מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 12 ברמת בגרות

ממוצע = סכום הנתונים חלקי מספר הנתונים:

ההכנסה הממוצעת ב-5 השבועות היא 464 ₪.

טעות נפוצה: לבלבל בין ממוצע לחציון - למיין את ההכנסות ($380, 420, 460, 515, 545$), לקחת את האמצעית ולענות 460 ₪. זה החציון; הממוצע הוא סכום כל ההכנסות חלקי מספרן.

"גדולה ב-25%" פירושו $100\%+25\%=125\%$ מההכנסה בשבוע הרביעי.

ההכנסה בשבוע הרביעי היא 460 ₪:

ההכנסה בשבוע השישי היא 575 ₪.

טעות נפוצה: לחשב רק את 25% מההכנסה, $0.25\cdot460=115$, ולענות 115 ₪. זו התוספת בלבד; צריך להוסיף אותה ל-460.

מסדרים את 6 ההכנסות מהקטנה לגדולה:

מספר הנתונים זוגי, ולכן החציון הוא הממוצע של הנתון השלישי והרביעי:

החציון הוא 487.5 ₪.

טעות נפוצה: לא למיין, ולקחת את שני הנתונים האמצעיים לפי סדר השבועות ($420, 515, 380, 460, 545, 575$): $\frac{380+460}{2}=420$. החציון נקבע רק אחרי סידור הנתונים לפי הגודל.

סכום ההכנסות ב-5 השבועות הראשונים הוא 2320 (סעיף א), ומוסיפים את ההכנסה בשבוע השישי:

$482.5\ge480$, ולכן ענבל השיגה את המטרה שלה.

טעות נפוצה: לבדוק את הממוצע של 5 השבועות מסעיף א, $464<480$, ולענות שענבל לא השיגה את המטרה. השבוע השישי, שההכנסה בו גבוהה מהממוצע, מעלה את הממוצע אל מעל 480.

לכל מטבע מארנק א יש 4 אפשרויות בארנק ב, ולכן יש $4\cdot4=16$ תוצאות שוות הסתברות (זוגות: מטבע מארנק א, מטבע מארנק ב). בטבלה רשום בכל תא סכום הכסף בשקלים:

אותו מטבע בשני הארנקים: $(1,1),(2,2),(5,5),(10,10)$ - 4 תוצאות (האלכסון של הטבלה).

טעות נפוצה: לספור זוגות בלי סדר - 10 זוגות כאלה (כאילו $(1,5)$ ו-$(5,1)$ הן אותה תוצאה) - ולקבל $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$. הזוגות בלי סדר אינם שווי הסתברות; יש 16 תוצאות סדורות.

בטבלה מסעיף א הסכום 7 מופיע בשני תאים: $(2,5)$ - 2 ₪ מארנק א ו-5 ₪ מארנק ב, ו-$(5,2)$ - להפך. אלה שתי תוצאות שונות מתוך 16.

טעות נפוצה: לחשוב שכל אחד מ-10 הסכומים שבטבלה (2, 3, 4, 6, 7, 10, 11, 12, 15, 20) מתקבל באותה הסתברות, ולענות $\frac{1}{10}$. הסכומים אינם שווי הסתברות: הסכום 7 מתקבל בשתי תוצאות, והסכום 20 באחת.

הסכום הקטן ביותר האפשרי הוא $1+1=2$. "קטן מ-3" פירושו סכום של 2 ₪ בלבד (3 עצמו לא נכלל).

סכום של 2 ₪ מתקבל רק בתוצאה $(1,1)$:

טעות נפוצה: לקרוא "קטן מ-3" כאילו כתוב "3 או פחות", לספור גם את $(1,2)$ ואת $(2,1)$ ולקבל $\frac{3}{16}$. סכום של 3 ₪ אינו קטן מ-3 ₪.

"גדול מ-11" - בטבלה אלה הסכומים 12, 15 ו-20 (11 עצמו לא נכלל).

סכום 12: $(2,10),(10,2)$. סכום 15: $(5,10),(10,5)$. סכום 20: $(10,10)$. סך הכול 5 תוצאות.

טעות נפוצה: לכלול גם את הסכום 11 ($(1,10)$ ו-$(10,1)$) ולקבל $\frac{7}{16}$. "גדול מ-11" אינו "11 או יותר".

שטח ריבוע הוא הצלע בריבוע: $a^2=625$, ולכן

אורך הצלע 25 ס"מ.

טעות נפוצה: לחלק את השטח ב-4 ולקבל $\frac{625}{4}=156.25$ ס"מ - חלוקה ב-4 מתאימה להיקף, לא לשטח.

האלכסון הוא יתר במשולש ישר זווית שניצביו שתי צלעות התמונה:

טעות נפוצה: לחבר את שתי הצלעות ולקבל $25+25=50$ ס"מ.

הקטנה ב-40% פירושה שנשארים 60% מהצלע, כלומר כפל ב-0.6:

אורך הצלע של התמונה החדשה 15 ס"מ.

טעות נפוצה: לחשב רק את ההקטנה, $25\cdot0.4=10$, ולענות 10 ס"מ. זה בכמה הצלע קטנה, לא הצלע החדשה.

שטח התמונה החדשה: $15^2=225$ סמ"ר.

השטח קטן ב-$625-225=400$ סמ"ר.

(או: השטח הוכפל ב-$0.6^2=0.36$, כלומר נשארו 36% ממנו - הוא קטן ב-64%.)

טעות נפוצה: לענות שגם השטח קטן ב-40%, כמו כל צלע. שתי הצלעות קטנו, ולכן השטח קטן יותר.

היקף מעגל הוא $2\pi r$, או $\pi d$ כשנתון הקוטר. הקוטר 50 ס"מ, ולכן הרדיוס הוא $50:2=25$ ס"מ.

טעות נפוצה: להציב את הקוטר במקום הרדיוס בנוסחה $2\pi r$, ולחשב $2\pi\cdot50=100\pi\approx314.16$ ס"מ - פי שניים מההיקף האמיתי.

שטח עיגול הוא $\pi r^2$. הרדיוס הוא 25 ס"מ:

טעות נפוצה: להעלות בריבוע את הקוטר במקום את הרדיוס, $\pi\cdot50^2=2500\pi\approx7{,}853.98$ סמ"ר - פי ארבעה מהשטח האמיתי.

מציבים את השטח בנוסחה $S=\pi r^2$:

מחלקים ב-$\pi$: $r^2=400$, ומוציאים שורש:

טעות נפוצה: לחלק ב-$\pi$ ולשכוח להוציא שורש, ולענות שהרדיוס הוא 400 ס"מ - תוף ברוחב של 8 מטרים.

היקף עור התוף הקטן: $2\pi\cdot20=40\pi$ ס"מ. היקף עור התוף הגדול (סעיף א): $50\pi$ ס"מ.

ההפרש: $50\pi-40\pi=10\pi$ ס"מ.

"בכמה אחוזים קטן ... מן ההיקף של התוף הגדול" - מחלקים את ההפרש בהיקף שאליו משווים, היקף התוף הגדול:

אפשר גם בלי $\pi$: היחס בין ההיקפים שווה ליחס בין הרדיוסים, $\frac{20}{25}=0.8$, כלומר קטן ב-20%.

טעות נפוצה: לחלק את ההפרש בהיקף של התוף הקטן, $\frac{10\pi}{40\pi}=25\%$. הבסיס להשוואה הוא ההיקף שממנו "קטן", כלומר של התוף הגדול.

כל הגזרות בדיאגרמת עיגול יחד הן $100\%$. מחסירים את האחוזים הידועים:

טעות נפוצה: לשכוח להחסיר את אחת הגזרות (למשל ילד), $100-35-18=47\%$ - ואז סכום כל הגזרות יוצא יותר מ-$100\%$.

הסוג הנמכר ביותר הוא זה שהאחוז שלו הגדול ביותר:

תלמיד $35\%$, מבוגר $32\%$ (סעיף א), גמלאי $18\%$, ילד $15\%$.

$35\%$ הוא האחוז הגדול ביותר, ולכן נמכרו הכי הרבה כרטיסי תלמיד.

טעות נפוצה: לענות "מבוגר" לפי מראה הדיאגרמה - שתי הגזרות הגדולות נראות כמעט שוות, וחושבים שהגזרה שלא כתוב עליה אחוז היא הגדולה. לפי סעיף א היא רק $32\%$.

מכל סוג נמכר האחוז שלו מתוך 400 הכרטיסים:

תלמיד: $0.35\cdot400=140$

מבוגר: $0.32\cdot400=128$

גמלאי: $0.18\cdot400=72$

ילד: $0.15\cdot400=60$

בדיקה: $140+128+72+60=400$.

טעות נפוצה: לקחת את האחוזים עצמם כמספרי הכרטיסים - 35, 32, 18 ו-15 כרטיסים. אבל הסכום שלהם הוא רק 100, ולא 400 הכרטיסים שנמכרו.

ההכנסה מכל סוג היא מספר הכרטיסים (סעיף ג) כפול המחיר של כרטיס אחד:

תלמיד: $140\cdot15=2{,}100$

מבוגר: $128\cdot35=4{,}480$

גמלאי: $72\cdot25=1{,}800$

ילד: $60\cdot10=600$

$8{,}980<9{,}000$, ולכן הסכום לא יספיק לכיסוי העלות של ההפקה (חסרים 20 שקלים).

טעות נפוצה: להחליף בין שתי הגזרות הגדולות ולשייך $35\%$ למבוגר ו-$32\%$ לתלמיד. אז מקבלים 140 כרטיסי מבוגר ו-128 כרטיסי תלמיד, וההכנסה יוצאת $140\cdot35+128\cdot15+1{,}800+600=9{,}220>9{,}000$ - ומסיקים בטעות שהסכום יספיק.

אפשר לקנות בחנות 5 משחקים.

טעות נפוצה: להשתמש במחיר של האתר, $\frac{600}{100}=6$, ולענות 6 משחקים.

בחנות: $2\cdot120=240$ שקלים.

באתר: $2\cdot100+50=250$ שקלים.

$240<250$, ולכן לדנה משתלם יותר לקנות בחנות (היא חוסכת 10 שקלים).

טעות נפוצה: לשכוח את דמי המשלוח, להשוות $2\cdot100=200$ ל-240 ולענות שבאתר משתלם יותר.

$x$ משחקים באתר עולים $100x$, ולזה מוסיפים פעם אחת 50 שקלים בעבור המשלוח:

טעות נפוצה: לכתוב $(100+50)x=150x$ - כאילו משלמים משלוח על כל משחק.

הגן קנה 11 משחקים. בדיקה: $100\cdot11+50=1150$.

טעות נפוצה: להוסיף את 50 במקום להחסיר, $100x=1200$, ולקבל $x=12$.