתגורית היא שלושה מספרים שלמים חיוביים $a$, $b$, $c$ שמקיימים $a^2+b^2=c^2$. בדקו אם $7$, $8$, $9$ היא שלשה פיתגורית, ואם $10$, $24$, $26$ היא שלשה פיתגורית. מה ההבדל בין "כל הצלעות שלמות" לבין "שלשה פיתגורית"?

מצאו את כל הזוגות האפשריים של אורכי הניצבים. נמקו למה אין זוגות נוספים.

חשבו את אורך היתר בכל אחת מהאפשרויות. באיזו אפשרות היתר הוא מספר שלם? באפשרות האחרת, בין אילו שני מספרים שלמים עוקבים נמצא היתר? מה הדוגמה מלמדת על הקשר בין השטח לבין אורכי הצלעות?

הסבירו למה הנקודה $M$ היא אמצע השביל $AB$.

(1) חשבו את הרדיוס של המדשאה ואת ההיקף של המשולש $OAB$.

(2) ממשיכים את הקטע $OM$ מעבר לנקודה $M$ עד שפת המדשאה, בנקודה $N$. חשבו את אורך הקטע $MN$.

לאורך כל השפה של המדשאה מקימים גדר נמוכה. כמה מטרים של גדר צריך? מה השטח של המדשאה? כתבו כל תשובה עם $\pi$, ואחר כך בקירוב, עם $\pi\approx3.14$.

חשבו את אורך הכבל $TA$. אחר כך חשבו את אורך הכבל החדש ואת התוספת לאורך הכבל, בשני מקרים: (1) $AE=12$ מ'; (2) $AE=28$ מ'. השוו בכל מקרה את התוספת לכבל למרחק שהעוגן זז.

הסבירו למה לכל הזזה של העוגן הרחק מהעמוד, בכל מרחק $AE$, הכבל החדש ארוך מהכבל הישן, אבל התוספת לכבל קטנה מהמרחק $AE$.

חשבו את ההיקף של כל חלקה. כתבו תשובה מדויקת, ואחר כך קירוב לעשירית מטר.

מה השטח של הגינה כולה?

מקיפים את הגינה כולה בגדר. לאורך השביל $PQ$ אין גדר, כי הוא בתוך הגינה. דני אומר: "אורך הגדר הוא סכום שני ההיקפים מסעיף א." תקנו את דני ומצאו את אורך הגדר, בצורה מדויקת ובקירוב לעשירית.

הראו ש-$BD=CD$: כתבו לפי משפט פיתגורס ביטוי ל-$BD^2$ וביטוי ל-$CD^2$, והשוו ביניהם (בלי להשתמש בחפיפת משולשים). אחר כך הביעו את $AD^2$ באמצעות $s$ ו-$b$, והסבירו למה בכל משולש כזה $s>\frac{b}{2}$.

בסעיף זה $s=10$, והבסיס $b$ הוא מספר שלם. מצאו את כל הערכים של $b$ שעבורם גם הגובה $AD$ הוא מספר שלם. לכל ערך כזה חשבו את $AD$ ואת שטח המשולש.

במשולש שווה צלעות שצלעו $a$ מתקיים $s=b=a$. הראו ש-$AD^2=\frac{3a^2}{4}$. עבור $a=4$ חשבו את $AD$ ואת השטח (תשובות מדויקות). בין אילו שני מספרים שלמים עוקבים נמצא השטח? הסיקו שהוא אינו מספר שלם.