מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 5 ברמת בגרות

3 יח"ל · שאלון 035172 · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 172 (3 יח"ל), ברמת בגרות: 6 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · סטטיסטיקה: ימי אימון בשבוע - ממוצע, שכיח ואחוזים

בסקר נשאלו 50 תלמידי כיתה י' כמה ימים בשבוע הם מתאמנים בחוג ספורט. כל תלמיד ענה 2, 3 או 4:
תלמידים ענו 2 ימים,
תלמידים ענו 3 ימים,
תלמידים ענו 4 ימים.

א.

מהו המספר הממוצע של ימי האימון בשבוע של כל התלמידים שנשאלו?

ב.

מהו המספר השכיח של ימי האימון בשבוע?

ג.

מהו אחוז התלמידים שנשאלו שמספר ימי האימון שלהם גבוה מן הממוצע?

ד.

לסקר נוספו 6 תלמידים, וכולם ענו 3 ימים.

האם המספר הממוצע של ימי האימון בשבוע של כל התלמידים שנשאלו גדל או קטן? נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

14750=2.94\frac{147}{50}=2.9450147​=2.94 ימים

מספר התלמידים: 14+25+11=5014+25+11=5014+25+11=50.
הממוצע הוא סכום כל ימי האימון חלקי מספר התלמידים. כופלים כל ערך בשכיחות שלו:
xˉ=2⋅14+3⋅25+4⋅1150=28+75+4450=14750=2.94\bar x=\frac{2\cdot14+3\cdot25+4\cdot11}{50}=\frac{28+75+44}{50}=\frac{147}{50}=2.94xˉ=502⋅14+3⋅25+4⋅11​=5028+75+44​=50147​=2.94
המספר הממוצע של ימי האימון הוא 2.94 ימים בשבוע.
טעות נפוצה: לחשב ממוצע של הערכים בלבד, 2+3+43=3\frac{2+3+4}{3}=332+3+4​=3, בלי להתחשב בכך שלכל ערך שכיחות אחרת.

סעיף ב

תשובה:

3 ימים

השכיח הוא הערך בעל השכיחות הגדולה ביותר. השכיחויות הן 14, 25, 11; הגדולה ביותר היא 25, של הערך 3.
המספר השכיח הוא 3 ימים.
טעות נפוצה: לענות 25 - זה מספר התלמידים שענו 3 (השכיחות), ולא הערך השכיח.

סעיף ג

תשובה:

3650⋅100=72%\frac{36}{50}\cdot100=72\%5036​⋅100=72%

הממוצע הוא 2.94. הערכים הגבוהים ממנו: 3 ו-4 (כי 3>2.943>2.943>2.94).
מספר התלמידים: 25+11=3625+11=3625+11=36 מתוך 50:
3650⋅100=72%\frac{36}{50}\cdot100=72\%5036​⋅100=72%
72% מהתלמידים מתאמנים יותר ימים מהממוצע.
טעות נפוצה: לספור רק את מי שענה 4 ("3 זה בערך הממוצע") ולקבל 1150⋅100=22%\frac{11}{50}\cdot100=22\%5011​⋅100=22%. הערך 3 גדול מ-2.94, ולכן גם הוא מעל הממוצע.

סעיף ד

תשובה:

גדל: הערך שנוסף (3) גדול מהממוצע הקודם (2.94). הממוצע החדש: 16556≈2.95\frac{165}{56}\approx2.9556165​≈2.95

כל התלמידים שנוספו ענו 3, וזה ערך גדול מהממוצע הקודם 2.94. כשמוסיפים נתונים שגדולים מהממוצע, הממוצע גדל.
אימות בחישוב: סכום ימי האימון החדש 147+6⋅3=165147+6\cdot3=165147+6⋅3=165, מספר התלמידים 50+6=5650+6=5650+6=56:
xˉnew=16556≈2.95>2.94\bar x_{\text{new}}=\frac{165}{56}\approx2.95>2.94xˉnew​=56165​≈2.95>2.94
הממוצע גדל.
טעות נפוצה: לחשוב ש-3 הוא "הערך האמצעי" ולכן הממוצע לא משתנה. הממוצע הוא 2.94 ולא 3, ו-3 גדול ממנו.

שאלה 2 · הסתברות: סביבון מספרים וכרטיסים, טבלת סכומים

דנה ועומר הכינו משחק לתלמידי כיתה ז' לתרגול חיבור מספרים מכוונים.
דנה הכינה סביבון המחולק ל-4 גזרות שוות.
על כל גזרה היא כתבה מספר, חיובי או שלילי: −3, −1, 2, 6-3,\ -1,\ 2,\ 6−3, −1, 2, 6 (ראו ציור).
26-3-1

א.

דנה סובבה את הסביבון, והוא נעצר באקראי על אחת הגזרות.
מהי ההסתברות שהסביבון נעצר על מספר חיובי?

ב.

עומר הכין קופסה ובה 4 כרטיסים.
על כל כרטיס הוא כתב מספר, חיובי או שלילי: −6, −2, −1, 4-6,\ -2,\ -1,\ 4−6, −2, −1, 4.

עומר הוציא באקראי כרטיס אחד מן הקופסה.
מהי ההסתברות שעל הכרטיס שהוציא עומר כתוב מספר שלילי?

ג.

במשחק כל תלמיד מסובב את הסביבון פעם אחת, ואז מוציא באקראי כרטיס אחד מן הקופסה, וכותב בטבלה את סכום שני המספרים שהתקבלו.
גיל, תלמיד כיתה ז', השתתף במשחק.
לפניכם טבלה המתארת חלק מהסכומים האפשריים במשחק זה.
מספרים על הכרטיסים / מספרים על הסביבון−3-3−3−1-1−1222666
−6-6−6−4-4−4
−2-2−2
−1-1−1−4-4−4
444101010

(1)

השלימו את הטבלה.

(2)

מהי ההסתברות שסכום המספרים שקיבל גיל היה 000?

(3)

מהי ההסתברות שסכום המספרים שקיבל גיל היה חיובי?

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

24=12\frac24=\frac1242​=21​

הגזרות שוות, ולכן לכל גזרה הסתברות 14\frac1441​.
המספרים החיוביים בסביבון הם 222 ו-666: 2 גזרות מתוך 4.
P=24=12P=\frac24=\frac12P=42​=21​
טעות נפוצה: לספור רק את 666 כחיובי (לשכוח את 222) ולענות 14\frac1441​.

סעיף ב

תשובה:

34\frac3443​

בקופסה 4 כרטיסים, וההוצאה אקראית.
המספרים השליליים הם −6, −2, −1-6,\ -2,\ -1−6, −2, −1: 3 כרטיסים מתוך 4.
P=34P=\frac34P=43​
טעות נפוצה: לספור את כל המספרים השליליים במשחק - 2 בסביבון ו-3 בקופסה - מתוך כל 8 המספרים, ולענות 58\frac5885​; אבל עומר מוציא כרטיס מהקופסה בלבד, ובה 4 כרטיסים.

סעיף ג(1)

תשובה:

שורה −6-6−6: −9, −7, −4, 0-9,\ -7,\ -4,\ 0−9, −7, −4, 0; שורה −2-2−2: −5, −3, 0, 4-5,\ -3,\ 0,\ 4−5, −3, 0, 4; שורה −1-1−1: −4, −2, 1, 5-4,\ -2,\ 1,\ 5−4, −2, 1, 5; שורה 444: 1, 3, 6, 101,\ 3,\ 6,\ 101, 3, 6, 10 (לפי סדר העמודות −3, −1, 2, 6-3,\ -1,\ 2,\ 6−3, −1, 2, 6)

בכל תא כותבים את סכום המספר שבשורה (הכרטיס) והמספר שבעמודה (הסביבון). למשל, כרטיס −2-2−2 וסביבון 666: −2+6=4-2+6=4−2+6=4.
מספרים על הכרטיסים / מספרים על הסביבון−3-3−3−1-1−1222666
−6-6−6−9-9−9−7-7−7−4-4−4000
−2-2−2−5-5−5−3-3−3000444
−1-1−1−4-4−4−2-2−2111555
444111333666101010
בטבלה 16 תאים - 16 תוצאות שוות הסתברות.
טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר כששני המספרים שליליים ולכתוב בתא של −6-6−6 ו-−3-3−3 את המספר −3-3−3 במקום −9-9−9.

מספרים על הכרטיסים / מספרים על הסביבון	$-3$	$-1$	$2$	$6$
$-6$	$-9$	$-7$	$-4$	$0$
$-2$	$-5$	$-3$	$0$	$4$
$-1$	$-4$	$-2$	$1$	$5$
$4$	$1$	$3$	$6$	$10$

סעיף ג(2)

תשובה:

216=18\frac{2}{16}=\frac18162​=81​

בטבלה 16 תאים שווי הסתברות. הסכום 000 מתקבל כשהמספרים נגדיים:
כרטיס −6-6−6 עם סביבון 666: −6+6=0-6+6=0−6+6=0
כרטיס −2-2−2 עם סביבון 222: −2+2=0-2+2=0−2+2=0
שני תאים מתוך 16:
P=216=18P=\frac{2}{16}=\frac18P=162​=81​
טעות נפוצה: למצוא רק את התא −6+6-6+6−6+6 (הזוג הבולט של מספרים נגדיים) ולפספס את −2+2-2+2−2+2, ולענות 116\frac{1}{16}161​.

סעיף ג(3)

תשובה:

716\frac{7}{16}167​

סופרים את התאים שבהם הסכום גדול מ-0:
שורה −6-6−6: אין. שורה −2-2−2: 444. שורה −1-1−1: 1, 51,\ 51, 5. שורה 444: 1, 3, 6, 101,\ 3,\ 6,\ 101, 3, 6, 10.
סך הכול 1+2+4=71+2+4=71+2+4=7 תאים מתוך 16:
P=716P=\frac{7}{16}P=167​
טעות נפוצה: לספור רק את השורה של הכרטיס החיובי 444 ולענות 416=14\frac{4}{16}=\frac14164​=41​ - גם −1+2=1-1+2=1−1+2=1 ו-−2+6=4-2+6=4−2+6=4 חיוביים.

שאלה 3 · מגרש משחקים: גדר חדשה - היקף ושטח

בחצר של גן ילדים יש מגרש משחקים בצורת מלבן.
אורך הצלע הקצרה של המגרש הוא 5 מטר ואורך הצלע הארוכה שלו הוא 8 מטר. המגרש מוקף בגדר.
הוחלט להקטין את הצלע הקצרה של המגרש ב-1 מטר, להגדיל את הצלע הארוכה שלו ב-1 מטר, ולהקיף את כל המגרש בגדר חדשה.

א.

האם האורך של הגדר המקורית גדול מאורך הגדר החדשה, קטן ממנו או שווה לו? נמקו את תשובתכם.

ב.

האם שטח המגרש החדש גדול מן השטח המקורי של המגרש, קטן ממנו או שווה לו? נמקו את תשובתכם.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

שווה: שני ההיקפים הם 26 מטר

אורך הגדר הוא היקף המלבן.
הגדר המקורית: 2⋅(5+8)=262\cdot(5+8)=262⋅(5+8)=26 מטר.
הממדים החדשים: 5−1=45-1=45−1=4 מטר ו-8+1=98+1=98+1=9 מטר.
הגדר החדשה: 2⋅(4+9)=262\cdot(4+9)=262⋅(4+9)=26 מטר.
ההיקפים שווים, כי סכום שתי הצלעות לא השתנה: 5+8=4+9=135+8=4+9=135+8=4+9=13.
טעות נפוצה: להגדיל את הצלע הארוכה ולשכוח להקטין את הקצרה, לחשב 2⋅(5+9)=282\cdot(5+9)=282⋅(5+9)=28 ולענות שהגדר החדשה ארוכה יותר.

סעיף ב

תשובה:

קטן: 36<4036<4036<40 מ"ר

השטח המקורי: 5⋅8=405\cdot8=405⋅8=40 מ"ר.
השטח החדש: 4⋅9=364\cdot9=364⋅9=36 מ"ר.
36<4036<4036<40, ולכן השטח החדש קטן יותר, אף שההיקף לא השתנה. המלבן החדש "מוארך" יותר (רחוק יותר מריבוע), ולכן שטחו קטן יותר.
טעות נפוצה: להסיק מכך שההיקפים שווים שגם השטחים שווים, ולענות "שווה" בלי לחשב.

שאלה 4 · רחבה עם בריכת נוי: שטח עיגול, טבעת, עלות והיקף

בגן ציבורי יש רחבה בצורת עיגול שקוטרה 16 מטרים (ראו סרטוט).
במרכז הרחבה בנו בריכת נוי בצורת עיגול (השטח האפור),
ובחלק שנשאר מסביב לבריכה ריצפו באבנים.
שטח הבריכה הוא 25π25\pi25π מ"ר (מטרים רבועים).
OPQ

א.

(1)

מצאו את השטח של הרחבה כולה.

(2)

מצאו את השטח שרוצף באבנים.

ב.

המחיר של ציפוי 1 מ"ר בקרקעית הבריכה הוא 150 שקלים,
המחיר של ריצוף 1 מ"ר באבנים הוא 110 שקלים.

מצאו את המחיר סך הכול של ציפוי הבריכה ושל הריצוף ברחבה זו.

ג.

מסביב לבריכה בנו מעקה. מצאו את אורך המעקה.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א(1)

תשובה:

64π≈201.0664\pi\approx201.0664π≈201.06 מ"ר

הקוטר הוא 16 מטרים, ולכן הרדיוס הוא 162=8\frac{16}{2}=8216​=8 מטרים.
S=πr2=π⋅82=64π≈201.06S=\pi r^2=\pi\cdot8^2=64\pi\approx201.06S=πr2=π⋅82=64π≈201.06
טעות נפוצה: להציב את הקוטר במקום הרדיוס, π⋅162=256π≈804.25\pi\cdot16^2=256\pi\approx804.25π⋅162=256π≈804.25 - פי 4 מהשטח האמיתי.

סעיף א(2)

תשובה:

39π≈122.5239\pi\approx122.5239π≈122.52 מ"ר

הריצוף הוא כל הרחבה חוץ מהבריכה:
64π−25π=39π≈122.5264\pi-25\pi=39\pi\approx122.5264π−25π=39π≈122.52
טעות נפוצה: להחסיר רדיוסים, 8−5=38-5=38−5=3, ולחשב עיגול ברדיוס 3: 9π≈28.279\pi\approx28.279π≈28.27. החלק המרוצף הוא טבעת, ושטחה הוא הפרש השטחים.

סעיף ב

תשובה:

8040π≈25,2588040\pi\approx25{,}2588040π≈25,258 שקלים

בריכה: 25π⋅150=3750π≈11,780.9725\pi\cdot150=3750\pi\approx11{,}780.9725π⋅150=3750π≈11,780.97 שקלים.
ריצוף: 39π⋅110=4290π≈13,477.4339\pi\cdot110=4290\pi\approx13{,}477.4339π⋅110=4290π≈13,477.43 שקלים.
3750π+4290π=8040π≈25,258.403750\pi+4290\pi=8040\pi\approx25{,}258.403750π+4290π=8040π≈25,258.40
המחיר הכולל הוא כ-25,258 שקלים.
טעות נפוצה: להחליף בין המחירים: 25π⋅110+39π⋅150=8600π≈27,017.7025\pi\cdot110+39\pi\cdot150=8600\pi\approx27{,}017.7025π⋅110+39π⋅150=8600π≈27,017.70 שקלים.

סעיף ג

תשובה:

10π≈31.4210\pi\approx31.4210π≈31.42 מטרים

אורך המעקה הוא היקף הבריכה. את רדיוס הבריכה מוצאים מהשטח שלה:
πr2=25π⇒r2=25⇒r=5\pi r^2=25\pi\quad\Rightarrow\quad r^2=25\quad\Rightarrow\quad r=5πr2=25π⇒r2=25⇒r=5
P=2π⋅5=10π≈31.42P=2\pi\cdot5=10\pi\approx31.42P=2π⋅5=10π≈31.42
טעות נפוצה: לקחת את 25 כרדיוס ולקבל 2π⋅25=50π≈157.082\pi\cdot25=50\pi\approx157.082π⋅25=50π≈157.08 מטרים.

שאלה 5 · פיקטוגרמה: ספרים שנמכרו ביריד לפי מחיר - טבלה, סך הכול, הכנסה ואחוז

ביריד ספרים נמכרו ספרים במחירים שונים.
בפיקטוגרמה שלפניכם מוצגת התפלגות הספרים שנמכרו ביריד, לפי מחיר הספר. כל סמל מייצג מספר ספרים לפי המקרא.
מחיר הספר (בשקלים)מספר הספרים שנמכרו (לפי המקרא)
30♫♫♫♫♫♫ ♪
40♫♫♫♫
50♫♫♫ ♪
60♫♫
מקרא: ♫ = 50 ספרים; ♪ = 25 ספרים.

מחיר הספר (בשקלים)	מספר הספרים שנמכרו (לפי המקרא)
30	♫♫♫♫♫♫ ♪
40	♫♫♫♫
50	♫♫♫ ♪
60	♫♫

א.

העתיקו את הטבלה למחברת הבחינה והשלימו אותה על פי הנתונים מן הפיקטוגרמה.
מחיר הספר בשקלים30405060
מספר הספרים שנמכרו

מחיר הספר בשקלים	30	40	50	60
מספר הספרים שנמכרו

ב.

כמה ספרים סך הכול נמכרו ביריד?

ג.

מהו הסכום הכולל שבו נמכרו כל הספרים ביריד?

ד.

מבין כל קוני הספרים ביריד, מהו האחוז של האנשים שקנו את הספר היקר ביותר?

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

30: 325; 40: 200; 50: 175; 60: 100

כל ♫ הוא 50 ספרים וכל ♪ הוא 25 ספרים:
30 שקלים: 6⋅50+1⋅25=3256\cdot50+1\cdot25=3256⋅50+1⋅25=325.
40 שקלים: 4⋅50=2004\cdot50=2004⋅50=200.
50 שקלים: 3⋅50+1⋅25=1753\cdot50+1\cdot25=1753⋅50+1⋅25=175.
60 שקלים: 2⋅50=1002\cdot50=1002⋅50=100.
מחיר הספר בשקלים30405060
מספר הספרים שנמכרו325200175100
טעות נפוצה: לספור את ♪ כ-50 ספרים כמו ♫, ולקבל 7⋅50=3507\cdot50=3507⋅50=350 ספרים במחיר 30 שקלים.

מחיר הספר בשקלים	30	40	50	60
מספר הספרים שנמכרו	325	200	175	100

סעיף ב

תשובה:

800 ספרים

325+200+175+100=800325+200+175+100=800325+200+175+100=800
טעות נפוצה: לספור 17 סמלים ולכפול את כולם ב-50, 17⋅50=85017\cdot50=85017⋅50=850.

סעיף ג

תשובה:

32,500 שקלים

325⋅30+200⋅40+175⋅50+100⋅60=9,750+8,000+8,750+6,000=32,500325\cdot30+200\cdot40+175\cdot50+100\cdot60=9{,}750+8{,}000+8{,}750+6{,}000=32{,}500325⋅30+200⋅40+175⋅50+100⋅60=9,750+8,000+8,750+6,000=32,500
טעות נפוצה: לכפול את מספר הספרים הכולל בממוצע המחירים, 800⋅45=36,000800\cdot45=36{,}000800⋅45=36,000.

סעיף ד

תשובה:

12.5%12.5\%12.5%

הספר היקר ביותר עולה 60 שקלים, ונמכרו 100 ספרים כאלה מתוך 800:
100800⋅100=12.5%\frac{100}{800}\cdot100=12.5\%800100​⋅100=12.5%
טעות נפוצה: לקחת את המחיר שנמכרו ממנו הכי הרבה ספרים (30 שקלים), 325800⋅100=40.625%\frac{325}{800}\cdot100=40.625\%800325​⋅100=40.625%.

שאלה 6 · המודל הליניארי: מנוי למכון כושר עם מכסת אימונים כלולה

מכון כושר מציע מנוי בעלות 150 שקלים לחודש, הכולל עד 12 אימונים בחודש.
מתאמן שחורג ממספר האימונים הכלולים במנוי ישלם 15 שקלים על כל אימון נוסף.

א.

מצאו את תוספת התשלום שישלם מתאמן שחרג ב-4 אימונים בחודש מסוים.

ב.

רוני ודנה מנויים למכון הכושר.
בחודש מסוים התאמן רוני 15 אימונים.

מצאו את התשלום ששילם רוני סך הכול בחודש זה.

ג.

בחודש מסוים שילמה דנה 240 שקלים סך הכול.

מצאו בכמה אימונים נוספים השתתפה דנה בחודש זה.

ד.

נסמן ב-xxx את מספר האימונים הנוספים שבהם השתתפה דנה בחודש מסוים.

קבעו איזה מן הביטויים (1)-(4) שלפניכם מתאר את המחיר ששילמה דנה סך הכול בחודש זה.
(1) 150+15x150+15x150+15x
(2) 150x+15150x+15150x+15
(3) 15x15x15x
(4) 165x165x165x

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

60 שקלים

4⋅15=604\cdot15=604⋅15=60
טעות נפוצה: להוסיף את 150 השקלים של המנוי ולענות 210 שקלים - מבוקשת רק התוספת.

סעיף ב

תשובה:

195 שקלים

12 אימונים כלולים במנוי. רוני חרג ב-15−12=315-12=315−12=3 אימונים.
תוספת: 3⋅15=453\cdot15=453⋅15=45 שקלים.
150+45=195150+45=195150+45=195
טעות נפוצה: לחייב את כל 15 האימונים, 150+15⋅15=375150+15\cdot15=375150+15⋅15=375 שקלים.

סעיף ג

תשובה:

6 אימונים נוספים

נסמן ב-xxx את מספר האימונים הנוספים:
150+15x=240⇒15x=90⇒x=6150+15x=240\quad\Rightarrow\quad15x=90\quad\Rightarrow\quad x=6150+15x=240⇒15x=90⇒x=6
טעות נפוצה: לחלק את כל התשלום ב-15, 24015=16\frac{240}{15}=1615240​=16, בלי להפחית את 150 השקלים של המנוי.

סעיף ד

תשובה:

(1) 150+15x150+15x150+15x

תשלום קבוע 150 שקלים ועוד 15 שקלים כפול מספר האימונים הנוספים:
150+15x150+15x150+15x
זה ביטוי (1).
טעות נפוצה: לבחור ב-(3), 15x15x15x - לשכוח את התשלום הקבוע של המנוי.

שאלה 1 · סטטיסטיקה: ימי אימון בשבוע - ממוצע, שכיח ואחוזים

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 2 · הסתברות: סביבון מספרים וכרטיסים, טבלת סכומים

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג(1)

סעיף ג(2)

סעיף ג(3)

שאלה 3 · מגרש משחקים: גדר חדשה - היקף ושטח

סעיף א

סעיף ב

שאלה 4 · רחבה עם בריכת נוי: שטח עיגול, טבעת, עלות והיקף

סעיף א(1)

סעיף א(2)

סעיף ב

סעיף ג

שאלה 5 · פיקטוגרמה: ספרים שנמכרו ביריד לפי מחיר - טבלה, סך הכול, הכנסה ואחוז

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 6 · המודל הליניארי: מנוי למכון כושר עם מכסת אימונים כלולה

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד