מבחן לדוגמה: יחסי צלעות וזוויות במשולש - כיתה ט'

במשולש $XYZ$ נתון: $\angle X=46^\circ$, $\angle Y=68^\circ$. חשבו את $\angle Z$, וסדרו את שלוש הצלעות של המשולש מהקצרה לארוכה. נמקו.

המשולש $KLM$ שווה שוקיים ($KL=KM$), וזווית הבסיס שלו היא $\angle L=52^\circ$. חשבו את זווית הראש $\angle K$. האם הבסיס $LM$ ארוך מכל שוק או קצר ממנה? נמקו.

במשולש $KLM$ ממשיכים את הצלע $LM$ מעבר ל-$M$ עד הנקודה $N$ (ראו סרטוט). נתון: $\angle KMN=118^\circ$, $KL=18$ ס"מ, $KM=20$ ס"מ.

(1) חשבו את $\angle KML$.

(2) איזו זווית גדולה יותר: $\angle KLM$ או $\angle KML$? נמקו בעזרת אורכי הצלעות.

(3) נועם טוען: "$\angle KLM=55^\circ$". הסבירו מדוע זה לא ייתכן.

במשולש $ABC$ נתון: $\angle BAC=112^\circ$, $AB=7$ ס"מ, $AC=12$ ס"מ. קבעו אם כל היגד נכון או לא נכון, ונמקו. תקנו כל היגד לא נכון כך שיהיה נכון.

(1) $\angle ABC+\angle ACB=68^\circ$.

(2) הצלע $AC$ היא הצלע הארוכה ביותר במשולש.

(3) $\angle ACB<\angle ABC$.

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$, בין $B$ ל-$C$. נתון: $DA=DC$.

הוכיחו: $BC>AB$.

המשולש $KLM$ שווה שוקיים: $KL=KM$, והבסיס שלו $LM$. הנקודה $T$ נמצאת בתוך המשולש $KLM$. נתון: $\angle TLK>\angle TMK$.

הוכיחו: $TL>TM$.

חשבו את הזוויות $\angle ADB$, $\angle BAD$ ו-$\angle DAC$.

סדרו מהקצרה לארוכה את צלעות המשולש $ABD$, ואחר כך את צלעות המשולש $ADC$. נמקו.

(1) מהי הצלע הארוכה ביותר במשולש $ABC$? נמקו.

(2) רון טוען: "הקטע $AD$ ארוך מהצלע $AC$". האם רון צודק? נמקו בעזרת סעיף ב.

(3) האם $AB$ ארוכה מ-$AC$? נמקו.

הוכיחו: $\angle ACB>\angle ABC$. כתבו טענות ונימוקים.

הוכיחו: $AB>AC$.

נתון גם: $\angle BAC=76^\circ$.

(1) האם ייתכן ש-$\angle ABC=54^\circ$? נמקו.

(2) האם ייתכן ש-$\angle ICB=27^\circ$? אם כן, חשבו את זוויות המשולש $ABC$ ובדקו שהנתון $IB>IC$ מתקיים. אם לא, הסבירו למה.

(3) מצאו את כל הערכים האפשריים של $\angle ABC$.

לאילו ערכים של $x$ קיים משולש כזה? רשמו את התשובה כתחום, ונמקו.

לאילו ערכים של $x$ הזווית $C$ גדולה מכל אחת משתי הזוויות האחרות של המשולש? רשמו תחום, ובדקו אותו בערך אחד מתוך התחום.

האם יש ערך של $x$ שבעבורו הזווית $A$ גדולה מכל אחת משתי הזוויות האחרות? הסבירו.