מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 20 ברמת בגרות

גובה כל עמודה הוא מספר העובדים שעבדו מהבית את מספר הימים שמתחתיה. מספר העובדים הוא סכום גובהי העמודות:

טעות נפוצה: לסכם את מספרי הימים במקום את מספרי העובדים, $0\cdot5+1\cdot4+2\cdot8+3\cdot4+4\cdot2+5\cdot2=50$, ולענות 50 - זה מספר ימי העבודה מהבית של כל העובדים יחד, לא מספר העובדים.

כל עמודה היא קבוצה של עובדים עם אותו מספר ימים, ולכן זה ממוצע משוקלל: כופלים כל מספר ימים במספר העובדים שעבדו מהבית מספר ימים כזה, מסכמים, ומחלקים במספר העובדים (סעיף א(1)).

סך ימי העבודה מהבית:

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של מספרי הימים שעל הציר בלי להתחשב בשכיחויות, $\frac{0+1+2+3+4+5}{6}=2.5$. לכל ערך יש מספר שונה של עובדים, ולכן צריך ממוצע משוקלל.

הממוצע הוא 2 ימים (סעיף א(2)). מספרי הימים שגדולים מ-2 הם 3, 4 ו-5.

מספר העובדים שעבדו מהבית 3, 4 או 5 ימים:

האחוז מתוך כל 25 העובדים:

טעות נפוצה: לספור גם את 8 העובדים שעבדו מהבית 2 ימים, $\frac{8+4+2+2}{25}\cdot100\%=64\%$. מי שעבד מהבית 2 ימים נמצא בדיוק בממוצע, לא מעליו.

העובד הנוסף עבד מהבית 2 ימים, וזה בדיוק הממוצע הקודם, 2.

כשמוסיפים נתון שגדול מהממוצע, הממוצע גדל; נתון שקטן מהממוצע מקטין אותו; ונתון ששווה לממוצע לא משנה אותו.

בדיקה בחישוב: סך ימי העבודה מהבית $50+2=52$, מספר העובדים $25+1=26$:

לכן הממוצע לא השתנה.

טעות נפוצה: לחשוב שכיוון שנוסף עובד מחלקים ביותר אנשים, ולכן הממוצע קטן. המכנה אמנם גדל ב-1, אבל המונה גדל ב-2, בדיוק פי 2 - ולכן המנה נשארת 2.

בונים את מרחב המדגם: לכל ספרה בטבעת הראשונה יש 10 ספרות אפשריות בטבעת השנייה, ולכן יש $10\cdot10=100$ תוצאות שוות הסתברות (זוגות: ספרה בטבעת הראשונה, ספרה בטבעת השנייה).

אותה ספרה בשתי הטבעות: $(0,0),(1,1),(2,2),\dots,(9,9)$ - 10 תוצאות.

טעות נפוצה: לחשוב שיש $10+10=20$ תוצאות, ולקבל $\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$. כל ספרה בטבעת אחת מתחברת לכל ספרה בטבעת השנייה, ולכן יש $10\cdot10=100$ תוצאות.

הספרה הגדולה ביותר היא 9, ולכן סכום 18 מתקבל רק כששתי הטבעות נעצרות על 9: התוצאה $(9,9)$ בלבד.

טעות נפוצה: לספור זוגות בלי סדר (כאילו $(3,8)$ ו-$(8,3)$ הן אותה תוצאה) - 55 זוגות כאלה - ולקבל $\frac{1}{55}$. בשתי טבעות נפרדות יש 100 תוצאות שוות הסתברות.

הספרה בטבעת הראשונה צריכה להיות לפחות 3, כי אחרת הספרה השנייה תצטרך להיות גדולה מ-9.

לכל ספרה ראשונה מ-3 עד 9 יש ספרה שנייה אחת מתאימה:

7 תוצאות:

טעות נפוצה: לרשום רק את הזוגות שבהם הספרה הראשונה קטנה מהשנייה או שווה לה, $(3,9),(4,8),(5,7),(6,6)$, ולקבל $\frac{4}{100}=\frac{1}{25}$. גם $(9,3)$ - 9 בטבעת הראשונה ו-3 בשנייה - נותן סכום 12, והיא תוצאה שונה מ-$(3,9)$.

"קטן מ-3" פירושו סכום 0, 1 או 2 (3 עצמו לא נכלל).

סכום 0: $(0,0)$. סכום 1: $(0,1),(1,0)$. סכום 2: $(0,2),(1,1),(2,0)$.

טעות נפוצה: להבין "סכום קטן מ-3" כאילו כל אחת מהספרות קטנה מ-3, ולספור את כל 9 הזוגות של הספרות 0, 1, 2 - ולקבל $\frac{9}{100}$. התנאי הוא על הסכום: $(1,2)$ למשל נותן סכום 3, שאינו קטן מ-3.

היקף מעגל: $P=2\pi r$.

ההיקף של תבנית א' הוא כ-75.40 ס"מ.

טעות נפוצה: לבלבל בין $P=\pi d$ לבין $P=2\pi r$ ולהציב את הרדיוס במקום הקוטר, $\pi\cdot12=12\pi\approx37.70$ ס"מ.

ההיקף של תבנית ב' גדול ב-$6\pi$ מן ההיקף של תבנית א', ולכן מחברים:

אורך הרדיוס של תבנית ב' הוא 15 ס"מ.

טעות נפוצה: להוסיף את ההפרש בהיקפים ישירות לרדיוס, $12+6=18$ ס"מ. הפרש של $6\pi$ בהיקף הוא הפרש של 3 ס"מ בלבד ברדיוס.

שטח עיגול: $S=\pi r^2$.

השטח של תבנית ב' גדול פי 1.56 בקירוב מן השטח של תבנית א'.

טעות נפוצה: לחלק את הרדיוסים במקום את השטחים, $\frac{15}{12}=1.25$.

הגן הוא עיגול שרדיוסו 9 מטרים. שטח עיגול:

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחת היקף המעגל, $2\pi\cdot9=18\pi\approx56.55$. היקף הוא אורך (מטרים), ושטח הוא במ"ר.

הדשא שתול בכל הגן חוץ ממשטח הגומי, ולכן שטח הדשא הוא ההפרש בין שטח הגן לשטח משטח הגומי:

(המיקום של משטח הגומי בתוך הגן לא משנה את השטח שנשאר.)

טעות נפוצה: לחשב את הרדיוס של משטח הגומי (4), להחסיר רדיוסים, $9-4=5$, ולחשב שטח של עיגול ברדיוס 5: $\pi\cdot5^2=25\pi\approx78.54$. החלק של הדשא אינו עיגול, ושטחו הוא הפרש השטחים.

כל מחיר מוכפל בשטח שלו.

משטח הגומי: $16\pi\cdot180=2880\pi\approx9{,}047.79$ שקלים.

דשא: $65\pi\cdot40=2600\pi\approx8{,}168.14$ שקלים.

המחיר הכולל הוא כ-17,216 שקלים.

טעות נפוצה: להחליף בין המחירים ולהכפיל את שטח הגומי ב-40 ואת שטח הדשא ב-180: $16\pi\cdot40+65\pi\cdot180=12340\pi\approx38{,}767.25$ שקלים.

אורך הגדר הוא היקף העיגול של משטח הגומי. לשם כך צריך את הרדיוס שלו, ומוצאים אותו מהשטח:

טעות נפוצה: לקחת את 16 כרדיוס, בלי להוציא שורש, ולקבל $2\pi\cdot16=32\pi\approx100.53$ מטרים - גדר ארוכה יותר מהיקף הגן כולו ($18\pi\approx56.55$).

הדס קנתה 5 מוצרים, אחד מכל סוג. הממוצע הוא סכום המחירים חלקי מספר המוצרים:

המחיר הממוצע למוצר הוא 50 שקלים.

טעות נפוצה: לענות את המחיר האמצעי בטבלה, 25 שקלים (החציון), במקום הממוצע.

המחיר של הבונסאי הנוסף אחרי הנחה של 25%:

אלון קנה את חמשת המוצרים של הדס (250 שקלים) ועוד בונסאי ב-45 שקלים:

$49.17<50$, ולכן המחיר הממוצע למוצר שקנה אלון קטן יותר.

אפשר גם בלי חישוב מלא: המוצר שנוסף עלה 45 שקלים, פחות מן הממוצע 50, ולכן הוא מוריד את הממוצע.

טעות נפוצה: לשכוח את ההנחה ולהשוות את המחיר המלא של הבונסאי (60) לממוצע (50) - ולקבל ממוצע $\frac{310}{6}\approx51.67$, כלומר "גדול". מה שקובע הוא המחיר ששולם בפועל, 45 שקלים.

השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים - כאן, המוצר שנמכר במספר הגדול ביותר.

העמודה הגבוהה ביותר בדיאגרמה היא של הקקטוס: 27 מוצרים.

המוצר השכיח הוא קקטוס.

טעות נפוצה: לענות 27 - זה מספר הקקטוסים שנמכרו (השכיחות), ולא המוצר השכיח עצמו.

לכל מוצר: ההכנסה היא המחיר כפול מספר המוצרים שנמכרו (מהדיאגרמה):

עציץ קטן $12\cdot18=216$, שתיל תבלין $18\cdot22=396$, קקטוס $25\cdot27=675$, בונסאי $60\cdot8=480$, עץ לימון $135\cdot4=540$.

ההכנסה סך הכול ביום זה הייתה 2,307 שקלים.

טעות נפוצה: לכפול את מספר המוצרים שנמכרו ($18+22+27+8+4=79$) במחיר הממוצע מסעיף א (50) ולקבל 3,950 שקלים. מכל מוצר נמכרה כמות אחרת, ולכן צריך לכפול כל מחיר בכמות שלו.

משך השמירה: מ-11:40 עד 13:25.

מ-11:40 עד 12:40 עברה שעה, ומ-12:40 עד 13:25 עוד 45 דקות - סך הכול שעה ו-45 דקות.

שעה ו-45 דקות זה יותר משעה ופחות מ-3 שעות, ולכן בגרף זו המדרגה שגובהה 14.

נועה שילמה 14 שקלים.

טעות נפוצה: להתעלם מ-45 הדקות, לקרוא את הגרף בשעה אחת (שם הנקודה המלאה במדרגה של 6) ולענות 6 שקלים. כל חלק של שעה מעבר לשעה הראשונה כבר במדרגה הבאה.

בשירות ב': 10 שעות נמצאות במדרגה שמעל 6 שעות, שגובהה 40 שקלים.

בשירות א': 25 שקלים, בלי קשר למשך השמירה.

$25<40$, ולכן נועה בחרה בשירות א' ותשלם 25 שקלים.

טעות נפוצה: לענות 40 שקלים - זה המחיר בשירות ב', אבל נועה בחרה בשירות הזול יותר.

שירות ב' זול יותר כשהתשלום בו קטן מ-25 שקלים.

עד שעה (כולל) משלמים 6 שקלים, ומעל שעה ועד 3 שעות (כולל) - 14 שקלים. שני המחירים קטנים מ-25.

מעל 3 ועד 6 שעות משלמים 25 שקלים - בדיוק כמו בשירות א', כלומר לא זול יותר.

מעל 6 שעות משלמים 40 שקלים - יותר מ-25.

לכן נועה מתכוונת להשאיר את המזוודה 3 שעות לכל היותר.

טעות נפוצה: לכלול גם את המדרגה של 25 שקלים ולענות "לכל היותר 6 שעות". בין 3 ל-6 שעות המחיר בשני השירותים שווה, ושירות ב' אינו זול יותר.