מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 1 מעל רמת בגרות

נסמן ב-$n$ את מספר המבחנים לפני המבחן הנוסף. סכום הציונים בהם הוא $68n$.

אחרי המבחן הנוסף יש $n+1$ מבחנים, והממוצע 71:

רועי כתב 8 מבחנים לפני המבחן הנוסף. (בדיקה: $\frac{68\cdot8+95}{9}=\frac{639}{9}=71$.)

טעות נפוצה: לחלק את "העודף" של הציון החדש רק במבחנים הקודמים: $95-68=27$ נקודות מעל הממוצע הישן, ו-$\frac{27}{n}=3$ נותן $n=9$. אבל העודף מתחלק בין כל $n+1$ המבחנים, כלומר $\frac{27}{n+1}=3$, ולכן $n=8$.

לפי סעיף א, אחרי המבחן הנוסף יש לרועי $8+1=9$ ציונים.

סכום תשעת הציונים לפני הערעור: $71\cdot9=639$.

סכום תשעת הציונים אחרי הערעור: $73\cdot9=657$.

הציון הועלה ב-18 נקודות.

טעות נפוצה: לענות $73-71=2$ נקודות. זה השינוי בממוצע; השינוי בציון עצמו גדול פי 9.

אחרי המבחן הבא יהיו לרועי $9+1=10$ ציונים.

כדי שהממוצע של 10 ציונים יהיה 74, הסכום צריך להיות $74\cdot10=740$.

הסכום הנוכחי (אחרי הערעור) הוא 657:

ציון גבוה יותר נותן ממוצע גבוה יותר, ולכן צריך ציון של 83 לפחות.

טעות נפוצה: לבלבל בין $n$ ובין מספר הציונים הנוכחי - לחשוב שיש לרועי עכשיו 8 ציונים בממוצע 73 (סכום 584) ושהמבחן הבא הוא התשיעי: $74\cdot9-584=666-584=82$.

על הציר האופקי מסמנים את הערכים - מספר האימונים בשבוע (0, 1, 2, 3, 4), ועל הציר האנכי את השכיחויות - מספר התלמידים.

מעל כל ערך מסרטטים מקל שגובהו השכיחות: מעל 0 מקל בגובה 5, מעל 1 בגובה 7, מעל 2 בגובה 8, מעל 3 בגובה 14 ומעל 4 בגובה 6.

טעות נפוצה: להשמיט את המקל של הערך 0 "כי אפס זה כלום". 5 תלמידים לא מתאמנים כלל, והם חלק מההתפלגות - גם הערך 0 מקבל מקל.

מספר התלמידים הוא סכום השכיחויות:

מספר האימונים הכולל הוא סכום המכפלות ערך × שכיחות:

טעות נפוצה: להשמיט את 5 התלמידים עם 0 אימונים גם מהמכנה, $\frac{89}{35}\approx2.54$. הם לא תורמים לסכום, אבל הם חלק ממספר התלמידים.

יש 40 תלמידים - מספר זוגי, ולכן החציון הוא ממוצע שני הנתונים האמצעיים, במקומות ה-20 וה-21 בסידור מהקטן לגדול.

סופרים לפי השכיחויות: 0 אימונים - מקומות 1 עד 5; אימון אחד - מקומות 6 עד 12; 2 אימונים - מקומות 13 עד 20; 3 אימונים - מקומות 21 עד 34.

במקום ה-20 הערך הוא 2, ובמקום ה-21 הערך הוא 3:

טעות נפוצה: לקחת רק את הנתון במקום ה-20 ולענות 2. במספר זוגי של נתונים יש שני נתונים אמצעיים, וכאן הם שונים.

השכיח הוא הערך בעל השכיחות הגדולה ביותר. השכיחות הגדולה ביותר היא 14 (14 תלמידים), והיא של הערך 3.

לכן השכיח הוא 3 אימונים בשבוע.

טעות נפוצה: לענות 14 - מספר התלמידים, ולא מספר האימונים השכיח.

"פעם אחת" ו-"פעמיים" הם מאורעות זרים, ולכן מחברים את השכיחויות: $7+8=15$ תלמידים מתוך 40.

טעות נפוצה: להשמיט מהמכנה את 5 התלמידים שלא מתאמנים כלל, $\frac{15}{35}=\frac37$. הם לא מתאימים למאורע, אבל הם חלק מכל התלמידים שמהם בוחרים.

השכיח הוא 3 (סעיף ד). "קטן מהשכיח" פירושו 0, 1 או 2 אימונים: $5+7+8=20$ תלמידים מתוך 40.

טעות נפוצה: לכלול גם את התלמידים עם 3 אימונים ("עד השכיח") ולחשב $\frac{5+7+8+14}{40}=\frac{34}{40}=\frac{17}{20}$. "קטן מ-3" לא כולל את 3.

חצי ההיקף הוא סכום האורך והרוחב: $\frac{62}{2}=31$.

נסמן $BC=x$. אז $AB=31-x$.

שטח מלבן הוא אורך כפול רוחב:

לפי נוסחת השורשים:

$x=24$ או $x=7$. שני הפתרונות נותנים את אותו מלבן: אם $BC=7$ אז $AB=24$, ואם $BC=24$ אז $AB=7$. הצלע $AB$ היא הארוכה, ולכן $AB=24$ מטרים ו-$BC=7$ מטרים.

בדיקה: $2\cdot(24+7)=62$, וגם $24\cdot7=168$.

טעות נפוצה: לבטא את הצלע השנייה כ-$62-x$ (ההיקף כולו במקום חציו). מתקבלת המשוואה $x^2-62x+168=0$, ופתרונותיה $x\approx2.84$ ו-$x\approx59.16$ - מלבן שהיקפו 124 מטרים.

$BD$ הוא אלכסון המלבן. במשולש $DCB$ הזווית $C$ ישרה, $DC=AB=24$ ו-$CB=7$, ו-$BD$ הוא היתר.

לפי משפט פיתגורס:

יעל שחתה 25 מטרים.

טעות נפוצה: לחסר את הריבועים, $\sqrt{576-49}=\sqrt{527}\approx22.96$. האלכסון הוא היתר, ולכן מחברים.

זמן השחייה של יעל: דרך חלקי מהירות,

נועה שחתה גם היא 20 שניות. הדרך שלה: $DC+CB=24+7=31$ מטרים.

נועה שחתה במהירות 1.55 מטרים לשנייה. היא שחתה מהר יותר, כי הדרך שלה ארוכה יותר באותו זמן.

טעות נפוצה: לחלק את הזמן בדרך, $\frac{20}{31}\approx0.65$. מהירות היא דרך חלקי זמן, ונועה חייבת להיות מהירה מיעל.

גם כאן סכום האורך והרוחב הוא 31. נסמן את הרוחב $x$, והאורך $31-x$:

הביטוי שמתחת לשורש בנוסחת השורשים:

הוא שלילי, ולכן למשוואה אין פתרון: אין מלבן שהיקפו 62 מטרים ושטחו 250 מ"ר.

הסבר נוסף: כשההיקף קבוע, השטח הגדול ביותר מתקבל בריבוע. כאן הריבוע הוא $15.5\times15.5$, ושטחו $240.25$ מ"ר - פחות מ-250.

טעות נפוצה: שוב לבטא את הצלע השנייה כ-$62-x$. מתקבלת המשוואה $x^2-62x+250=0$, שיש לה פתרונות ($x\approx4.33$ ו-$x\approx57.67$), ומסיקים בטעות שאפשר. אבל למלבן כזה היקף של 124 מטרים.

הקוטר של כל חצי עיגול הוא 70 ס"מ, ולכן הרדיוס $r=35$ ס"מ.

שני חצאי עיגול שווים יחד הם עיגול שלם:

טעות נפוצה: להציב את הקוטר 70 כרדיוס, $\pi\cdot70^2\approx15{,}393.8$ סמ"ר.

שטח המלבן: $120\cdot70=8{,}400$ סמ"ר.

טעות נפוצה: להוסיף שטח של חצי עיגול אחד בלבד, $8{,}400+1{,}924.23=10{,}324.23$ סמ"ר.

שולי השולחן הם הצלעות $AB$ ו-$DC$ ושתי הקשתות. הקטעים $AD$ ו-$BC$ הם בתוך המשטח, ולכן אין עליהם פס.

שתי הקשתות יחד הן היקף של מעגל שלם ברדיוס 35: $2\pi\cdot35=70\pi\approx219.91$ ס"מ.

טעות נפוצה: להוסיף גם את $AD$ ו-$BC$ (היקף המלבן ועוד הקשתות), ולקבל $599.91$ ס"מ.

ממירים את האורך למטרים: $459.91$ ס"מ $=4.5991$ מטרים.

$114.98>110$, ולכן הסכום לא יספיק (חסרים כ-5 שקלים).

טעות נפוצה: לחשב את המחיר לפי היקף המלבן בלבד, $3.8\cdot25=95$ שקלים, ולענות שהסכום יספיק. השוליים המעוגלים ארוכים מהצלעות $AD$ ו-$BC$.

נסמן ב-$a$ את מספר המחשבים שמייצג ▲; אז △ מייצג $\frac{a}{2}$.

בשנת 2020 יש 4 סמלי ▲ וסמל △ אחד, וסך הכול 3,600 מחשבים:

▲ = 800 מחשבים, △ = 400 מחשבים.

טעות נפוצה: להתעלם מסמל החצי ולחלק $3{,}600$ ב-4, ולקבל 900 מחשבים לסמל.

בשנת 2023 יש 3 סמלי ▲ וסמל △ אחד:

טעות נפוצה: לספור רק את הסמלים השלמים, $3\cdot800=2{,}400$.

2022: $5\cdot800=4{,}000$ מחשבים.

גידול של 30%: כפל ב-1.3:

כמה שיותר סמלי ▲: $6\cdot800=4{,}800$, והיתרה $400$ היא בדיוק סמל △ אחד. לכן מציירים 6 סמלי ▲ וסמל △ אחד.

טעות נפוצה: לחשב רק את התוספת, $4{,}000\cdot0.3=1{,}200$, ולצייר סמל ▲ אחד וסמל △ אחד (1,200 מחשבים) במקום את הכמות הכוללת.

2021: $2\cdot800+400=2{,}000$; 2023: 2,800. הגידול: 800 מחשבים.

טעות נפוצה: לחלק את הגידול במספר של 2023, $\frac{800}{2{,}800}\cdot100\approx28.57\%$.

בחברה א' משלמים רק לפי הדקות:

דנה תשלם 24 שקלים.

טעות נפוצה: להוסיף גם בחברה א' את 6 השקלים של השכרת האופניים, ולקבל $6+24=30$ שקלים.

דנה תשלם 21 שקלים - בנסיעה הזאת חברה ב' זולה יותר, אף שיש בה תשלום קבוע.

טעות נפוצה: לחשב רק $0.75\cdot20=15$ שקלים ולשכוח את 6 השקלים של ההשכרה.

נסמן ב-$x$ את זמן הנסיעה בדקות. בחברה ב':

זמן הנסיעה של יואב הוא 28 דקות. (בדיקה: $6+0.75\cdot28=6+21=27$.)

טעות נפוצה: לחלק את כל הסכום במחיר לדקה בלי להחסיר את 6 השקלים: $\frac{27}{0.75}=36$ דקות.

בחברה א' אין תשלום קבוע: 1.2 שקלים לכל דקה, כלומר $y=1.2x$ - ביטוי i.

בחברה ב' התשלום הקבוע, 6 שקלים, הוא המספר החופשי, והמחיר לדקה, 0.75, הוא המקדם של $x$: $y=6+0.75x$ - ביטוי iii.

(בדיקה עם סעיף א: עבור $x=20$ ביטוי iii נותן 21.)

טעות נפוצה: לבחור לחברה ב' את ביטוי ii, $y=6x+0.75$, כי יש בו אותם שני מספרים - אבל בו כל דקה עולה 6 שקלים, ועבור $x=20$ הוא נותן $120.75$ שקלים ולא 21.