מבחן לדוגמה: משולש ישר זווית 30°-60°-90°: הניצב מול 30° והמשפט ההפוך - כיתה ט'

נתונה זווית $\angle XKY=30^\circ$. הנקודות $P$ ו-$Q$ נמצאות על הקרן $KX$ ($P$ בין $K$ ל-$Q$), והנקודות $R$ ו-$T$ נמצאות על הקרן $KY$. $PR\perp KY$ ו-$QT\perp KY$. נתון: $PR=6$ ס"מ, $KQ=40$ ס"מ.

חשבו את $KP$, את $QT$ ואת $PQ$.

שני משולשים ישרי זווית, $ACB$ ו-$ADB$, נמצאים משני צדי היתר המשותף $AB$: $\angle ACB=90^\circ$ ו-$\angle ADB=90^\circ$. נתון: $\angle CAB=30^\circ$, $\angle DAB=60^\circ$, $AB=30$ ס"מ.

חשבו את $BC$ ואת $AD$. הסבירו למה התקבל אותו אורך.

מצאו את $\angle AMB$. נמקו.

הסבירו למה $N$ היא אמצע הקטע $AB$, ומצאו את $\angle AMN$.

בכמה מטרים הפנס נמוך מהקו $AB$? כלומר, מהו $MN$? נמקו.

מהו המרחק בין העמודים? כתבו את התשובה עם שורש, ודייקו גם עד ספרה אחת אחרי הנקודה.

באיזה גובה מעל הקרקע נמצא הפנס? האם אדם שגובהו $1.9$ מ' יכול לעבור מתחת לפנס בלי להתכופף?

במשולש $ABC$ נתון: $\angle ACB=90^\circ$, $\angle B=60^\circ$. $CM$ הוא התיכון ליתר $AB$, ואורכו $5$ ס"מ.

חשבו את האורכים של $AB$ ושל $BC$. הסבירו למה המשולש $CMB$ שווה צלעות, וחשבו את $AC$ (כתבו עם שורש, ודייקו גם עד שתי ספרות אחרי הנקודה).

במשולש $KLM$ נתון: $\angle KLM=90^\circ$, $\angle K=30^\circ$, $LM=8$ ס"מ. $N$ היא אמצע היתר $KM$, ו-$NP$ הוא האנך מ-$N$ לניצב $KL$ (הנקודה $P$ על $KL$).

חשבו את האורכים של $LN$ ושל $NP$.

הסבירו למה $D$ היא אמצע הצלע $BC$, ומצאו את $\angle BAD$ ואת אורך $BD$.

חשבו את אורך הצינור $AD$. כתבו את התשובה עם שורש, ודייקו גם עד ספרה אחת אחרי הנקודה.

שק דשן מספיק ל-$5$ מ"ר של ערוגה. כמה שקים צריך לקנות כדי לדשן את כל הערוגה?

במשולש $ABC$ נתון: $\angle ACB=90^\circ$, $\angle BAC=30^\circ$. ממשיכים את הניצב $BC$ מעבר ל-$C$ עד הנקודה $D$, כך ש-$CD=BC$.

הוכיחו ש-$\triangle ACB\cong\triangle ACD$ ושהמשולש $ABD$ שווה צלעות. הסיקו ש-$BC=\frac{AB}{2}$.

הוכיחו את המשפט ההפוך: במשולש $KLM$ נתון $\angle KLM=90^\circ$ ו-$LM=\frac{KM}{2}$. הוכיחו ש-$\angle LKM=30^\circ$. (רמז: המשיכו את $ML$ מעבר ל-$L$ עד הנקודה $N$, כך ש-$LN=LM$.)

במשולש $XYZ$ נתון: $\angle Y=90^\circ$, $YZ=7$ ס"מ, $XY=\sqrt{147}$ ס"מ. חשבו את $XZ$, ומצאו את שלוש הזוויות של המשולש. נמקו בעזרת המשפט שהוכחתם בסעיף ב.

במשולש $PQR$ הזווית החיצונית ליד הקודקוד $P$ היא $120^\circ$, והזווית $\angle P$ גדולה פי $2$ מהזווית $\angle Q$. לא נתון שהמשולש ישר זווית. נתון: $PR=9$ ס"מ.

הוכיחו שהמשולש ישר זווית, ומצאו את כל זוויותיו. חשבו את $PQ$, ונמקו בשם המשפט. חשבו את היקף המשולש ואת שטחו (תשובות מדויקות, עם שורש).

לפניכם שלוש שלשות של אורכים (בס"מ). בכל שלשה בדקו: האם יש משולש ישר זווית עם זווית של $30^\circ$ שאלה אורכי הצלעות שלו? הסבירו.

(1) $8,\ 16,\ \sqrt{192}$ (2) $9,\ 12,\ 15$ (3) $7,\ 14,\ \sqrt{140}$

עדי כתבה: "אם במשולש יש זווית של $30^\circ$, אז הצלע שמולה היא חצי מאחת משתי הצלעות האחרות."

בדקו את הטענה במשולש $XYZ$ שבו $XY=XZ=4$ ס"מ ו-$\angle YXZ=120^\circ$: מצאו את זוויות הבסיס, וחשבו את אורך הבסיס $YZ$ (השאירו שורש). האם הטענה נכונה? איך צריך לתקן אותה כדי שתהיה נכונה?