מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 17 ברמת בגרות

כשלא גוזמים, הדשא צומח והגרף עולה. גזימה היא ירידה פתאומית בגובה הדשא, כלומר קפיצה של הגרף כלפי מטה.

בגרף יש ארבע קפיצות: בשבוע 2 (מ-8 ס"מ ל-3 ס"מ), בשבוע 5 (מ-9 ל-2), בשבוע 7 (מ-6 ל-2) ובשבוע 11 (מ-10 ל-3).

לכן גזמו את הדשא 4 פעמים.

טעות נפוצה: לספור את הקטעים העולים ולענות 5 פעמים. יש 5 קטעים, אבל הגזימות הן רק המעברים ביניהם, כלומר 4.

אורך כל קטע עולה על ציר הזמן הוא משך הזמן בלי גזימה:

משבוע 0 עד 2: 2 שבועות. משבוע 2 עד 5: 3 שבועות. משבוע 5 עד 7: 2 שבועות. משבוע 7 עד 11: 4 שבועות. משבוע 11 עד 12: שבוע אחד.

משך הזמן הארוך ביותר: 4 שבועות, משבוע 7 עד שבוע 11.

טעות נפוצה: לספור את מספרי השבועות $7,8,9,10,11$ במקום את ההפרש $11-7$, ולענות 5 שבועות.

מחפשים את הנקודה הגבוהה ביותר בגרף.

הגרף מגיע לגובה 10 ס"מ בשבוע 11, רגע לפני הגזימה. הנקודה שם מלאה, ולכן הגובה 10 ס"מ אכן התקבל.

גובה הדשא הגדול ביותר היה 10 ס"מ.

טעות נפוצה: להסתכל רק על סוף העונה ולענות 5 ס"מ. זה הגובה בשבוע 12, לא הגובה הגדול ביותר.

מוצאים את קצב הצמיחה מקטע אחד, למשל הקטע הראשון: משבוע 0 עד שבוע 2 הדשא צמח מ-4 ס"מ ל-8 ס"מ.

קצב הצמיחה:

כלומר 2 ס"מ בשבוע.

(בדיקה בקטע אחר: משבוע 7 עד 11 הדשא צמח מ-2 ל-10, כלומר 8 ס"מ ב-4 שבועות, גם כן 2 ס"מ בשבוע.)

בשלושה שבועות באותו קצב: $2\cdot3=6$ ס"מ.

טעות נפוצה: לחלק את הגובה 8 במספר השבועות 2 במקום לחלק את השינוי בגובה, לקבל קצב של 4 ס"מ בשבוע, ולענות $4\cdot3=12$ ס"מ.

מרחב המדגם: לכל אחת מ-8 התוצאות בסביבון הצהוב יש 8 תוצאות בסביבון הירוק, ולכן יש $8\cdot8=64$ תוצאות שוות הסתברות (זוגות סדורים: צהוב, ירוק).

הזוגות שסכומם 5:

טעות נפוצה: לספור כל צירוף פעם אחת בלבד, $\{1,4\}$ ו-$\{2,3\}$, ולקבל $\frac{2}{64}=\frac{1}{32}$. "1 בצהוב ו-4 בירוק" ו"4 בצהוב ו-1 בירוק" הן שתי תוצאות שונות.

המאורע "הסכום שונה מ-5" הוא המאורע המשלים של "הסכום הוא 5", ולכן:

(בספירה: $64-4=60$ תוצאות, $\frac{60}{64}=\frac{15}{16}$.)

טעות נפוצה: לחשוב שכל 15 הסכומים האפשריים (2 עד 16) שווי הסתברות, ולכן $P=\frac{14}{15}$. הסכומים אינם שווי הסתברות - לסכום 5 יש 4 זוגות, ולסכום 2 רק זוג אחד.

מספר קטן מ-4 בסביבון: 1, 2 או 3.

ה-6 יכול להתקבל בסביבון הצהוב או בסביבון הירוק:

6 בצהוב: $(6,1),\ (6,2),\ (6,3)$;

6 בירוק: $(1,6),\ (2,6),\ (3,6)$.

טעות נפוצה: לפרש "קטן מ-4" כ"4 או פחות" ולספור גם את $(6,4)$ ו-$(4,6)$, ולקבל $\frac{8}{64}=\frac{1}{8}$. בסביבון האחר צריך מספר קטן מ-4 ממש, כלומר 1, 2 או 3.

היקף מעגל: $P=2\pi r$.

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחת השטח, $\pi\cdot60^2=3600\pi\approx11309.73$.

טעות נפוצה: לחלק רק ב-$\pi$ ולקבל $r=90$ - זה הקוטר.

טעות נפוצה: לחלק את הרדיוסים, $\frac{60}{45}\approx1.33$, במקום את השטחים.

השביל הוא האלכסון של המלבן. האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים ישרי זווית, שבהם צלעות המלבן הן הניצבים והאלכסון (39) הוא היתר.

נסמן את הצלע הארוכה ב-$b$. לפי משפט פיתגורס:

אורך הצלע הארוכה של המדשאה הוא 36 מטרים.

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים כאילו השביל הוא ניצב, $\sqrt{39^2+15^2}=\sqrt{1746}\approx41.79$ מטרים. אבל צלע של המלבן קצרה מן האלכסון - האלכסון הוא היתר, ולכן מחסרים.

ההיקף של המדשאה (מלבן 36 על 15, סעיף א):

ההיקף של הערוגה קטן ב-62 מטרים: $102-62=40$ מטרים.

לריבוע 4 צלעות שוות, ולכן אורך הצלע: $\frac{40}{4}=10$ מטרים.

טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר, $102+62=164$, ולקבל צלע של $\frac{164}{4}=41$ מטרים. "קטן ב-62" פירושו שמחסירים 62.

שטח המדשאה: $36\cdot15=540$ מ"ר.

שטח הערוגה: $10\cdot10=100$ מ"ר.

השטח של המדשאה גדול פי 5.4 מן השטח של ערוגת הפרחים.

טעות נפוצה: לחלק את ההיקפים במקום את השטחים, $\frac{102}{40}=2.55$. השאלה היא על שטח.

כשמספר הימים הוא 0 היתרה היא הסכום שנטען. אצל נועה זה 450 שקלים ואצל עמית 300 שקלים - לכן הגרף של נועה מתחיל גבוה יותר על ציר ה-$y$.

בנוסף, בכל יום יורדים מהכרטיס של נועה 25 שקלים, יותר מ-15 אצל עמית - לכן הגרף של נועה יורד בתלילות רבה יותר.

גרף I מתחיל גבוה יותר ויורד מהר יותר, ולכן הוא מתאר את היתרה בכרטיס של נועה.

טעות נפוצה: לבחור את גרף II, כי הוא פוגש את ציר ה-$x$ מאוחר יותר - מתוך מחשבה שבכרטיס שנטען בו יותר כסף היתרה תיגמר מאוחר יותר. ההתאמה נעשית לפי הסכום ההתחלתי, ונועה מוציאה יותר בכל יום.

היתרה היא הסכום שנטען פחות הסכום שהוצא: המחיר ליום כפול מספר הימים.

נועה: $450-25x$ - ביטוי (4).

עמית: $300-15x$ - ביטוי (2).

טעות נפוצה: לבחור לנועה את ביטוי (1), $450+25x$ - לשכוח שכל ארוחה מורידה כסף מהכרטיס, ולכן המקדם של $x$ צריך להיות שלילי.

בנקודת החיתוך שתי היתרות שוות:

מציבים: $y=450-25\cdot15=75$ (ובדיקה: $300-15\cdot15=75$).

נקודת החיתוך היא $(15,\,75)$: כעבור 15 ימי לימודים נשארו בשני הכרטיסים אותה יתרה, 75 שקלים.

טעות נפוצה: להעביר את $-15x$ לאגף שמאל בלי לשנות סימן, $450-25x-15x=300$, ולקבל $150=40x$, $x=3.75$.

מציבים $y=0$ בכל ביטוי ופותרים.

נועה: $450-25x=0$, $25x=450$, $x=18$.

עמית: $300-15x=0$, $15x=300$, $x=20$.

$18<20$, ולכן הכרטיס של נועה מתרוקן מוקדם יותר.

אפשר לראות זאת גם בגרף: אחרי נקודת החיתוך (סעיף ג) גרף I נמצא מתחת לגרף II, ולכן הוא מגיע לציר ה-$x$ קודם.

טעות נפוצה: לענות "הכרטיס של עמית" בלי לחשב, כי בכרטיס של נועה נטען יותר כסף. אבל נועה מוציאה יותר בכל יום, והכרטיס שלה מתרוקן כבר אחרי 18 ימים.

לפי אפשרות ב' משלמים 7.5 שקלים על כל נסיעה, ולכן על 18 נסיעות:

טעות נפוצה: לכפול רק את החלק השלם של המחיר ולהוסיף את חצי השקל פעם אחת, $18\cdot7+0.5=126.5$. גם חצי השקל משולם על כל אחת מ-18 הנסיעות: $18\cdot0.5=9$, ו-$126+9=135$.

טל נוסעת פעמיים בכל יום (הלוך וחזור), ולכן בחודש זה היא נוסעת $20\cdot2=40$ נסיעות.

לפי אפשרות א' טל תשלם 225 שקלים, בלי קשר למספר הנסיעות.

לפי אפשרות ב' היא תשלם על 40 נסיעות:

$225<300$, ולכן אפשרות א' משתלמת יותר לטל (היא חוסכת 75 שקלים).

טעות נפוצה: לספור נסיעה אחת לכל יום, $20\cdot7.5=150$ שקלים, ולבחור באפשרות ב'. טל נוסעת גם הלוך וגם חזור.

לפי אפשרות ב' כל נסיעה עולה 7.5 שקלים, ולכן על $x$ נסיעות עומר שילם $7.5$ כפול $x$:

בדיקה: עבור $x=18$ מקבלים 135, כמו בסעיף א.

טעות נפוצה: לכתוב $7.5+x$. עבור 18 נסיעות זה נותן 25.5 שקלים ולא 135 - על כל נסיעה משלמים 7.5, ולכן כופלים במספר הנסיעות.

המחיר לפי אפשרות ב' הוא $7.5x$ (סעיף ג(1)), והמחיר לפי אפשרות א' הוא 225. משווים:

עומר נסע 30 נסיעות. בדיקה: $30\cdot7.5=225$.

טעות נפוצה: לפתור את המשוואה בחיסור, $x=225-7.5=217.5$. כדי לבודד את $x$ מתוך $7.5x$ מחלקים ב-7.5.