שאלות פתוחות: משולש ישר זווית 30°-60°-90°: הניצב מול 30° והמשפט ההפוך - כיתה ט'

משולש ישר זווית 30°-60°-90° לכיתה ט': הניצב שמול זווית של 30° שווה למחצית היתר, והמשפט ההפוך. התלמידים מוצאים אורכים וזוויות ומנמקים בעזרת משפט, פותרים משוואה כשהצלעות נתונות כביטויים, ומחשבים גובה ליתר. הבעיות המעשיות כוללות קורה באלכסון של שער מלבני ועפיפון שחוטו קשור ליתד. השאלות ברמה א', ברמה ב' ובמצוינות. מורה יכול להרכיב מהן מבחן או דף עבודה, כשלכל שאלה מצורף פתרון מלא וקובץ Word.

42 שאלותרמה א': 18רמה ב': 10מצוינות: 14

שאלה 1 · צלעות שנתונות בביטוייםשאלה קצרה · רמה א'

במשולש ABCABCABC נתון: ∠C=90∘\angle C=90^\circ∠C=90∘, ∠B=60∘\angle B=60^\circ∠B=60∘. אורכי הצלעות בסנטימטרים הם AB=3x+1AB=3x+1AB=3x+1 ו-BC=x+5BC=x+5BC=x+5.
ABC

א.

מצאו את xxx ואת אורכי הצלעות ABABAB ו-BCBCBC. נמקו.

ב.

דני פתר את סעיף א, וכתב את המשוואה x+5=2(3x+1)x+5=2(3x+1)x+5=2(3x+1). הסבירו מה הטעות של דני, ואיך אפשר לגלות שתשובה שמתקבלת מהמשוואה שלו אינה יכולה להיות נכונה.

שאלה 2 · הניצב שמול זווית של 30°שאלה קצרה · רמה ב'

בכל סעיף מצאו את האורך המבוקש, ונמקו בעזרת משפט.

א.

במשולש ABCABCABC נתון: ∠C=90∘\angle C=90^\circ∠C=90∘, ∠A=30∘\angle A=30^\circ∠A=30∘, AB=13AB=13AB=13 ס"מ.
ABC

חשבו את אורך הניצב BCBCBC.

ב.

במשולש DEFDEFDEF נתון: ∠E=90∘\angle E=90^\circ∠E=90∘, ∠F=60∘\angle F=60^\circ∠F=60∘, EF=9.5EF=9.5EF=9.5 ס"מ.
DEF

חשבו את אורך היתר DFDFDF.

שאלה 3 · הגובה ליתר מחלק את היתרשאלה קצרה · מצוינות

במשולש ABCABCABC נתון: ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘, ∠A=30∘\angle A=30^\circ∠A=30∘. CHCHCH הוא הגובה ליתר ABABAB.
ABCH

הוכיחו ש-AH=3⋅HBAH=3\cdot HBAH=3⋅HB.

שאלה 4 · קורת חיזוק בשערשאלה קצרה · רמה א'

שער לחצר הוא מלבן ABCDABCDABCD: הצלעות ABABAB ו-DCDCDC אנכיות, והצלעות BCBCBC ו-ADADAD אופקיות. לחיזוק השער מרתכים קורה ישרה ACACAC באלכסון. אורך הקורה 444 מ', והיא יוצרת עם הצלע האנכית ABABAB זווית של 60∘60^\circ60∘.
ABCD

חשבו את הגובה ABABAB ואת הרוחב BCBCBC של השער. את הרוחב כתבו עם שורש, ודייקו גם עד שתי ספרות אחרי הנקודה (מותר להשתמש במחשבון).

שאלה 5 · המשפט ההפוך: מהצלעות אל הזוויתשאלה קצרה · רמה ב'

בכל סעיף מצאו את הזווית המבוקשת, ונמקו בעזרת משפט.

א.

במשולש KLMKLMKLM נתון: ∠L=90∘\angle L=90^\circ∠L=90∘, KM=14KM=14KM=14 ס"מ, LM=7LM=7LM=7 ס"מ.
??KLM

מצאו את ∠K\angle K∠K ואת ∠M\angle M∠M.

ב.

ברמפה של סקייטפארק המשטח המשופע PRPRPR הוא קטע ישר באורך 3.63.63.6 מ'. הקצה העליון RRR נמצא בגובה 1.81.81.8 מ' מעל הקרקע האופקית, והנקודה QQQ על הקרקע נמצאת בדיוק מתחת ל-RRR.
?PQR

מהי הזווית ∠RPQ\angle RPQ∠RPQ שבין המשטח לקרקע? נמקו.

שאלה 6 · שטח משולש עם זווית של 30° או של 150°שאלת ביניים · מצוינות

בכל אחד משני המשולשים שבסעיפים א ו-ב יש צלע באורך 101010 ס"מ וצלע באורך 131313 ס"מ.

א.

במשולש ABCABCABC נתון: AB=10AB=10AB=10 ס"מ, BC=13BC=13BC=13 ס"מ, ∠B=30∘\angle B=30^\circ∠B=30∘. AHAHAH הוא הגובה לצלע BCBCBC.
ABCH

חשבו את AHAHAH ואת שטח המשולש ABCABCABC.

ב.

במשולש KLMKLMKLM נתון: KL=10KL=10KL=10 ס"מ, LM=13LM=13LM=13 ס"מ, ∠KLM=150∘\angle KLM=150^\circ∠KLM=150∘. KNKNKN הוא הגובה מהקודקוד KKK אל הישר LMLMLM, והנקודה NNN נמצאת על המשך הצלע MLMLML.
KLMN

חשבו את ∠KLN\angle KLN∠KLN, את KNKNKN ואת שטח המשולש KLMKLMKLM. מה אתם מגלים כשמשווים לסעיף א?

ג.

במשולש יש שתי צלעות שאורכן aaa ו-bbb, והזווית שביניהן היא 30∘30^\circ30∘ או 150∘150^\circ150∘. הראו שבשני המקרים שטח המשולש הוא a⋅b4\frac{a\cdot b}{4}4a⋅b​.

שאלה 7 · נקודה על הניצבשאלת ביניים · רמה א'

במשולש ABCABCABC נתון: ∠C=90∘\angle C=90^\circ∠C=90∘, ∠B=30∘\angle B=30^\circ∠B=30∘. הנקודה DDD נמצאת על הניצב BCBCBC, כך ש-AD=2⋅DCAD=2\cdot DCAD=2⋅DC.
ABCD

א.

הוכיחו ש-∠CAD=30∘\angle CAD=30^\circ∠CAD=30∘.

ב.

הוכיחו שהמשולש ABDABDABD שווה שוקיים.

ג.

נתון גם: DC=4DC=4DC=4 ס"מ. חשבו את BCBCBC ואת ACACAC. את ACACAC כתבו עם שורש, ודייקו גם עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

שאלה 8 · עפיפון בשמייםשאלת ביניים · רמה ב'

נועה מעיפה עפיפון. החוט קשור ליתד PPP שתקועה בקרקע, והוא מתוח בקו ישר עד העפיפון KKK.
הנקודה GGG על הקרקע נמצאת בדיוק מתחת לעפיפון, כך ש-KGKGKG מאונך לקרקע האופקית.
בהתחלה העפיפון נמצא בגובה 252525 מ' מעל הקרקע, והחוט יוצר עם הקרקע זווית של 30∘30^\circ30∘.
PGK

א.

מה אורך החוט PKPKPK? נמקו.

ב.

הרוח התחזקה, והעפיפון עלה. החוט נשאר מתוח ובאותו אורך, ועכשיו הוא יוצר עם הקרקע זווית של 60∘60^\circ60∘. מצאו את הזווית ∠PKG\angle PKG∠PKG שבין החוט לבין הקטע KGKGKG, ואת המרחק PGPGPG בין היתד לבין הנקודה שמתחת לעפיפון. נמקו.

ג.

האם עכשיו העפיפון גבוה יותר מאשר בהתחלה? ענו בלי לחשב את הגובה החדש: השוו בין הגובה KGKGKG לבין המרחק PGPGPG שמצאתם בסעיף ב.

שאלה 9 · דלתון עם זוויות ראש של 60° ושל 120°שאלת ביניים · מצוינות

ABCDABCDABCD הוא דלתון: AB=ADAB=ADAB=AD, CB=CDCB=CDCB=CD. זוויות הראש הן ∠BAD=60∘\angle BAD=60^\circ∠BAD=60∘ ו-∠BCD=120∘\angle BCD=120^\circ∠BCD=120∘. אורך האלכסון הראשי AC=10AC=10AC=10 ס"מ.
ABCD

א.

מצאו את זוויות הצד ∠ABC\angle ABC∠ABC ו-∠ADC\angle ADC∠ADC, ואת הזוויות ∠BAC\angle BAC∠BAC ו-∠BCA\angle BCA∠BCA. נמקו.

ב.

חשבו את BCBCBC ואת ABABAB. את ABABAB כתבו עם שורש, ודייקו גם עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

ג.

הוכיחו שהמשולש ABDABDABD שווה צלעות, וחשבו את שטח הדלתון בשתי דרכים שונות. דייקו עד ספרה אחת אחרי הנקודה.

שאלה 10 · צינור השקיה בערוגה משולשתשאלת ביניים · רמה א'

ערוגה בגינה היא משולש שווה צלעות ABCABCABC, ואורך כל צלע 666 מ'. מהקודקוד AAA מניחים צינור השקיה ישר ADADAD המאונך לצלע BCBCBC (DDD על BCBCBC).
ABCD

א.

הסבירו למה DDD היא אמצע הצלע BCBCBC, ומצאו את ∠BAD\angle BAD∠BAD ואת אורך BDBDBD.

ב.

חשבו את אורך הצינור ADADAD. כתבו את התשובה עם שורש, ודייקו גם עד ספרה אחת אחרי הנקודה.

ג.

שק דשן מספיק ל-555 מ"ר של ערוגה. כמה שקים צריך לקנות כדי לדשן את כל הערוגה?

עוד 28 שאלות על משולש ישר זווית 30°-60°-90°: הניצב מול 30° והמשפט ההפוך

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שרשרת נורות בחצר (שאלה מלאה · רמה ב')
בחצר עומדים שני עמודים אנכיים, $EA$ ו- $FB$ , שגובה כל אחד מהם $4.5$ מ'. הקרקע $EF$ אופקית. בין ראשי העמודים $A$ ו- $B$ תלויה שרשרת נורות…
כמה משולשים יש? (שאלה מלאה · מצוינות)
נתונה קרן $AX$ , ונקודה $B$ שאינה על הישר $AX$ , כך ש- $\angle BAX=30^\circ$ ו- $AB=12$ ס"מ. $H$ היא הנקודה על הקרן $AX$ שבה $BH\perp AX$ .…
מקבילית עם זווית של 30° (שאלה קצרה · רמה א')
שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.
מוצאים את הזווית של 30° ואז את הניצב (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף מצאו קודם את זוויות המשולש, ואחר כך את האורך המבוקש. נמקו בעזרת משפט.
חצי של משולש שווה צלעות: שטח, היקף והשוואה (שאלת ביניים · מצוינות)
$ABC$ הוא משולש שווה צלעות שאורך צלעו $2a$ ס"מ ( $a>0$ ). $AD$ הוא הגובה לצלע $BC$ , והנקודה $D$ נמצאת על $BC$ .
הגבהים של המעוין (שאלה מלאה · רמה א')
$ABCD$ הוא מעוין שאורך צלעו $10$ ס"מ. מהקודקוד $A$ מורידים גובה $AE$ לצלע $BC$ וגובה $AF$ לצלע $CD$ . הנקודות $E$ ו- $F$ נמצאות על הצלעות.
איזה ניצב שווה למחצית היתר? (שאלה קצרה · רמה ב')
בשני הסעיפים תלמידים השתמשו במשפט "במשולש ישר זווית, הניצב שמול זווית של $30^\circ$ שווה למחצית היתר", וטעו.
מתי מותר להשתמש במשפט? (שאלה מלאה · מצוינות)
בשאלה הזאת בודקים מתי המשפט "במשולש ישר זווית, הניצב שמול זווית של $30^\circ$ שווה למחצית היתר" והמשפט ההפוך לו מתאימים למצב.
משולש עם זוויות של 30° ושל 60° (שאלה קצרה · רמה א')
במשולש $ABC$ נתון: $\angle A=30^\circ$ , $\angle B=60^\circ$ , $AB=24$ ס"מ. בנתונים לא כתוב שהמשולש ישר זווית.
משולש שווה שוקיים עם זווית ראש של 30° (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש $DEF$ נתון: $DE=DF=14$ ס"מ, וזווית הראש $\angle EDF=30^\circ$ . $EG$ הוא הגובה לשוק $DF$ , והנקודה $G$ נמצאת על $DF$ .
מוכיחים את המשפט ואת המשפט ההפוך (שאלת ביניים · מצוינות)
בשאלה הזאת מוכיחים את המשפט על הניצב שמול זווית של $30^\circ$ ואת המשפט ההפוך לו, בעזרת משולש שווה צלעות. מותר להשתמש במשפטי החפיפה ובתכונות…
סולם שנשען על קיר (שאלת ביניים · רמה א')
סולם ישר $PQ$ באורך $4$ מ' נשען על קיר אנכי של מחסן. רגל הסולם $P$ עומדת על הקרקע האופקית, וראש הסולם $Q$ נוגע בקיר בגובה $2$ מ' מעל הקרקע.…
חוצה זווית של 60° במשולש ישר זווית (שאלת ביניים · רמה ב')
במשולש $ABC$ נתון: $\angle C=90^\circ$ , $\angle BAC=60^\circ$ . $AD$ חוצה את הזווית $\angle BAC$ , והנקודה $D$ נמצאת על הניצב $BC$ . אורך חוצה…
שרשרת של משולשים ישרי זווית בתוך זווית של 30° (שאלת ביניים · מצוינות)
נתונה זווית $\angle XOY=30^\circ$ . הנקודה $A_1$ נמצאת על הקרן $OY$ , ו- $OA_1=64$ ס"מ. מ- $A_1$ מורידים אנך $A_1B_1$ לקרן $OX$ , ומ- $B_1$ …
האם הזווית היא באמת 30°? (שאלה קצרה · רמה א')
בכל סעיף בדקו טענה בעזרת המשפט ההפוך: "במשולש ישר זווית שבו ניצב שווה למחצית היתר, הזווית שמול הניצב הזה היא $30^\circ$ ."
שני משולשים ישרי זווית עם זווית של 30° (שאלה קצרה · רמה ב')
בכל סעיף מצאו את האורכים המבוקשים, ונמקו בעזרת המשפט על הניצב שמול זווית של $30^\circ$ .
מסוע משופע: מכפילים את הזווית (שאלה מלאה · מצוינות)
במפעל מעבירים ארגזים על מסוע ישר ומשופע $AB$ ממשטח נמוך למשטח גבוה. הקצה התחתון $A$ של המסוע נמצא בגובה $90$ ס"מ מעל הרצפה, והקצה העליון $B$ …
גובה שמחלק משולש לשני משולשים ישרי זווית (שאלת ביניים · רמה א')
במשולש $ABC$ הקטע $AD$ הוא הגובה לצלע $BC$ , והנקודה $D$ נמצאת בין $B$ ל- $C$ . נתון: $\angle B=30^\circ$ , $\angle C=45^\circ$ , $AD=9$ ס"מ.
גובה במשולש: האם גם הזווית השנייה 30°? (שאלה קצרה · רמה ב')
במשולש $ABC$ הקטע $AD$ הוא הגובה לצלע $BC$ , והנקודה $D$ נמצאת על $BC$ . נתון: $\angle B=30^\circ$ , $AB=20$ ס"מ, $AC=14$ ס"מ.
נקודה בתוך משולש שווה צלעות (שאלה קצרה · מצוינות)
$KLM$ הוא משולש שווה צלעות שהיקפו $36$ ס"מ. $P$ היא נקודה כלשהי בתוך המשולש. מ- $P$ מורידים אנכים לשלוש הצלעות: $PD\perp LM$ , $PE\perp MK$ ,…
אותו ניצב, מקום אחר (שאלה קצרה · רמה א')
בשני המשולשים הבאים יש זווית ישרה וזווית של $30^\circ$ , ובשניהם יש ניצב שאורכו $6$ ס"מ. במשולש $ABC$ : $\angle C=90^\circ$ ,…
משושה משישה משולשים שווי צלעות (שאלת ביניים · מצוינות)
המשושה $KLMNPQ$ בנוי משישה משולשים שווי צלעות שאורך הצלע של כל אחד מהם $8$ ס"מ, ולכולם קודקוד משותף $O$ : $OKL$ , $OLM$ , $OMN$ , $ONP$ , $OPQ$ ,…
זווית ראש של 120°: אורכים בעזרת משתנה (שאלת ביניים · רמה א')
במשולש $PQR$ נתון: $QP=QR=2k$ ס"מ ( $k$ מספר חיובי), $\angle PQR=120^\circ$ . $QH$ הוא הגובה לבסיס $PR$ , והנקודה $H$ נמצאת על $PR$ .
הגובה ליתר מחלק אותו ביחס 1:3 (שאלת ביניים · מצוינות)
במשולש $KLM$ נתון $\angle KLM=90^\circ$ . $LP$ הוא הגובה ליתר $KM$ , והנקודה $P$ נמצאת על $KM$ . נתון: $KP=a$ ס"מ ו- $PM=3a$ ס"מ ( $a$ מספר…
הגובה במשולש שווה צלעות: חצי צלע, לא צלע שלמה (שאלה קצרה · רמה א')
במשולש שווה צלעות $ABC$ הקטע $AD$ הוא הגובה לצלע $BC$ . במשולש שווה צלעות הגובה לצלע הוא גם תיכון, ולכן $BD=DC$ . מותר להשתמש במחשבון.
נקודה בשליש הבסיס של משולש שווה שוקיים שזווית הראש שלו 120° (שאלה קצרה · מצוינות)
במשולש $KLM$ נתון: $KL=KM$ , $\angle LKM=120^\circ$ . הנקודה $N$ נמצאת על הבסיס $LM$ , כך ש- $LN=\frac{LM}{3}$ .
משולש 30°-60°-90° מתוך סכום או הפרש של צלעות (שאלה קצרה · רמה א')
שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה. בכל סעיף מדובר במשולש ישר זווית שזוויותיו $30^\circ$ , $60^\circ$ ו- $90^\circ$ . מותר להשתמש במחשבון.
התיכון ליתר וזווית של 30°: חישובי אורכים (שאלה קצרה · רמה א')
שני הסעיפים עוסקים במשולשים שונים ואינם תלויים זה בזה. מותר להשתמש במחשבון.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (4)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

גובה שאורכו מחצית הצלע: זוויות המשולש (שאלה קצרה · רמה א')
במשולש $ABC$ הקטע $AD$ הוא הגובה לצלע $BC$ , והנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ . נתון: $AB=12$ ס"מ, $AD=6$ ס"מ,…
הגובה ליתר במשולש ישר זווית עם זווית של 15° (שאלה קצרה · מצוינות)
במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה ו- $\angle BAC=15^\circ$ . הקטע $CD$ הוא הגובה ליתר $AB$ .
מה מסתתר בחצי של משולש שווה צלעות (שאלה מלאה · רמה א')
במשולש שווה צלעות כל שלוש הצלעות שוות. בשאלה הזאת תגלו קשר בין הצלעות של משולש ישר זווית שאחת מזוויותיו…
משולש ישר זווית עם זווית של 30°: מה מגלים המשפטים ההפוכים (שאלה מלאה · רמה א')
במשולש $ABC$ הזווית $C$ ישרה, ו- $\angle ABC=30^\circ$ . הנקודה $D$ נמצאת על היתר $AB$ כך ש-…