מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 21 ברמת בגרות

מספר התלמידים שהשתתפו בסקר הוא סכום השורה "מספר התלמידים" בטבלה:

טעות נפוצה: לחבר את השורה העליונה, $5+6+7+8+9=35$, ולענות 35 תלמידים. השורה העליונה היא מספרי שעות, לא מספרי תלמידים.

זו טבלת שכיחויות: כל מספר שעות מופיע כמה פעמים, לפי מספר התלמידים שמתחתיו. לכן מכפילים כל מספר שעות במספר התלמידים, מחברים, ומחלקים במספר התלמידים (20, מסעיף א(1)).

סך כל שעות השינה של כל התלמידים:

הממוצע:

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של חמשת מספרי השעות בלי להתחשב במספר התלמידים, $\frac{5+6+7+8+9}{5}=7$. לכל מספר שעות יש מספר שונה של תלמידים, ולכן צריך ממוצע משוקלל.

הממוצע הוא 6.9 שעות (סעיף א(2)). מספרי השעות בטבלה שגדולים מ-6.9 הם 7, 8 ו-9.

מספר התלמידים שישנים 7, 8 או 9 שעות:

האחוז מתוך כל 20 התלמידים:

טעות נפוצה: לעגל את הממוצע ל-7 ולספור רק את מי שישנים יותר מ-7 שעות, $4+2=6$, ולקבל $\frac{6}{20}\cdot100\%=30\%$. מי שישנים 7 שעות ישנים יותר מ-6.9 שעות, ולכן גם הם מעל הממוצע.

אחרי שהאחות הוסיפה את עצמה, בסקר יש $20+1=21$ משתתפים.

סכום שעות השינה של כל 21 המשתתפים הוא הממוצע כפול מספר המשתתפים:

לפני ההוספה הסכום היה 138 (סעיף א(2)), ולכן מספר שעות השינה של האחות הוא ההפרש:

בדיקה: $\frac{138+9}{21}=\frac{147}{21}=7$.

טעות נפוצה: לשכוח שמספר המשתתפים גדל ל-21 ולחשב $7\cdot20-138=140-138=2$ שעות.

לקובייה 6 תוצאות ולשקית 5 תוצאות, ולכן יש $6\cdot5=30$ תוצאות אפשריות - זוגות (המספר בקובייה, המספר על הכדור) - וכולן בעלות אותה הסתברות.

המאורע "2 בקובייה ו-7 על הכדור" הוא תוצאה אחת בלבד: $(2,7)$.

טעות נפוצה: לחשוב שיש $6+5=11$ תוצאות אפשריות ולענות $\frac{1}{11}$. כל תוצאה של הקובייה יכולה להופיע עם כל אחד מ-5 הכדורים, ולכן מספר התוצאות הוא מכפלה, $6\cdot5=30$.

יש $6\cdot5=30$ תוצאות שוות הסתברות (סעיף א).

מספר יכול להופיע בשני הכלים רק אם הוא גם על הקובייה (1 עד 6) וגם על כדור (3 עד 7) - כלומר 3, 4, 5 או 6.

התוצאות המתאימות: $(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)$ - 4 תוצאות.

טעות נפוצה: לספור זוג שווה לכל אחד מ-5 הכדורים, כולל $(7,7)$, ולקבל $\frac{5}{30}=\frac{1}{6}$. על הקובייה אין 7, ולכן התוצאה $(7,7)$ אינה אפשרית.

עוברים על הכדורים. לכל כדור, המספר בקובייה צריך להיות 11 פחות המספר על הכדור, והוא חייב להיות בין 1 ל-6:

כדור 3 - צריך 8 בקובייה (לא אפשרי); כדור 4 - צריך 7 (לא אפשרי); כדור 5 - קובייה 6; כדור 6 - קובייה 5; כדור 7 - קובייה 4.

התוצאות (קובייה, כדור): $(6,5),(5,6),(4,7)$ - 3 תוצאות.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$(5,6)$ ו-$(6,5)$ הם "אותו זוג" ולספור רק 2 תוצאות, $\frac{2}{30}=\frac{1}{15}$. אלה שתי תוצאות שונות: פעם 5 בקובייה ו-6 על הכדור, ופעם 6 בקובייה ו-5 על הכדור.

המספר הקטן ביותר בקובייה הוא 1, והמספר הקטן ביותר על כדור הוא 3. לכן הסכום הקטן ביותר האפשרי הוא $1+3=4$.

אין אף תוצאה שסכומה 3 - זה מאורע שאינו יכול לקרות.

טעות נפוצה: לבנות מתוך הרגל טבלה של שתי קוביות רגילות, למצוא בה את $(1,2)$ ו-$(2,1)$ ולקבל $\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$. על הכדורים אין את המספרים 1 ו-2.

שטח ריבוע הוא $a^2$, ולכן הצלע היא השורש של השטח:

אורך צלע הרחבה הוא 14 מטרים.

טעות נפוצה: לחלק את השטח ב-4, כאילו נתון ההיקף, $196:4=49$ מטרים.

האלכסון הוא היתר במשולש ישר זווית ושווה שוקיים שניצביו הם שתי צלעות של הריבוע:

אורך האלכסון הוא כ-19.8 מטרים.

טעות נפוצה: לשכוח את השורש ולענות $392$ מטרים.

הגדלה ב-50% היא כפל ב-$1.5$:

אורך הצלע של הרחבה החדשה הוא 21 מטרים.

טעות נפוצה: לחשב רק 50% מן הצלע, $14\cdot0.5=7$, ולענות 7 מטרים - זו רק התוספת, והצלע החדשה אפילו קטנה מהישנה.

שטח הרחבה החדשה:

ההפרש בין השטחים: $441-196=245$ מ"ר.

משווים לשטח המקורי:

(או: השטח גדל פי $1.5\cdot1.5=2.25$, כלומר ב-125%.)

שטח הרחבה החדשה גדול ב-125% משטח הרחבה המקורית.

טעות נפוצה: להניח שהשטח גדל באותו אחוז כמו הצלע ולענות 50%.

"$AB$ קצרה ב-17 מ-$BC$" פירושו ש-$AB$ שווה ל-$BC$ פחות 17:

טעות נפוצה: לראות "ב-17" ולחבר, $AB=x+17$ - אבל אז $AB$ הייתה ארוכה מ-$BC$, ולא קצרה ממנה.

המציל הלך לאורך היקף המלבן. היקף מלבן: $2\cdot(AB+BC)$.

(הצלעות: $BC=24$ מטרים, $AB=24-17=7$ מטרים. בדיקה: $2\cdot(24+7)=62$.)

טעות נפוצה: לכתוב את ההיקף כסכום של שתי צלעות בלבד, $x-17+x=62$, ולקבל $x=39.5$.

$AC$ הוא אלכסון המלבן. במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, ולכן $AC$ הוא היתר, והניצבים הם $AB=7$ ו-$BC=24$.

משפט פיתגורס:

יואב שחה 25 מטרים.

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר, $\sqrt{24^2-7^2}=\sqrt{527}\approx22.96$. האלכסון הוא היתר, ולכן מחברים את ריבועי הניצבים.

בכל שבוע משלמים 5 נגנים 40 שקלים כל אחד, ולכן נכנסים לקופה $5\cdot40=200$ שקלים בשבוע - זה המקדם של $x$.

בתחילת התקופה ($x=0$) היה בקופה חוב של 700 שקלים, כלומר $-700$ - זה המספר החופשי.

זו תבנית (4).

טעות נפוצה: לבחור את תבנית (1), $y=40x-700$ - לשכוח שמשלמים 5 נגנים ולקחת רק את התשלום של נגן אחד.

מחפשים מתי $y=0$:

הכסף נאסף פעם בשבוע, ולכן אחרי 3 שבועות המאזן עדיין שלילי ($200\cdot3-700=-100$), ואחרי 4 שבועות הוא חיובי ($200\cdot4-700=100$).

החוב יכוסה כעבור 4 שבועות.

טעות נפוצה: לעגל את 3.5 כלפי מטה ולענות כעבור 3 שבועות - אבל אז בקופה עדיין חוב של 100 שקלים.

מחפשים מתי $y=3{,}250$:

אחרי 19 שבועות יש בקופה $200\cdot19-700=3{,}100$ שקלים - לא מספיק. אחרי 20 שבועות יש $200\cdot20-700=3{,}300$ שקלים - מספיק.

כעבור 20 שבועות.

טעות נפוצה: לשכוח את החוב ולפתור $200x=3{,}250$, ולקבל $x=16.25$, כלומר 17 שבועות. אבל קודם צריך לכסות חוב של 700 שקלים, ולכן צריך לאסוף $3{,}950$ שקלים.

מוצאים על הציר האנכי את 1,500, הולכים אופקית עד הישר, ויורדים לציר השבועות: $x=11$.

בדיקה בתבנית: $200\cdot11-700=1{,}500$.

טעות נפוצה: להתעלם מכך שהישר מתחיל מתחת לציר (חוב), ולחלק $\frac{1{,}500}{200}=7.5$ שבועות. בגרף רואים שב-$x=7.5$ יש בקופה רק 800 שקלים.

מוצאים את 9 על ציר השבועות, עולים עד הישר וקוראים על הציר האנכי: 1,100 שקלים.

בדיקה בתבנית: $200\cdot9-700=1{,}100$.

טעות נפוצה: לחשב רק את מה שנאסף, $200\cdot9=1{,}800$ שקלים, ולשכוח להחסיר את החוב - אבל בגרף רואים שב-$x=9$ הסכום קטן מ-1,800.

באפשרות א' משלמים את המנוי פעם אחת בחודש, ועוד 15 שקלים על כל שטיפה:

טעות נפוצה: לשכוח את דמי המנוי ולענות $5\cdot15=75$ שקלים.

אפשרות א': $120+9\cdot15=120+135=255$ שקלים.

אפשרות ב': $9\cdot35=315$ שקלים.

בעבור 9 שטיפות אפשרות א' זולה ב-60 שקלים.

טעות נפוצה: לשכוח את דמי המנוי באפשרות א', לחשב $9\cdot15=135$, ולענות שההפרש הוא $315-135=180$ שקלים.

דמי המנוי קבועים - 120 שקלים בחודש, ועל כל אחת מ-$x$ השטיפות משלמים 15 שקלים:

(בדיקה: עבור $x=5$ מתקבל 195, כמו בסעיף א.)

טעות נפוצה: לחבר את דמי המנוי למחיר השטיפה ולכתוב $135x$ - כאילו משלמים מנוי על כל שטיפה. עבור 5 שטיפות זה נותן 675 שקלים במקום 195.

המחיר באפשרות ב' הוא $35x$. משווים אותו למחיר באפשרות א' (סעיף ג):

מעבירים את $15x$ לאגף ימין:

בדיקה: אפשרות א' - $120+6\cdot15=210$; אפשרות ב' - $6\cdot35=210$.

טעות נפוצה: להעביר את $15x$ לאגף השני בלי להחליף סימן, $120=50x$, ולקבל $x=2.4$ - אבל עבור 2.4 שטיפות המחירים שונים.