דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 7 ברמת בגרות

3 יח"ל · שאלון 035172 · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 172 (3 יח"ל), ברמת בגרות: 6 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · בעלי מניות: דיאגרמת עיגול ואישור החלטה

בחברה מסוימת יש שישה בעלי מניות: א, ב, ג, ד, ה, ו.

בדיאגרמת העיגול שלפניכם מוצג איזה אחוז מן המניות של החברה יש לכל אחד מהם.

9%28%14%12%24%?‫א‬‫ב‬‫ג‬‫ד‬‫ה‬‫ו‬
א.

איזה אחוז מן המניות של החברה יש לבעל המניות ו?

החלטה בחברה מאושרת אם תומכים בה בעלי מניות שיש להם יחד לפחות 51% מן המניות.

ב.

האם בעלי המניות א, ד ו-ה, בלבד יכולים לאשר החלטה ביחד? נמקו את תשובתכם.

בעלי המניות ג ו-ה תומכים בהחלטה מסוימת.

ג.

מצאו בעל מניות, שאם הוא יצטרף לבעלי המניות ג ו-ה ההחלטה תאושר (כתבו את כל האפשרויות).

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

13%

סכום כל הגזרות הוא 100%, ולכן האחוז של ו משלים את חמש הגזרות האחרות ל-100%:

100%−(9%+28%+14%+12%+24%)=100%−87%=13%100\%-(9\%+28\%+14\%+12\%+24\%)=100\%-87\%=13\%

טעות נפוצה: להשמיט את הגזרה של ה (24%), לחשב 100%−63%100\%-63\% ולענות 37%.

סעיף ב

תשובה:

לא: יחד יש להם 9%+12%+24%=45%9\%+12\%+24\%=45\%, פחות מ-51%

מחברים את האחוזים של שלושת בעלי המניות:

9%+12%+24%=45%9\%+12\%+24\%=45\%

45%<51%45\%<51\%, ולכן שלושתם בלבד אינם יכולים לאשר החלטה.

טעות נפוצה: לקרוא את "ו-ה" כאילו גם בעל המניות ו משתתף, לחבר 9+12+13+24=589+12+13+24=58 ולענות שכן. האות ו כאן היא ו' החיבור, ולא בעל המניות ו.

סעיף ג

תשובה:

ב (יחד 66%) או ו (יחד 51%)

ל-ג ול-ה יש יחד 14%+24%=38%14\%+24\%=38\%. כדי להגיע ל-51% חסרים לפחות 51%−38%=13%51\%-38\%=13\%.

בודקים כל אחד מארבעת בעלי המניות האחרים:

א: 38+9=47<5138+9=47<51 - לא מספיק.

ב: 38+28=66≥5138+28=66\ge51 - מתאים.

ד: 38+12=50<5138+12=50<51 - לא מספיק (50% בדיוק אינם 51%).

ו: 38+13=51≥5138+13=51\ge51 - מתאים (51% בדיוק הם "לפחות 51%").

האפשרויות: ב או ו.

טעות נפוצה: לחשוב ש-"לפחות 51%" פירושו יותר מ-51%, לפסול את ו ולענות ב בלבד.

שאלה 2 · קוביות במשחק קופסה: סכום, משלים ומאורע דו-שלבי

במשחק קופסה מטילים פעם אחת שתי קוביות הוגנות: קובייה אדומה וקובייה כחולה.

על כל פאה של כל קובייה רשום אחד מן המספרים: 1,2,3,4,5,61, 2, 3, 4, 5, 6.

א.

חשבו את ההסתברות שסכום המספרים שיתקבלו בשתי הקוביות יהיה 99.

ב.

חשבו את ההסתברות שסכום המספרים שיתקבלו בשתי הקוביות יהיה שונה מ-99.

ג.

חשבו את ההסתברות שבאחת מן הקוביות יתקבל המספר 55, ובקובייה האחרת יתקבל מספר זוגי.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

436=19\frac{4}{36}=\frac{1}{9}

יש 6⋅6=366\cdot6=36 תוצאות שוות הסתברות (מספר בקובייה האדומה, מספר בקובייה הכחולה).

הזוגות שסכומם 9:

(3,6), (4,5), (5,4), (6,3)(3,6),\ (4,5),\ (5,4),\ (6,3)
P(סכום 9)=436=19P(\text{סכום }9)=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}

טעות נפוצה: לספור כל צירוף פעם אחת בלבד, {3,6}\{3,6\} ו-{4,5}\{4,5\}, ולקבל 236=118\frac{2}{36}=\frac{1}{18}. "3 באדומה ו-6 בכחולה" ו"6 באדומה ו-3 בכחולה" הן שתי תוצאות שונות.

סעיף ב

תשובה:

3236=89\frac{32}{36}=\frac{8}{9}

"הסכום שונה מ-9" הוא המאורע המשלים של "הסכום הוא 9":

P(סכום≠9)=1−19=89P(\text{סכום}\ne9)=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}

(בספירה: 36−4=3236-4=32 תוצאות.)

טעות נפוצה: לחשוב ש-11 הסכומים האפשריים (2 עד 12) שווי הסתברות ולענות 1011\frac{10}{11}.

סעיף ג

תשובה:

636=16\frac{6}{36}=\frac{1}{6}

מספר זוגי בקובייה: 2, 4 או 6.

ה-5 יכול להתקבל באדומה או בכחולה:

5 באדומה: (5,2), (5,4), (5,6)(5,2),\ (5,4),\ (5,6);

5 בכחולה: (2,5), (4,5), (6,5)(2,5),\ (4,5),\ (6,5).

P=636=16P=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}

טעות נפוצה: לספור רק את המקרים שבהם ה-5 בקובייה האדומה ולקבל 336=112\frac{3}{36}=\frac{1}{12}.

שאלה 3 · גאומטריה: מגרש מלבני - היקף, אלכסון וזמן ריצה

בסרטוט שלפניכם מתואר מגרש דשא בצורת מלבן ABCDABCD.

ABCD

נתון כי היקף המגרש הוא 46 מטרים.

א.

מצאו שתי דוגמאות לאורך ורוחב של המגרש.

נתון: אורך הצלע BCBC הוא 8 מטרים.

ב.

מצאו את אורך הצלע ABAB.

דני רץ בקו ישר מן הנקודה AA אל הנקודה CC.

ג.

מצאו את המרחק שרץ דני (ACAC).

דני רץ במהירות של 2.5 מטרים לשנייה.

ד.

בכמה שניות רץ דני מן הנקודה AA אל הנקודה CC?

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

כל זוג שסכומו 23 מטרים, למשל 13 ו-10, או 20 ו-3

היקף מלבן הוא פעמיים סכום האורך והרוחב, ולכן סכום האורך והרוחב הוא חצי ההיקף:

462=23\frac{46}{2}=23

דוגמאות: אורך 13 מ' ורוחב 10 מ'; אורך 20 מ' ורוחב 3 מ'. (בדיקה: 2⋅(13+10)=462\cdot(13+10)=46.)

טעות נפוצה: לבחור זוג שסכומו 46, למשל 30 ו-16, ולקבל היקף 2⋅46=922\cdot46=92.

סעיף ב

תשובה:

15 מטרים

אורך + רוחב = 23, ו-BC=8BC=8:

AB=23−8=15AB=23-8=15

אורך הצלע ABAB הוא 15 מטרים.

טעות נפוצה: 46−8=3846-8=38 - לחסר צלע אחת מכל ההיקף במקום מחצי ההיקף.

סעיף ג

תשובה:

17 מטרים

ACAC הוא אלכסון המלבן - היתר במשולש ישר הזווית ABCABC (הזווית BB ישרה), שניצביו AB=15AB=15 ו-BC=8BC=8.

AC2=152+82=225+64=289⇒AC=289=17AC^2=15^2+8^2=225+64=289\quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt{289}=17

דני רץ 17 מטרים.

טעות נפוצה: 225−64=161≈12.69\sqrt{225-64}=\sqrt{161}\approx12.69 - לחסר במקום לחבר. האלכסון הוא היתר, הארוך מכל צלע, ולכן חייב לצאת יותר מ-15.

סעיף ד

תשובה:

172.5=6.8\frac{17}{2.5}=6.8 שניות

זמן = דרך חלקי מהירות:

t=172.5=6.8t=\frac{17}{2.5}=6.8

דני רץ 6.8 שניות.

טעות נפוצה: לכפול, 17⋅2.5=42.517\cdot2.5=42.5 שניות - לא הגיוני לרוץ 17 מטרים ב-42 שניות במהירות 2.5 מ'/שנייה.

שאלה 4 · גלגל מים בטחנה: רדיוס מגבהים, היקף וזמן סיבובים

בטחנת קמח עתיקה מסתובב גלגל מים, וזרם המים בתעלה מניע אותו.

על היקף הגלגל מחוברות כפות, והמים דוחפים אותן.

הנקודה הגבוהה ביותר של הגלגל נמצאת בגובה 8.68.6 מטר מעל קרקעית התעלה, והנקודה הנמוכה ביותר של הגלגל נמצאת בגובה 0.60.6 מטר מעל קרקעית התעלה (ראו ציור).

פני המים
8.6 מטר0.6 מטר
א.

חשבו את רדיוס הגלגל.

ב.

מהו אורך המסלול של כף אחת כשהגלגל מסתובב סיבוב שלם?

ביום מסוים הסתובב הגלגל ברצף 6 סיבובים שלמים.

כל כף נעה במהירות קבועה של 0.80.8 מטר לשנייה.

ג.

חשבו כמה שניות נמשכו 6 הסיבובים.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

4 מטר

ההפרש בין הנקודה הגבוהה ביותר של הגלגל לנקודה הנמוכה ביותר שלו הוא קוטר הגלגל:

8.6−0.6=88.6-0.6=8

הרדיוס הוא חצי הקוטר:

r=82=4r=\frac{8}{2}=4

רדיוס הגלגל: 4 מטר.

טעות נפוצה: לחלק ב-2 את גובה הנקודה הגבוהה בלי לחסר את 0.60.6 המטר שמתחת לגלגל, ולקבל 4.34.3 מטר.

סעיף ב

תשובה:

8π≈25.138\pi\approx25.13 מטר

הכף נעה על היקף הגלגל, ולכן אורך המסלול שלה בסיבוב שלם הוא היקף המעגל:

P=2πr=2π⋅4=8π≈25.13P=2\pi r=2\pi\cdot4=8\pi\approx25.13

אורך המסלול: כ-25.125.1 מטר.

טעות נפוצה: להציב את הקוטר במקום הרדיוס בנוסחה 2πr2\pi r, 2π⋅8=16π≈50.272\pi\cdot8=16\pi\approx50.27 מטר.

סעיף ג

תשובה:

60π≈188.560\pi\approx188.5 שניות

בשישה סיבובים שלמים כל כף עוברת שישה היקפים:

6⋅8π=48π≈150.86\cdot8\pi=48\pi\approx150.8

זמן = דרך חלקי מהירות:

t=48π0.8=60π≈188.5t=\frac{48\pi}{0.8}=60\pi\approx188.5

שישת הסיבובים נמשכו כ-188.5188.5 שניות.

טעות נפוצה: לחלק במהירות את אורך המסלול של סיבוב אחד בלבד, 8π0.8=10π≈31.42\frac{8\pi}{0.8}=10\pi\approx31.42 שניות.

שאלה 5 · פיקטוגרמה: הוצאות והכנסות של חנות פרחים

לפניכם דיאגרמה (פיקטוגרמה) המתארת את ההוצאות של חנות פרחים בחודש מסוים.

מקרא: ● - מטבע = 200 שקלים; ■ - שטר = 500 שקלים; ★ - שק כסף = 2,000 שקלים.

שכירותמשכורותסחורהחשמלפרסום
●
●
■●
★●●●
★★■●■
★★★■■
א.

מצאו את סך כל ההוצאות של החנות בחודש זה.

ההכנסות של החנות בחודש זה היו סך התשלומים של 200 לקוחות.

רבע מן הלקוחות האלה שילמו 120 שקלים כל אחד, והשאר שילמו 60 שקלים כל אחד.

ב.

האם בחודש זה היו ההכנסות של החנות גבוהות מסך כל ההוצאות שלה? נמקו את תשובתכם.

ג.

לפניכם טענה: ההוצאות הגדולות ביותר של החנות בחודש זה הן בעבור חשמל, מכיוון שעמודת החשמל בדיאגרמה היא הגבוהה ביותר. האם טענה זו נכונה? נמקו את תשובתכם.

ד.

מה היה אחוז ההוצאות על פרסום מכלל ההוצאות בחודש זה?

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

15,900 שקלים

מתרגמים כל עמודה לשקלים (● = 200, ■ = 500, ★ = 2,000):

שכירות: 2⋅2000=40002\cdot2000=4000

משכורות: 3⋅2000+500=65003\cdot2000+500=6500

סחורה: 2000+500+200=27002000+500+200=2700

חשמל: 500+5⋅200=1500500+5\cdot200=1500

פרסום: 2⋅500+200=12002\cdot500+200=1200

4000+6500+2700+1500+1200=15,9004000+6500+2700+1500+1200=15{,}900

טעות נפוצה: לספור את הסמלים (18) ולהכפיל בערך של סמל אחד, 18⋅500=9,00018\cdot500=9{,}000. לכל סמל ערך משלו לפי המקרא.

סעיף ב

תשובה:

לא; ההכנסות היו 15,000 שקלים, פחות מ-15,900 שקלים

רבע מ-200 הלקוחות הם 2004=50\frac{200}{4}=50 לקוחות, והשאר 200−50=150200-50=150 לקוחות.

50⋅120+150⋅60=6000+9000=15,00050\cdot120+150\cdot60=6000+9000=15{,}000

15,000<15,90015{,}000<15{,}900, ולכן ההכנסות לא היו גבוהות מההוצאות.

טעות נפוצה: לחשב מחיר ממוצע 120+602=90\frac{120+60}{2}=90 ולהכפיל ב-200: 18,000>15,90018{,}000>15{,}900, ולענות שכן. הקבוצות אינן שוות בגודלן (50 מול 150), ולכן אי אפשר לקחת ממוצע פשוט של שני המחירים.

סעיף ג

תשובה:

לא; ההוצאות על חשמל הן 1,500 שקלים, וההוצאות הגדולות ביותר הן על משכורות - 6,500 שקלים

בעמודת החשמל יש הכי הרבה סמלים (6), אבל רובם מטבעות של 200 שקלים: ההוצאות על חשמל הן רק 1,500 שקלים.

ההוצאות הגדולות ביותר הן על משכורות - 6,500 שקלים (סעיף א). לכן הטענה אינה נכונה.

טעות נפוצה: להסכים עם הטענה לפי גובה העמודה. כשלסמלים ערכים שונים, גובה העמודה אינו מראה את הסכום.

סעיף ד

תשובה:

כ-7.55%

120015,900⋅100≈7.55\frac{1200}{15{,}900}\cdot100\approx7.55

ההוצאות על פרסום היו כ-7.55% מכלל ההוצאות.

טעות נפוצה: לחשב לפי מספר הסמלים, 318⋅100≈16.67%\frac{3}{18}\cdot100\approx16.67\%. הסמלים אינם שווי ערך.

שאלה 6 · הוזלה והתייקרות: מחיר אופניים

מחירם של אופניים הוא 1,500 שקלים. במבצע הוזלו האופניים ב-12%.

א.

חשבו את מחיר האופניים במבצע.

אחרי שהמבצע הסתיים, עלה מחירם של האופניים ל-1,452 שקלים (לעומת המחיר במבצע).

ב.

בכמה אחוזים עלה מחיר האופניים?

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

1,320 שקלים

הוזלה ב-12% פירושה שהמחיר במבצע הוא 100%−12%=88%100\%-12\%=88\% מהמחיר הקודם:

1500⋅0.88=13201500\cdot0.88=1320

טעות נפוצה: לחשב רק את ההנחה, 1500⋅0.12=1801500\cdot0.12=180, ולענות 180 שקלים - זה הסכום שהוזל, לא המחיר במבצע.

סעיף ב

תשובה:

ב-10%

המחיר עלה מ-1,320 שקלים (המחיר במבצע) ל-1,452 שקלים. העלייה בשקלים: 1452−1320=1321452-1320=132.

אחוז השינוי ביחס למחיר שלפני העלייה, 1,320:

1321320⋅100%=10%\frac{132}{1320}\cdot100\%=10\%

בדיקה: 1320⋅1.1=14521320\cdot1.1=1452.

טעות נפוצה: לחלק את העלייה במחיר המקורי, 1321500=8.8%\frac{132}{1500}=8.8\% - אבל לפני העלייה האופניים עלו 1,320 שקלים.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.