מבחן לדוגמה: דמיון משולשים: יחס ההיקפים ויחס השטחים - כיתה ט'

הוכיחו: $\triangle ABD\sim\triangle PQS$.

מצאו את יחס הדמיון של $PQR$ ל-$ABC$, ובעזרת סעיף א חשבו את $PS$.

חשבו את שטחי שני המשולשים ואת היחס בין שטח $PQR$ לשטח $ABC$. הסבירו בעזרת הבסיסים והגבהים מדוע היחס הזה שווה ל-$\frac43\cdot\frac43$.

הוכיחו: $\triangle ABM\sim\triangle DEN$.

חשבו את אורך חוצה הזווית $DN$.

מהו היחס בין שטח המשולש $DEN$ לשטח המשולש $ABM$? נמקו.

הוכיחו: $\triangle ABE\sim\triangle FCE$. חשבו את $CF$ ואת $DF$.

הוכיחו: $\triangle FCE\sim\triangle FDA$, ומצאו את יחס הדמיון של $FCE$ ל-$FDA$.

חשבו את שטח המשולש $FCE$, את שטח המשולש $FDA$ ואת שטח המקבילית.

הוכיחו: היקף המשולש $DEF$ שווה ל-$k$ כפול היקף המשולש $ABC$.

הוכיחו: $DG=k\cdot AH$, והסיקו ששטח המשולש $DEF$ שווה ל-$k^2$ כפול שטח המשולש $ABC$.

הסבירו מדוע $\frac{AO}{OC}=\frac53$. הוכיחו ש-$\triangle AOB\sim\triangle COD$, וחשבו את שטח המשולש $AOB$.

חשבו את שטח המשולש $BOC$ ואת שטח הטרפז. הסבירו מדוע בכל טרפז שטח המשולש $AOD$ שווה לשטח המשולש $BOC$.

בטרפז אחר $KLMN$ ($KL\parallel NM$) האלכסונים $KM$ ו-$LN$ נחתכים בנקודה $O$. שטח המשולש $KOL$ הוא $p$, ושטח המשולש $MON$ הוא $q$. הוכיחו ששטח המשולש $KON$ שווה ל-$\sqrt{pq}$, ובדקו את הכלל בטרפז $ABCD$.

חשבו את שטח המשולש $ABC$. הסבירו למה $\triangle ADE\sim\triangle ABC$, ומצאו מה צריך להיות יחס הדמיון $\frac{AD}{AB}$.

מצאו את המשוואה של ישר החיתוך, את המשוואות של הישרים $AB$ ו-$AC$, ואת השיעורים של $D$ ושל $E$. בדקו ש-$\frac{DE}{BC}$ שווה ליחס הדמיון, וחשבו את שטח הטרפז $DBCE$ בשתי דרכים.

(1) גיל אומר: "כדי לחתוך משולש עליון שהשטח שלו חצי משטח $ABC$, חותכים בחצי הגובה, בישר $y=6$." חשבו את שטח המשולש העליון שמתקבל בחיתוך של גיל. הסבירו את הטעות, וקבעו אם הישר הנכון נמצא מעל $y=6$ או מתחתיו.

(2) מפרט אחר דורש שהמשולש העליון יהיה בשטח $60$ לפחות והטרפז בשטח $40$ לפחות. האם אפשר לעמוד בשתי הדרישות יחד? נמקו.