מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 11 ברמת בגרות

כדי שהממוצע ירד מ-20 ל-19.5, הזמן שמוסיפים חייב להיות קטן מהממוצע הקיים: זמן גדול מהממוצע מעלה אותו, וזמן ששווה לממוצע אינו משנה אותו.

אפשר גם לחשב את הזמן הדרוש. סכום 8 הזמנים צריך להיות $8\cdot19.5=156$, וסכום 7 הזמנים הוא $7\cdot20=140$:

הזמן בריצה השמינית צריך להיות 16 דקות, וזה קטן מ-20.

טעות נפוצה: לחשוב שמספיק לרוץ ב-19.5 דקות, הממוצע הרצוי. אבל אז הממוצע יהיה $\frac{140+19.5}{8}\approx19.94$ דקות, ולא 19.5.

סכום 7 הזמנים הראשונים: $7\cdot20=140$.

מוסיפים את הזמן של הריצה השמינית ומחלקים ב-8:

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של הממוצע הישן ושל הזמן החדש, $\frac{20+18}{2}=19$. הזמן 18 הוא אחד מתוך שמונה זמנים, לא אחד מתוך שניים.

לא צריך לדעת איזה זמן תוקן: סכום הזמנים קטן ב-4 דקות, ומספר הריצות נשאר 8.

בדרך אחרת: הקטנה של 4 דקות בזמן אחד מקטינה את הממוצע ב-$\frac{4}{8}=0.5$, ולכן $19.75-0.5=19.25$.

טעות נפוצה: להחסיר את 4 הדקות מהממוצע עצמו ולענות $19.75-4=15.75$ דקות. ההקטנה מתחלקת בין 8 הריצות, ולכן הממוצע קטן רק ב-0.5.

ההסתברות לקבל 5 בגלגל א היא $\frac14$ (גזרה אחת מתוך 4), וההסתברות לקבל 2 בגלגל ב היא $\frac15$.

התוצאה בגלגל אחד לא משפיעה על התוצאה בגלגל השני, ולכן מכפילים:

דרך אחרת: יש $4\cdot5=20$ זוגות שווי הסתברות, ורק הזוג $(5,2)$ מתאים.

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות במקום לכפול, $\frac14+\frac15=\frac{9}{20}$. כששני דברים צריכים לקרות יחד, ההסתברות קטנה מכל אחת מהן - ולכן כופלים.

יש $4\cdot5=20$ זוגות (מספר בגלגל א, מספר בגלגל ב), כולם שווי הסתברות.

המספרים שמופיעים בשני הגלגלים הם 1 ו-3 בלבד (5 ו-7 אין בגלגל ב, ו-0, 2, 4 אין בגלגל א).

הזוגות המתאימים: $(1,1)$ ו-$(3,3)$.

טעות נפוצה: לחשוב שלכל מספר שמתקבל בגלגל א יש בגלגל ב גזרה מתאימה אחת מתוך 5, ולענות $\frac{1}{5}$. למספרים 5 ו-7 של גלגל א אין גזרה מתאימה בגלגל ב.

בונים טבלה של כל הסכומים (שורה - המספר בגלגל א, עמודה - המספר בגלגל ב):

הסכום הקטן ביותר הוא $1+0=1$ והגדול ביותר $7+4=11$, ובטבלה מופיע כל מספר שלם ביניהם.

הסכומים האפשריים: $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$.

טעות נפוצה: להתעלם מהגזרה 0 בגלגל ב ("אפס לא מוסיף כלום") ולענות שהסכומים הם $2$ עד $11$ - אבל $1+0=1$ הוא סכום אפשרי.

בטבלה מסעיף ג(1) הסכום 7 מתקבל ב-3 זוגות: $(3,4)$, $(5,2)$, $(7,0)$.

טעות נפוצה: לחשוב שכל 11 הסכומים מסעיף ג(1) שווי הסתברות ולענות $\frac{1}{11}$. חלק מהסכומים מתקבלים ביותר זוגות מאחרים (הסכום 1 - בזוג אחד בלבד, הסכום 7 - בשלושה), ולכן סופרים זוגות ולא סכומים.

אורך הגדר הוא היקף המלבן.

הגדר המקורית: $2\cdot(3+7)=20$ מטר.

הממדים החדשים: $3+1=4$ מטר ו-$7-1.5=5.5$ מטר.

הגדר החדשה: $2\cdot(4+5.5)=19$ מטר.

$20>19$, ולכן הגדר המקורית ארוכה יותר: סכום שתי הצלעות ירד מ-10 ל-9.5, וכל צלע מופיעה בהיקף פעמיים.

טעות נפוצה: לענות בלי לחשב ש"מה שנוסף לצלע אחת יורד מהצלע האחרת", ולכן הגדרות שוות. זה נכון רק כשמגדילים ומקטינים באותו אורך; כאן מוסיפים 1 מטר ומורידים 1.5 מטר, ולכן התשובה "שווה" שגויה.

השטח המקורי: $3\cdot7=21$ מ"ר.

השטח החדש: $4\cdot5.5=22$ מ"ר.

$22>21$, ולכן השטח החדש גדול יותר, אף שהגדר החדשה קצרה יותר. המלבן החדש קרוב יותר לריבוע (4 על 5.5 לעומת 3 על 7), ולכן הוא תוחם שטח גדול יותר בגדר קצרה יותר.

טעות נפוצה: להסיק מכך שהגדר החדשה קצרה יותר שגם השטח החדש קטן יותר, ולענות "קטן" בלי לחשב.

הקוטר $EF$ הוא מה שנשאר מהצלע $DC$ אחרי שמורידים את $DE$ ואת $FC$. $DC=AB=140$ ס"מ (צלעות נגדיות במלבן), ולכן:

הרדיוס הוא חצי מהקוטר: $r=\frac{60}{2}=30$ ס"מ.

שטח חצי עיגול הוא חצי משטח העיגול:

טעות נפוצה: להציב את הקוטר במקום הרדיוס, $\frac{\pi\cdot60^2}{2}=1800\pi\approx5{,}654.87$ סמ"ר - פי 4 מהשטח הנכון.

חצי העיגול נחתך מתוך המלבן, ולכן שטח המשטח הוא שטח המלבן פחות שטח חצי העיגול.

שטח המלבן: $140\cdot70=9{,}800$ סמ"ר.

טעות נפוצה: לחבר את שטח חצי העיגול במקום לחסר אותו, כמו בצורה שחצי העיגול מחובר אליה: $9{,}800+1{,}413.72=11{,}213.72$ סמ"ר. כאן המגרעת היא חור במשטח, ולכן השטח שלה יורד.

פס הקנט עובר לאורך קו המתאר של המשטח: הצלעות $DA$, $AB$, $BC$, הקטעים $CF$ ו-$ED$, וקשת חצי העיגול. הקטע $EF$ (המקווקו) נחתך יחד עם המגרעת, ולכן אין בו שוליים.

אורך הקשת הוא חצי מהיקף המעגל: $\frac{2\pi r}{2}=\pi\cdot30=30\pi\approx94.25$ ס"מ.

טעות נפוצה: לחשב את היקף המלבן כולו ($420$ ס"מ) ולהוסיף את הקשת, ולקבל $420+30\pi\approx514.25$ ס"מ - כך גם הקטע $EF$, שכבר אינו חלק מהמשטח, נכלל בפס.

המחיר נתון למטר, והאורך חושב בס"מ - קודם ממירים: $454.25$ ס"מ $=4.5425$ מטרים.

$136.27<140$, ולכן הסכום יספיק (וישארו כ-3.73 שקלים).

טעות נפוצה: לכפול את האורך בס"מ במחיר למטר, $454.25\cdot30\approx13{,}627.43$, ולענות שהסכום לא יספיק.

המחיר הממוצע למוצר הוא 100 שקלים.

טעות נפוצה: לסדר את המחירים ולענות את המחיר האמצעי, 45 שקלים - זה החציון, לא הממוצע.

המחיר של הכובע הנוסף אחרי הנחה של 10%: $45\cdot0.9=40.5$ שקלים.

$90.08<100$, ולכן המחיר הממוצע למוצר שקנתה שירה קטן יותר.

בלי חישוב מלא: המוצר שנוסף עולה 40.5 שקלים, פחות מן הממוצע 100, ולכן הוא מוריד את הממוצע.

טעות נפוצה: לחשוב שכיוון ששירה שילמה יותר מעידו (540.5 לעומת 500), גם הממוצע שלה גדול יותר. הסכום גדל, אבל גם מספר המוצרים גדל.

העמודה הגבוהה ביותר בדיאגרמה היא של הכובע: 16 מוצרים. המוצר השכיח הוא כובע.

טעות נפוצה: לענות 16 - זו השכיחות (מספר הכובעים שנמכרו), לא המוצר השכיח.

גרביים $15\cdot9=135$, כובע $45\cdot16=720$, מגבת $40\cdot11=440$, כדור $80\cdot7=560$, נעליים $320\cdot4=1280$.

ההכנסה סך הכול הייתה 3,135 שקלים.

טעות נפוצה: לכפול את מספר המוצרים שנמכרו (47) במחיר הממוצע (100) ולקבל 4,700 שקלים.

את התשלום בעבור ההובלה וההקמה משלמים פעם אחת, ואת 85 השקלים - בעבור כל אורח:

טעות נפוצה: לשלם את 1,200 השקלים בעבור כל אורח, $(1{,}200+85)\cdot60=77{,}100$. ההובלה וההקמה משולמות פעם אחת לאירוע.

מהסכום הכולל מורידים את התשלום הקבוע, ומה שנשאר שולם בעבור האורחים:

בדיקה: $1{,}200+85\cdot120=1{,}200+10{,}200=11{,}400$.

טעות נפוצה: לחלק את כל הסכום ב-85 בלי להוריד את התשלום הקבוע: $\frac{11{,}400}{85}\approx134.1$ - מספר אורחים לא שלם.

בעבור $x$ אורחים משלמים $85\cdot x$, ובנוסף 1,200 שקלים פעם אחת בעבור ההובלה וההקמה:

בדיקה מול סעיף א: עבור $x=60$ מקבלים $1{,}200+85\cdot60=6{,}300$.

טעות נפוצה: להחליף בין המספרים ולכתוב $85+1{,}200x$ - אז עבור 60 אורחים מקבלים $72{,}085$ שקלים, ולא 6,300. המספר שמוכפל ב-$x$ הוא המחיר לאורח.

המחיר הכולל בחברה ב' לאירוע של $x$ אורחים: $3{,}000+65x$.

משווים בין שני המחירים:

בדיקה: חברה א' - $1{,}200+85\cdot90=8{,}850$; חברה ב' - $3{,}000+65\cdot90=8{,}850$.

טעות נפוצה: להעביר אגפים עם סימן שגוי, $20x=3{,}000+1{,}200=4{,}200$, ולקבל $x=210$ - אבל עבור 210 אורחים המחירים שונים ($19{,}050$ לעומת $16{,}650$).