מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 18 ברמת בגרות

כל עמודה מראה כמה מכוניות היו עם כל מספר אנשים. קוראים את גובה העמודות מהציר האנכי:

אדם אחד - 18 מכוניות, 2 אנשים - 6 מכוניות, 3 אנשים - 5 מכוניות, 4 אנשים - 4 מכוניות, 5 אנשים - 3 מכוניות.

מספר המכוניות הוא סכום הגבהים:

טעות נפוצה: לספור את האנשים במקום את המכוניות: $1\cdot18+2\cdot6+3\cdot5+4\cdot4+5\cdot3=76$, ולענות 76. השאלה היא כמה מכוניות, כלומר סכום השכיחויות.

הממוצע הוא מספר האנשים הכולל חלקי מספר המכוניות.

מספר האנשים הכולל - כל ערך כפול השכיחות שלו:

מספר המכוניות הוא 36 (סעיף א):

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של הערכים שעל הציר בלי השכיחויות, $\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$. לכל ערך יש מספר מכוניות שונה, ולכן צריך ממוצע משוקלל.

הממוצע הוא $2.11$ (סעיף ב). מספרי אנשים שגדולים ממנו: 3, 4 ו-5.

מספר המכוניות שהיו בהן 3, 4 או 5 אנשים:

האחוז מתוך כל 36 המכוניות:

טעות נפוצה: לספור ערכים במקום מכוניות - "3 ערכים מתוך 5 שעל הציר גדולים מהממוצע" - ולענות $\frac{3}{5}\cdot100\%=60\%$. האחוז הוא מתוך המכוניות, ולכן סופרים כמה מכוניות יש בכל ערך.

מסדרים את 36 הנתונים מהקטן לגדול. מספר הנתונים זוגי, ולכן החציון הוא הממוצע של שני האיברים האמצעיים - במקומות 18 ו-19.

שכיחות מצטברת:

מקומות 1-18: אדם אחד;

מקומות 19-24: 2 אנשים ($18+6=24$).

במקום 18 הערך הוא 1, ובמקום 19 הערך הוא 2, ולכן:

טעות נפוצה: לקחת רק את האיבר במקום 18 (חצי מ-36) ולענות שהחציון הוא 1. כשמספר הנתונים זוגי יש שני איברים אמצעיים, וכאן הם שונים זה מזה.

כשמוסיפים נתון שגדול מהממוצע - הממוצע גדל; קטן מהממוצע - קטן; שווה לממוצע - לא משתנה.

במכונית הנוספת 2 אנשים, ו-$2<2.11$, ולכן הממוצע קטן.

בדיקה בחישוב: עכשיו יש $36+1=37$ מכוניות ו-$76+2=78$ אנשים:

טעות נפוצה: לעגל את הממוצע ל-2 ולקבוע שהנתון החדש שווה לממוצע, ולכן הממוצע "לא השתנה". הממוצע הוא $2.11$, לא 2, ו-2 קטן ממנו.

הגזרות שוות, ולכן לכל אחד מחמשת המספרים אותו סיכוי. המספר 3 רשום על גזרה אחת.

טעות נפוצה: לכתוב במונה את המספר שעל הגזרה, $\frac{3}{5}$, במקום את מספר הגזרות המתאימות (אחת).

שני הסיבובים אינם תלויים זה בזה, ולכן ההסתברות ששניהם יצליחו היא מכפלת ההסתברויות:

(בספירה: מתוך $5\cdot5=25$ זוגות תוצאות רק הזוג $(1,1)$ מתאים.)

טעות נפוצה: לחבר במקום להכפיל, $\frac{1}{5}+\frac{1}{5}=\frac{2}{5}$.

נועה מנצחת בשתי תוצאות שונות: $(2,5)$ או $(5,2)$.

ההסתברות שנועה מנצחת:

דן מנצח בשתי תוצאות שונות שאינן יכולות לקרות יחד: $(1,1)$ או $(4,4)$. מחברים את ההסתברויות:

ההסתברות שדן מנצח:

כן: לשניהם אותו סיכוי, $\frac{2}{25}$. לכל אחד מהם שתי תוצאות מנצחות מתוך 25.

טעות נפוצה: לספור אצל נועה רק את הסדר $(2,5)$, לקבל $\frac{1}{25}$, ולענות שלדן סיכוי כפול. גם הסדר $(5,2)$ מתאים לתנאי של נועה.

היקף מעגל: $P=2\pi r$.

היקף הגלגל האחורי הוא $20\pi$ ס"מ, כ-62.83 ס"מ.

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחת השטח, $\pi\cdot10^2=100\pi\approx314.16$ ס"מ.

מציבים את ההיקף הנתון בנוסחת ההיקף:

אורך הרדיוס של הגלגל הקדמי הוא 13.5 ס"מ.

טעות נפוצה: לחלק רק ב-$\pi$ ולקבל 27 ס"מ - זה הקוטר של הגלגל, לא הרדיוס.

ההפרש בין הרדיוסים: $13.5-10=3.5$ ס"מ.

משווים לרדיוס של הגלגל האחורי ("מן הרדיוס של הגלגל האחורי"):

הרדיוס של הגלגל הקדמי גדול ב-35%.

טעות נפוצה: לחלק ברדיוס של הגלגל הקדמי, $\frac{3.5}{13.5}\cdot100\approx25.9\%$ - כך מחשבים בכמה אחוזים הרדיוס האחורי קטן מן הקדמי, וזו לא השאלה.

בכל סיבוב הגלגל האחורי מתקדם מרחק השווה להיקף שלו, $20\pi$ ס"מ (סעיף א).

זה המרחק בסנטימטרים; מחלקים ב-100 כדי לעבור למטרים:

נועה עברה $1000\pi$ מטרים, כ-3,141.6 מטרים (כ-3.1 ק"מ).

טעות נפוצה: להשתמש בהיקף של הגלגל הקדמי, $5000\cdot27\pi=135000\pi$ ס"מ, ולקבל $1350\pi\approx4241.2$ מטרים. הסיבובים שנספרו הם של הגלגל האחורי.

טעות נפוצה: לחבר את הצלעות, $16+10=26$, במקום לכפול.

טעות נפוצה: להמיר את $40\%$ ל-$0.04$ ולקבל $0.04\cdot160=6.4$ מ"ר. $40\%$ הם $\frac{40}{100}=0.4$.

בדיקה: $8\cdot8=64$.

טעות נפוצה: לחלק את השטח ב-4 ולקבל $\frac{64}{4}=16$ - ריבוע שצלעו 16 שטחו 256.

אורך המסגרת הוא ההיקף של ארגז החול:

$4800\le5000$, ולכן 5,000 שקלים יספיקו.

טעות נפוצה: לחשב את ההיקף של כל המגרש במקום של ארגז החול, $2(16+10)=52$ מטרים, ולקבל $52\cdot150=7800>5000$ - ולהסיק שהכסף לא יספיק.

מחפשים בגרף את המדרגה שמעל הנפח 8 מ"ק. 8 נמצא בין 7 ל-10, והמדרגה בתחום הזה נמצאת בגובה 750.

לכן המחיר של פינוי 8 מ"ק פסולת הוא 750 שקלים.

טעות נפוצה: לקרוא את המדרגה הקודמת, זו שמסתיימת ב-7 מ"ק, ולענות 550 שקלים. 8 גדול מ-7, ולכן הוא במדרגה הבאה.

המדרגה בגובה 550 שקלים מתחילה ב-4 מ"ק בנקודה ריקה ומסתיימת ב-7 מ"ק בנקודה מלאה.

נקודה מלאה פירושה שהנפח 7 מ"ק עצמו שייך למדרגה הזאת (מחירו 550), ונקודה ריקה פירושה שהנפח 4 מ"ק אינו שייך לה (מחירו 400).

לכן הנפח הגבוה ביותר שמחיר הפינוי שלו 550 שקלים הוא 7 מ"ק.

טעות נפוצה: לענות 4 מ"ק, כי שם מתחילה המדרגה של 550 שקלים. ב-4 הנקודה ריקה, ובכל מקרה מבקשים את הנפח הגבוה ביותר - קצה המדרגה הימני.

אילו הזמינו כל אחד פינוי בנפרד:

2 מ"ק: הנקודה המלאה ב-2 שייכת למדרגה הראשונה, ולכן כל פינוי עולה 250 שקלים.

סך הכול $250+250=500$ שקלים.

בפינוי אחד: $2+2=4$ מ"ק. ב-4 הנקודה המלאה היא של המדרגה בגובה 400 (הנקודה של 550 ב-4 ריקה), ולכן המחיר 400 שקלים.

החיסכון: $500-400=100$ שקלים.

טעות נפוצה: לשייך את 4 מ"ק למדרגה של 550 שקלים, כי שם היא מתחילה, ולהסיק שהאיחוד דווקא מייקר ב-50 שקלים ($550-500=50$), כלומר שלא חסכו כלום. ב-4 הנקודה של המדרגה 550 ריקה.

נסמן ב-$x$ את המחיר של כרטיס במושבים האחוריים (בשקלים). המחיר של כרטיס בשורות הקדמיות הוא $x+40$.

נמכרו $30+45=75$ כרטיסים. המחיר הממוצע הוא סכום המחירים של כל הכרטיסים חלקי מספר הכרטיסים - ממוצע משוקלל:

כופלים ב-75 ופותחים סוגריים:

בדיקה: $\frac{30\cdot95+45\cdot135}{75}=\frac{2{,}850+6{,}075}{75}=119$.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע פשוט של שני המחירים, $\frac{x+(x+40)}{2}=119$, בלי להתחשב במספר הכרטיסים מכל סוג, ולקבל $x=99$.

המחיר של כרטיס בשורות הקדמיות: $95+40=135$ שקלים (לפי סעיף א).

45 כרטיסים נמכרו ב-135 שקלים, ורק 30 כרטיסים נמכרו ב-95 שקלים.

השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים, ולכן המחיר השכיח הוא 135 שקלים.

טעות נפוצה: לענות 45 - מספר הכרטיסים שנמכרו בשורות הקדמיות (השכיחות), ולא המחיר עצמו.

מסדרים את המחירים של 75 הכרטיסים מהנמוך לגבוה: 95 שקלים - מקומות 1-30; 135 שקלים - מקומות 31-75.

מספר הנתונים אי-זוגי (75), ולכן החציון הוא הנתון שבמקום האמצעי: $\frac{75+1}{2}=38$.

הנתון במקום ה-38 נמצא בקבוצת השורות הקדמיות:

טעות נפוצה: לקחת את האמצע בין שני המחירים, $\frac{95+135}{2}=115$, בלי להתחשב בכך שרוב הכרטיסים נמכרו בשורות הקדמיות.