מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 2 מעל רמת בגרות

שתי הרוכבות עוברות את אותו מרחק, 15 ק"מ, עד האגם. המהירה יותר מגיעה לאגם מוקדם יותר.

הגרף הרציף מגיע לגובה 15 כעבור 30 דקות; הגרף המקווקו מגיע לגובה 15 רק כעבור 50 דקות.

יעל מהירה יותר, ולכן הגרף הרציף הוא של יעל והגרף המקווקו הוא של נועה.

טעות נפוצה: להתאים ליעל את הגרף המקווקו כי הוא "מגיע רחוק יותר" על ציר הזמן (עד 110 דקות). שני הגרפים מגיעים לאותו מרחק, 15 ק"מ; מה שמבדיל ביניהן הוא הזמן, והמהירה היא זו שהזמן שלה קצר יותר.

המנוחה היא הקטע האופקי של הגרף בגובה 15 - המרחק מהכפר לא משתנה.

יעל (הגרף הרציף): מ-30 עד 40 דקות, כלומר $40-30=10$ דקות.

נועה (הגרף המקווקו): מ-50 עד 65 דקות, כלומר $65-50=15$ דקות.

טעות נפוצה: לענות שנועה נחה 65 דקות - זה הזמן שבו המנוחה שלה מסתיימת, לא משך המנוחה.

הרוכבות נפגשות כשהן באותו מרחק מהכפר באותו זמן - בנקודת החיתוך של שני הגרפים.

הגרפים נחתכים כשיעל כבר חוזרת (אחרי 40 דקות) ונועה עדיין בדרך לאגם (לפני 50 דקות). הנקודה נמצאת בין קווי הרשת 40 ו-50 על ציר הזמן, קרוב יותר ל-40, בגובה של כ-13 ק"מ.

בדיקה בחישוב: יעל חוזרת בקצב $15:30=0.5$ ק"מ לדקה, ולכן מרחקה $15-0.5(t-40)$; נועה רוכבת בקצב $15:50=0.3$ ק"מ לדקה, ולכן מרחקה $0.3t$.

הרוכבות נפגשו כעבור כ-44 דקות.

טעות נפוצה: לענות 40 דקות - הזמן שבו יעל מתחילה לחזור. אז יעל ליד האגם (15 ק"מ) ונועה רק ב-$0.3\cdot40=12$ ק"מ, והן עדיין לא נפגשו.

בזמן הפגישה (כ-44 דקות) הגרף של יעל יורד - מרחקה מהכפר קטן, כלומר היא בדרך חזרה לכפר.

הגרף של נועה באותו זמן עולה - מרחקה מהכפר גדל, כלומר היא עדיין רוכבת אל האגם.

אחת מתקרבת לכפר והשנייה מתרחקת ממנו: הן רכבו בכיוונים מנוגדים.

טעות נפוצה: לענות "באותו כיוון" כי שתיהן יצאו מאותו מקום ורוכבות על אותו כביש. הכיוון ברגע הפגישה נקבע לפי עלייה או ירידה של הגרף שם, ובפגישה גרף אחד עולה והשני יורד.

הרכיבה מסתיימת כשהרוכבת חוזרת לכפר - הגרף חוזר לגובה 0.

יעל (הגרף הרציף) חוזרת ל-0 כעבור 70 דקות, ונועה (הגרף המקווקו) כעבור 110 דקות.

יעל סיימה 40 דקות לפני נועה.

טעות נפוצה: להשוות את זמני ההגעה לאגם, $50-30=20$, ולענות 20 דקות. סיום הרכיבה הוא החזרה לכפר, לא ההגיעה לאגם.

לכל סביבון $n$ תוצאות, ולכן בניסוי $n\cdot n=n^2$ תוצאות שוות הסתברות.

סכום 3 מתקבל בשתי תוצאות: 1 בסביבון א ו-2 בסביבון ב, או 2 בסביבון א ו-1 בסביבון ב.

($n$ הוא מספר גזרות, ולכן חיובי.)

טעות נפוצה: לספור רק את הזוג 1 ו-2 בסדר אחד, $\frac{1}{n^2}=\frac{1}{50}$, ולקבל $n=\sqrt{50}\approx7.07$ - מספר גזרות שאינו שלם. זה סימן שחסרה תוצאה בספירה.

יש $10\cdot10=100$ תוצאות. סכום גדול מ-16 הוא 17, 18, 19 או 20 (הסכום הגדול ביותר הוא $10+10=20$):

סכום 17: (7,10), (8,9), (9,8), (10,7) - 4 תוצאות.

סכום 18: (8,10), (9,9), (10,8) - 3 תוצאות.

סכום 19: (9,10), (10,9) - 2 תוצאות.

סכום 20: (10,10) - תוצאה אחת.

טעות נפוצה: לספור כל זוג מספרים פעם אחת בלי הסדר (7 ו-10, 8 ו-9, 8 ו-10, 9 ו-9, 9 ו-10, 10 ו-10) ולענות $\frac{6}{100}=\frac{3}{50}$.

בניסוי $10\cdot m=10m$ תוצאות שוות הסתברות.

נספור את התוצאות שבהן המספר בסביבון א גדול: אם בסביבון א יצא 1 - אין אפשרות; 2 - אפשרות אחת (1 בסביבון ג); 3 - שתי אפשרויות; וכן הלאה, עד 10 - תשע אפשרויות (1 עד 9, כולן קיימות בסביבון ג כי $m>10$).

בדיקה: $\frac{45}{200}=\frac{9}{40}$.

טעות נפוצה: לחבר את מספרי התוצאות של שני הסביבונים במקום לכפול, $\frac{45}{10+m}=\frac{9}{40}$, ולקבל $10+m=200$, כלומר $m=190$.

יש $10\cdot20=200$ תוצאות.

לכל מספר $a$ בסביבון א (מ-1 עד 10) המספר הדרוש בסביבון ג הוא $12-a$, כלומר מספר בין 2 ל-11. כל המספרים האלה כתובים בסביבון ג, כי יש בו מספרים עד 20.

לכן יש 10 תוצאות: (1,11), (2,10), ..., (10,2).

טעות נפוצה: לספור כמו בשני סביבונים של 10 גזרות ולהשמיט את (1,11). מתקבל $\frac{9}{200}$, אבל בסביבון ג יש גזרה עם המספר 11.

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה את הבסיס, ולכן הוא מחלק את הדגלון לשני משולשים ישרי זווית.

בכל אחד מהם: היתר הוא השוק, 25 ס"מ; ניצב אחד הוא חצי הבסיס, $\frac{16}{2}=8$ ס"מ; הניצב השני הוא הגובה $h$.

טעות נפוצה: להציב את כל הבסיס כניצב, $h=\sqrt{25^2-16^2}=\sqrt{369}\approx19.21$ - הניצב במשולש ישר הזווית הוא רק חצי הבסיס.

שטח דגלון אחד - חצי מכפלת הבסיס בגובה:

יש 5 דגלונים זהים:

(עם הגובה המעוגל: $5\cdot\frac{16\cdot23.69}{2}=947.60$; ההבדל נובע מהעיגול בלבד.)

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2: $5\cdot16\cdot23.685\approx1894.84$ סמ"ר - זה שטח של 5 מלבנים, כפול משטח הדגלונים.

הסרט נתפר לאורך שלוש הצלעות, כלומר אורכו הוא היקף הדגלון:

טעות נפוצה: לחבר רק שוק אחת ובסיס, $25+16=41$ ס"מ - לדגלון שתי שוקיים.

לכל דגלון דרושים 66 ס"מ סרט (סעיף ג(1)), ויש 5 דגלונים:

המחיר נתון למטר:

מחיר הסרט הוא 39.60 שקלים.

טעות נפוצה: לחשב את המחיר לדגלון אחד בלבד, $0.66\cdot12=7.92$ שקלים, ולשכוח שיש חמישה דגלונים.

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה. הניצבים הם $AB=x$ ו-$BC=x+4$, והיתר הוא $AC=20$.

לפי משפט פיתגורס:

לפי נוסחת השורשים:

$x=12$ או $x=-16$. אורך צלע חיובי, ולכן $x=12$ (ו-$BC=16$).

בדיקה: $12^2+16^2=144+256=400=20^2$.

טעות נפוצה: לפתוח את $(x+4)^2$ כ-$x^2+16$ (בלי האיבר $8x$). מתקבל $2x^2=384$, כלומר $x=\sqrt{192}\approx13.86$ - ובבדיקה $13.86^2+17.86^2\approx511$, לא 400.

הצלעות הן $AB=12$ ו-$BC=16$.

אורך הגדר הוא היקף המלבן:

שטח המגרש:

טעות נפוצה: לחבר רק שתי צלעות, $12+16=28$ מטרים, ולשכוח שלמלבן ארבע צלעות.

נסמן ב-$y$ את מספר המטרים שמוסיפים לכל צלע. הצלעות החדשות: $12+y$ ו-$16+y$.

השטח החדש הוא $192+60=252$ מ"ר:

$y=2$ או $y=-30$. מאריכים, ולכן $y=2$.

בדיקה: $14\cdot18=252=192+60$.

טעות נפוצה: לכפול רק איבר באיבר, $(12+y)(16+y)=192+y^2$, ולקבל $y^2=60$, כלומר $y\approx7.75$. אבל אז השטח הוא $19.75\cdot23.75\approx469$ מ"ר.

במגרש החדש הצלעות הן $14$ ו-$18$. לפי משפט פיתגורס:

האלכסון גדל בכ-$22.80-20=2.80$ מטרים, ולא ב-2. אילו היה האלכסון 22, היה מתקיים $14^2+18^2=22^2$, אבל $22^2=484\ne520$.

דנה אינה צודקת: הגדלה של הצלעות באותו אורך אינה מגדילה את האלכסון באותו אורך.

טעות נפוצה: לחשב את האלכסון החדש כחיבור של צלעות, $\sqrt{14^2+18^2}=14+18=32$ מטרים. שורש של סכום אינו סכום של שורשים.

ביום הפתיחה ($x=0$) במבצע של עמותה א' יש כבר 2,000 שקלים, ובמבצע של עמותה ב' עוד לא נאסף דבר.

לכן הגרף של עמותה א' פוגש את ציר ה-$y$ מעל הראשית, והגרף של עמותה ב' יוצא מראשית הצירים.

גרף II מתחיל מעל הראשית (וגם עולה מתון יותר, 300 ליום לעומת 500), ולכן הוא מתאר את עמותה א'.

טעות נפוצה: לבחור את גרף I כי הוא מגיע לסכום הגבוה ביותר בקצה הסרטוט, "כי לעמותה א' יש את התרומה הגדולה". מימין לנקודת החיתוך דווקא המבצע בלי תרומת הפתיחה גבוה יותר; את תרומת הפתיחה רואים על ציר ה-$y$.

הסכום הכולל הוא תרומת הפתיחה ועוד הסכום היומי כפול מספר הימים.

עמותה א': $2{,}000+300x$ - ביטוי (3).

עמותה ב': אין תרומת פתיחה, ולכן $0+500x=500x$ - ביטוי (2).

טעות נפוצה: לבחור לעמותה א' את ביטוי (1), $300+2{,}000x$ - להחליף בין הסכום החד-פעמי לסכום היומי, כאילו בכל יום נכנסים 2,000 שקלים.

בנקודת החיתוך הסכומים בשני המבצעים שווים:

מציבים: $y=500\cdot10=5{,}000$ (ובדיקה: $2{,}000+300\cdot10=5{,}000$).

נקודת החיתוך היא $(10,\,5{,}000)$: כעבור 10 ימים נאספו בשני המבצעים 5,000 שקלים.

טעות נפוצה: להעביר את $300x$ לאגף ימין בלי לשנות סימן, $2{,}000=500x+300x$, ולקבל $800x=2{,}000$, $x=2.5$.

מציבים בכל ביטוי את היעד של אותו מבצע ופותרים.

עמותה א': $2{,}000+300x=8{,}000$, $300x=6{,}000$, $x=20$.

עמותה ב': $500x=10{,}500$, $x=21$.

$20<21$, ולכן המבצע של עמותה א' הגיע ליעד שלו יום אחד לפני המבצע של עמותה ב'.

טעות נפוצה: לשכוח את תרומת הפתיחה ולחשב לעמותה א' $\frac{8{,}000}{300}\approx26.7$ ימים, ולענות שהמבצע של עמותה ב' הגיע ראשון.

נסמן ב-$a$ את המחיר של חולצה בהצעה 1. עבור 30 חולצות שילמו $30a$ ועוד 120 שקלים על התבנית:

טעות נפוצה: לחלק את כל הסכום במספר החולצות בלי להפחית את מחיר התבנית, $570:30=19$ שקלים.

נסמן ב-$x$ את מספר החולצות. התשלום בהצעה 1: $15x+120$; התשלום בהצעה 2: $25x$. משווים:

התשלום: $25\cdot12=300$ שקלים (ובהצעה 1: $15\cdot12+120=300$).

טעות נפוצה: להעביר את $15x$ לאגף השני עם סימן לא נכון, $120=40x$, ולקבל $x=3$.

בודקים את שתי ההצעות.

אם הזמינו לפי הצעה 1: $15x+120=225\ \Rightarrow\ 15x=105\ \Rightarrow\ x=7$.

אבל עבור 7 חולצות הצעה 2 עולה $25\cdot7=175$ שקלים בלבד, פחות מ-225. כלומר עבור 7 חולצות הצעה 1 אינה הזולה, ולכן האפשרות הזו נפסלת.

אם הזמינו לפי הצעה 2: $25x=225\ \Rightarrow\ x=9$.

עבור 9 חולצות הצעה 1 עולה $15\cdot9+120=255$ שקלים, יותר מ-225 - הצעה 2 אכן הזולה (מתאים גם לסעיף ב: פחות מ-12 חולצות).

לכן השכבה הזמינה 9 חולצות לפי הצעה 2.

טעות נפוצה: לפתור רק לפי הצעה 1, לקבל 7 חולצות ולעצור, בלי לבדוק שעבור 7 חולצות הצעה 1 בכלל לא הזולה.