מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 16 ברמת בגרות

בשעה 10:30 הרכב נמצא על הקטע העולה שבין 10:00 ל-11:00: בשעה 10:00 המרחק מהבית 60 ק"מ, ובשעה 11:00 - 120 ק"מ.

10:30 היא באמצע פרק הזמן, והקטע ישר, ולכן המרחק הוא באמצע בין 60 ל-120:

בשעה 10:30 הרכב היה במרחק 90 ק"מ מהבית.

טעות נפוצה: לקרוא את 10:30 כאילו זה 10.3 שעות ולקבל $60+0.3\cdot60=78$ ק"מ. 30 דקות הן חצי שעה, ולכן 10:30 היא באמצע בין 10:00 ל-11:00.

עצירה היא קטע אופקי בגרף: הזמן עובר והמרחק מהבית לא משתנה.

בגרף שני קטעים אופקיים:

מ-9:00 עד 10:00, במרחק 60 ק"מ - עצירה של שעה.

מ-11:00 עד 12:30, במרחק 120 ק"מ - עצירה של שעה וחצי.

לכן המשפחה עצרה פעמיים: הראשונה נמשכה שעה, והשנייה שעה וחצי.

טעות נפוצה: לספור גם את הקטע היורד (12:30-14:30) כעצירה ולענות 3 פעמים. בקטע היורד המרחק מהבית קטן - הרכב נוסע בחזרה הביתה.

יש שתי נקודות כאלה בגרף: אחת בדרך הלוך ואחת בדרך חזור.

בדרך הלוך: מ-7:00 עד 9:00 (2 שעות) הרכב עבר 60 ק"מ, כלומר 30 ק"מ בשעה. 30 ק"מ מהבית - אחרי שעה אחת: בשעה 8:00.

בדרך חזור: מ-12:30 עד 14:30 (2 שעות) הרכב חזר 120 ק"מ, כלומר 60 ק"מ בשעה. במרחק 30 ק"מ מהבית נשארו לו 30 ק"מ, כלומר חצי שעה של נסיעה, ולכן זה היה חצי שעה לפני 14:30: בשעה 14:00.

טעות נפוצה: למצוא רק את הנקודה בדרך הלוך ולענות 8:00 בלבד.

בדרך הלוך הרכב הגיע עד 120 ק"מ מהבית (60 ק"מ עד 9:00 ועוד 60 ק"מ מ-10:00 עד 11:00), ובדרך חזור נסע עוד 120 ק"מ עד הבית.

המשפחה נסעה סך הכול 240 ק"מ.

טעות נפוצה: לענות 120 ק"מ - המרחק הגדול ביותר מהבית - ולשכוח את הדרך חזרה.

בדרך חזרה (מ-12:30 עד 14:30) הרכב נסע 120 ק"מ ב-2 שעות.

מהירות הנסיעה בדרך חזרה הייתה 60 קמ"ש.

טעות נפוצה: למדוד את הזמן מתחילת העצירה השנייה בשעה 11:00 ולחלק ב-3.5 שעות: $\frac{120}{3.5}\approx34.3$ קמ"ש. בזמן העצירה הרכב לא נסע.

יש 6 כרטיסים, ולכל כרטיס אותו סיכוי להיבחר. רק על כרטיס אחד כתוב 21.

טעות נפוצה: לענות $\frac{1}{5}$ ("כרטיס אחד מול חמישה אחרים"). המכנה הוא מספר כל הכרטיסים.

המספרים שגדולים מ-10 הם 14, 21, 30 ו-36 - ארבעה כרטיסים מתוך 6.

טעות נפוצה: לספור את המספרים הקטנים מ-10 (5 ו-8) ולענות $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

בודקים כל מספר: $21=3\cdot7$, $30=3\cdot10$, $36=3\cdot12$ מתחלקים ב-3; 5, 8 ו-14 אינם מתחלקים ב-3.

שלושה כרטיסים מתוך 6:

טעות נפוצה: לפספס את 21 (הוא אי-זוגי ולא "נראה" כמו כפולה של 3) ולענות $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

אחרי ההוספה יש 7 כרטיסים, וההסתברות היא $\frac37$ - כלומר על 3 כרטיסים מתוך 7 כתוב מספר שמתחלק ב-3.

כבר לפני ההוספה היו 3 כרטיסים כאלה (21, 30, 36). לכן על הכרטיס השביעי כתוב מספר שאינו מתחלק ב-3.

דוגמה: 10. בדיקה: $P=\frac{3}{7}$.

טעות נפוצה: לכתוב מספר שמתחלק ב-3, למשל 12 - ואז יש 4 כרטיסים כאלה מתוך 7, וההסתברות היא $\frac{4}{7}$, לא $\frac{3}{7}$.

נסמן ב-$x$ את הצלע הקטנה של המגרש המקורי (במטרים). הצלע הגדולה: $x+12$.

אחרי ההרחבה: הצלע הקטנה פי 3 - $3x$; הצלע הגדולה גדלה ב-50%, כלומר הוכפלה ב-$1.5$ - $1.5(x+12)=1.5x+18$.

ההיקף החדש הוא 90:

ממדי המגרש המקורי: 6 מ' על $6+12=18$ מ'. היקפו: $2(6+18)=48$ מ'.

בדיקה: אחרי ההרחבה הממדים 18 על 27, וההיקף $2(18+27)=90$ מ'.

טעות נפוצה: לפרש "פי 3" כ"גדולה ב-3" ולכתוב $x+3$ במקום $3x$. אז המשוואה $2(x+3+1.5x+18)=90$ נותנת $x=9.6$, ממדים של $9.6$ על $21.6$ - אבל אז הצלע הקטנה אחרי ההרחבה היא $12.6$ מ' ולא פי 3 מ-$9.6$.

היקף מעגל: $P=2\pi r$.

הגלגל האחורי: $P=2\cdot\pi\cdot0.9=1.8\pi\approx5.652$ מטר.

הגלגל הקדמי: $P=2\cdot\pi\cdot0.3=0.6\pi\approx1.884$ מטר.

(בחישוב עם $\pi\approx3.14$.)

טעות נפוצה: לשכוח את ה-2 ולחשב $\pi\cdot0.9\approx2.826$ מטר לגלגל האחורי.

בכל סיבוב הגלגל עובר את היקפו. הגלגל הקדמי הסתובב 150 פעמים:

הטרקטור נסע 282.6 מטר (בדיוק: $150\cdot0.6\pi=90\pi$ מטר).

טעות נפוצה: לכפול בהיקף הגלגל האחורי, $150\cdot5.652=847.8$ מטר - הנתון הוא על הגלגל הקדמי.

מספר הסיבובים = הדרך חלקי היקף הגלגל. השאלה על הגלגל האחורי, שהיקפו $5.652$ מטר:

הגלגל האחורי הסתובב כ-200 סיבובים (עם הערך המדויק של $\pi$: $\frac{1130.4}{1.8\pi}\approx199.9$).

טעות נפוצה: לחלק בהיקף הגלגל הקדמי, $\frac{1130.4}{1.884}=600$ סיבובים.

בכל חודש משלמים 12 חברים 25 שקלים כל אחד: $12\cdot25=300$ שקלים בחודש - המקדם של $x$.

בהתחלה ($x=0$) היה חוב של 1,600 שקלים: $-1{,}600$.

זו תבנית (2).

טעות נפוצה: לבחור את תבנית (1), $y=300x+1{,}600$ - לרשום את החוב כסכום שיש בקופה.

הכסף נאסף פעם בחודש: אחרי 5 חודשים המאזן $300\cdot5-1{,}600=-100$ (עדיין חוב), ואחרי 6 חודשים $300\cdot6-1{,}600=200$.

החוב יכוסה כעבור 6 חודשים.

טעות נפוצה: לעגל את $5\frac13$ לשלם הקרוב ולענות כעבור 5 חודשים - אז נשאר חוב של 100 שקלים.

כעבור 24 חודשים.

טעות נפוצה: להחסיר את החוב, $300x=5{,}600-1{,}600$, ולקבל $x\approx13.3$.

מוצאים את 2,000 על הציר האנכי, הולכים אופקית עד הישר ויורדים לציר החודשים: $x=12$.

בדיקה: $300\cdot12-1{,}600=2{,}000$.

טעות נפוצה: לקרוא בכיוון ההפוך - ב-$x=2$ - ולקבל $-1{,}000$ שקלים.

מוצאים את 8 על ציר החודשים, עולים עד הישר וקוראים: 800 שקלים.

בדיקה: $300\cdot8-1{,}600=800$.

טעות נפוצה: להציב בתבנית $y=300x+1{,}600$ ולקבל 4,000 שקלים.

בכל חודש מצב הקופה גדל ב-1,800 שקלים. ב-5 חודשים נכנסו לקופה $5\cdot1{,}800=9{,}000$ שקלים:

מצב הקופה היה $(-6{,}600)$ שקלים - עדיין שלילי.

טעות נפוצה: לחשב $15{,}600-9{,}000=6{,}600$ ולענות שבקופה יש 6,600 שקלים. הקופה התחילה במינוס, ו-9,000 שקלים עוד לא מכסים את הוצאות הפתיחה.

ב-9 חודשים נכנסו לקופה $9\cdot1{,}800=16{,}200$ שקלים:

$600>0$, כלומר בקופה יש 600 שקלים, ולכן מצב הקופה כבר לא היה שלילי.

טעות נפוצה: להחסיר את הרווח במקום לחבר אותו, $-15{,}600-16{,}200=-31{,}800$, ולענות שהמינוס עוד גדל. הרווח מוסיף כסף לקופה.

מצב הקופה ביום הפתיחה ($x=0$) הוא $-15{,}600$ - זה המספר החופשי.

בכל חודש נוספים 1,800 שקלים, ולכן כעבור $x$ חודשים נוספו $1{,}800x$ שקלים:

זה ביטוי II. בדיקה: עבור $x=5$ מתקבל $-6{,}600$, כמו בסעיף א.

טעות נפוצה: לבחור בביטוי IV, $15{,}600-1{,}800x$ - בו הקופה מתחילה ב-15,600 שקלים ויורדת בכל חודש. עבור $x=5$ הוא נותן $6{,}600$ במקום $-6{,}600$.

משווים את הביטוי מסעיף ג ל-11,400:

כעבור 15 חודשים היו בקופה 11,400 שקלים. בדיקה: $-15{,}600+1{,}800\cdot15=-15{,}600+27{,}000=11{,}400$.

טעות נפוצה: לחלק את 11,400 ב-1,800 בלי להתחשב במינוס של ההתחלה, $\frac{11{,}400}{1{,}800}\approx6.33$, ולענות כ-6 חודשים. קודם צריך לכסות את 15,600 השקלים של הוצאות הפתיחה.