דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

שאלות פתוחות: משפט פיתגורס: חישובי צלעות, היקפים ושטחים - כיתה ט'

שאלות על משפט פיתגורס לכיתה ט': חישובי צלעות, היקפים ושטחים במשולש ישר זווית. מעבר לחישובים יש שאלות על שלשות פיתגוריות ושלשות בסיסיות, הפרכת הטענה שבכל משולש עם צלעות שלמות יש זווית ישרה, וגזירת משולש ששטחו 24 סמ"ר עם ניצבים שלמים. הבעיות המעשיות כוללות עמוד וכבל עם עוגן, גינה משתי חלקות משולשות ומדשאה עגולה עם שביל. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות, ומתאימות למבחן, לבוחן או לדף עבודה עם פתרונות מלאים.

285 שאלותרמה א': 127רמה ב': 139מצוינות: 19

שאלה 1 · שלשה פיתגורית בסיסית וכפולות שלהשאלה קצרה · רמה א'

שלושה מספרים שלמים חיוביים aa, bb, cc שמקיימים a2+b2=c2a^2+b^2=c^2 נקראים שלשה פיתגורית: הם יכולים להיות אורכי הניצבים והיתר של משולש ישר זווית.

שלשה פיתגורית נקראת בסיסית אם אין מספר שלם גדול מ-11 שמחלק את שלושת המספרים שלה.

רשומהשלושת המספרים
(1)1111, 6060, 6161
(2)2020, 4848, 5252
(3)77, 1111, 1313
א.

קבעו לכל רשומה אם היא שלשה פיתגורית. לכל שלשה פיתגורית קבעו אם היא בסיסית. אם היא אינה בסיסית, כתבו את השלשה הבסיסית שממנה היא מתקבלת ואת המספר שבו כפלו אותה. האם העובדה שאין מחלק משותף לשלושת המספרים מספיקה כדי שהרשומה תהיה שלשה פיתגורית?

ב.

כופלים כל מספר בשלשה (1) ב-33 ומקבלים 3333, 180180, 183183. הסבירו בלי לחשב את 33233^2, 1802180^2 ו-1832183^2 למה גם זו שלשה פיתגורית, ולמה היא אינה בסיסית.

שאלה 2 · צלעות שלמות אינן מבטיחות זווית ישרהשאלה קצרה · רמה ב'

יואב טוען: "בכל משולש שאורכי כל הצלעות שלו הם מספרים שלמים, יש זווית ישרה."

א.

במשולש ABCABC אורכי הצלעות הם AB=5AB=5 ס"מ, BC=6BC=6 ס"מ ו-CA=7CA=7 ס"מ. (1) אילו היתה במשולש זווית ישרה, מול איזו צלע היא הייתה נמצאת? נמקו. (2) בדקו אם מתקיים שוויון פיתגורס המתאים. מה אפשר להסיק על הטענה של יואב?

ב.

שלשה פיתגורית היא שלושה מספרים שלמים חיוביים aa, bb, cc שמקיימים a2+b2=c2a^2+b^2=c^2. בדקו אם 77, 88, 99 היא שלשה פיתגורית, ואם 1010, 2424, 2626 היא שלשה פיתגורית. מה ההבדל בין "כל הצלעות שלמות" לבין "שלשה פיתגורית"?

שאלה 3 · שתי חלקות משולשות לאורך שבילשאלת ביניים · מצוינות

גינה קהילתית בנויה משתי חלקות משולשות, שנפגשות לאורך שביל ישר PQPQ. החלקה הצפונית היא המשולש PQRPQR, שבו RP=RQ=13RP=RQ=13 מ' ו-PQ=24PQ=24 מ'. החלקה הדרומית היא המשולש PQSPQS, שבו ∠PQS=90∘\angle PQS=90^\circ ו-QS=9QS=9 מ'. RHRH הוא הגובה מ-RR לשביל PQPQ.

PQRSH
א.

חשבו את ההיקף של כל חלקה. כתבו תשובה מדויקת, ואחר כך קירוב לעשירית מטר.

ב.

מה השטח של הגינה כולה?

ג.

מקיפים את הגינה כולה בגדר. לאורך השביל PQPQ אין גדר, כי הוא בתוך הגינה. דני אומר: "אורך הגדר הוא סכום שני ההיקפים מסעיף א." תקנו את דני ומצאו את אורך הגדר, בצורה מדויקת ובקירוב לעשירית.

שאלה 4 · שטח נתון וניצבים שלמים: מתי היתר שלם?שאלה קצרה · רמה א'

רוצים לגזור מקרטון משולש ישר זווית ששטחו 2424 סמ"ר. אורכי שני הניצבים צריכים להיות מספרים שלמים של ס"מ, וכל ניצב קצר מ-1515 ס"מ.

א.

מצאו את כל הזוגות האפשריים של אורכי הניצבים. נמקו למה אין זוגות נוספים.

ב.

חשבו את אורך היתר בכל אחת מהאפשרויות. באיזו אפשרות היתר הוא מספר שלם? באפשרות האחרת, בין אילו שני מספרים שלמים עוקבים נמצא היתר? מה הדוגמה מלמדת על הקשר בין השטח לבין אורכי הצלעות?

שאלה 5 · אותו היקף, שטח אחר: משולשים ישרי זווית עם צלעות שלמותשאלה קצרה · מצוינות

שלשה פיתגורית היא שלושה מספרים שלמים חיוביים aa, bb, cc שמקיימים a2+b2=c2a^2+b^2=c^2. שלשה בסיסית היא שלשה שאין מספר שלם גדול מ-11 שמחלק את שלושת המספרים שלה.

מותר להשתמש בעובדה: כל משולש ישר זווית שאורכי כל צלעותיו מספרים שלמים מתקבל משלשה בסיסית אחת, כשכופלים את שלושת האורכים שלה באותו מספר שלם חיובי kk.

בטבלה כל השלשות הבסיסיות שבהן היקף המשולש הוא לכל היותר 9090:

שלשה בסיסית3,4,53, 4, 55,12,135, 12, 138,15,178, 15, 177,24,257, 24, 2520,21,2920, 21, 2912,35,3712, 35, 379,40,419, 40, 41
היקף המשולש1212303040405656707084849090
א.

מצאו את כל המשולשים ישרי הזווית שאורכי כל צלעותיהם מספרים שלמים של ס"מ, והיקפם 9090 ס"מ. הסבירו למה אין משולשים נוספים.

ב.

חשבו את השטח של כל אחד מהמשולשים שמצאתם. רון טוען: "לשני משולשים ישרי זווית עם אותו היקף יש אותו שטח." האם הוא צודק? נמקו.

שאלה 6 · צלעות במשולש ישר זווית: אחוזים, שטח ומשוואהשאלה קצרה · רמה א'

בכל סעיף מדובר במשולש ישר זווית. שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.

א.

במשולש ABCABC הזווית CC ישרה. הניצב BCBC קצר ב-25%25\% מהניצב ACAC, ושטח המשולש 5454 סמ"ר. נסמן AC=xAC=x ס"מ.

xCAB

(1) הביעו בעזרת xx את BCBC ואת היתר ABAB. בכמה אחוזים היתר ארוך מהניצב ACAC?

(2) חשבו את אורכי שלוש הצלעות של המשולש.

ב.

חלקת גינה היא משולש ישר זווית. ניצב אחד ארוך ב-77 מ' מהניצב האחר, ושטח החלקה 6060 מ"ר. חשבו את אורכי הניצבים ואת אורך היתר.

שאלה 7 · מרחיקים את העוגן: בכמה מתארך הכבל?שאלה קצרה · מצוינות

עמוד אנכי TBTB בגובה 1515 מ' עומד על קרקע מישורית. כבל מתוח מראש העמוד TT לעוגן AA בקרקע, במרחק BA=8BA=8 מ' מבסיס העמוד. מעבירים את העוגן לנקודה EE על אותו ישר, רחוק יותר מהעמוד, ומותחים כבל חדש TETE. המרחק שהעוגן זז הוא AEAE.

TBAE
א.

חשבו את אורך הכבל TATA. אחר כך חשבו את אורך הכבל החדש ואת התוספת לאורך הכבל, בשני מקרים: (1) AE=12AE=12 מ'; (2) AE=28AE=28 מ'. השוו בכל מקרה את התוספת לכבל למרחק שהעוגן זז.

ב.

הסבירו למה לכל הזזה של העוגן הרחק מהעמוד, בכל מרחק AEAE, הכבל החדש ארוך מהכבל הישן, אבל התוספת לכבל קטנה מהמרחק AEAE.

שאלה 8 · שביל ישר במדשאה עגולהשאלת ביניים · רמה א'

בפארק יש מדשאה בצורת עיגול שמרכזו OO, ובמרכז המדשאה יש ממטרה. שביל ישר ABAB חוצה את המדשאה, והנקודות AA ו-BB נמצאות על שפת המדשאה. מהממטרה עובר צינור ישר OMOM עד השביל, והצינור מאונך לשביל (MM על ABAB).

אורך השביל AB=40AB=40 מ', ואורך הצינור OM=21OM=21 מ'.

OABM
א.

הסבירו למה הנקודה MM היא אמצע השביל ABAB.

ב.

(1) חשבו את הרדיוס של המדשאה ואת ההיקף של המשולש OABOAB.

(2) ממשיכים את הקטע OMOM מעבר לנקודה MM עד שפת המדשאה, בנקודה NN. חשבו את אורך הקטע MNMN.

ג.

לאורך כל השפה של המדשאה מקימים גדר נמוכה. כמה מטרים של גדר צריך? מה השטח של המדשאה? כתבו כל תשובה עם π\pi, ואחר כך בקירוב, עם π≈3.14\pi\approx3.14.

שאלה 9 · הגובה במשולש שווה שוקיים בעזרת משפט פיתגורסשאלת ביניים · מצוינות

במשולש שווה השוקיים ABCABC השוקיים הן AB=AC=sAB=AC=s, והבסיס הוא BC=bBC=b. ADAD הוא הגובה לבסיס, והנקודה DD על הבסיס BCBC.

ssbABCD
א.

הראו ש-BD=CDBD=CD: כתבו לפי משפט פיתגורס ביטוי ל-BD2BD^2 וביטוי ל-CD2CD^2, והשוו ביניהם (בלי להשתמש בחפיפת משולשים). אחר כך הביעו את AD2AD^2 באמצעות ss ו-bb, והסבירו למה בכל משולש כזה s>b2s>\frac{b}{2}.

ב.

בסעיף זה s=10s=10, והבסיס bb הוא מספר שלם. מצאו את כל הערכים של bb שעבורם גם הגובה ADAD הוא מספר שלם. לכל ערך כזה חשבו את ADAD ואת שטח המשולש.

ג.

במשולש שווה צלעות שצלעו aa מתקיים s=b=as=b=a. הראו ש-AD2=3a24AD^2=\frac{3a^2}{4}. עבור a=4a=4 חשבו את ADAD ואת השטח (תשובות מדויקות). בין אילו שני מספרים שלמים עוקבים נמצא השטח? הסיקו שהוא אינו מספר שלם.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (276)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

ועוד 216 שאלות במחולל המבחנים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.