מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 4 מעל רמת בגרות

גרף I מתחיל בראשית $(0,0)$ - הרכב שלו יצא בזמן 0, כשהאוטובוס יצא.

גרף II מתחיל בנקודה $(2,0)$ - הרכב שלו יצא שעתיים אחר כך.

המונית יצאה שעתיים אחרי האוטובוס, ולכן גרף II מתאר את המונית וגרף I מתאר את האוטובוס.

טעות נפוצה: לבחור לפי מי שהגיע ראשון ליעד (210 ק"מ) - גרף II מגיע ראשון - ולענות שגרף II הוא האוטובוס "כי הוא יצא ראשון". מי שיצא ראשון הוא מי שהגרף שלו מתחיל ראשון על ציר הזמן.

האוטובוס הוא גרף I (סעיף א). מעל $x=2$ גרף I נמצא בגובה $y=100$ (שם הקו משנה את השיפוע שלו).

לכן שעתיים אחרי שיצא היה האוטובוס 100 ק"מ מן התחנה.

טעות נפוצה: לקרוא את גרף II ב-$x=2$ ולענות 0 ק"מ - זו המונית, שבדיוק אז יוצאת לדרך.

מחפשים בגרף I (האוטובוס) את הנקודה שבה $y=120$.

בין $x=2$ ל-$x=5$ גרף I עולה מ-100 ל-160 ק"מ, 20 ק"מ בכל שעה: $100\to120\to140\to160$.

הגרף מגיע לגובה 120 מעל $x=3$, כלומר 3 שעות אחרי שהאוטובוס יצא.

טעות נפוצה: לקרוא את הגרף התלול, גרף II, בגובה 120 ולענות $2+\frac{120}{70}=\frac{26}{7}\approx3.71$ שעות - זה הזמן שבו המונית הייתה 120 ק"מ מן התחנה.

5 שעות אחרי שהאוטובוס יצא - זה $x=5$.

האוטובוס (גרף I) ב-$x=5$: 160 ק"מ.

המונית (גרף II) ב-$x=5$: 210 ק"מ - בדיוק אז היא מגיעה ליעד.

המונית נמצאת 50 ק"מ לפני האוטובוס.

טעות נפוצה: לקרוא רק את גרף האוטובוס ב-$x=5$ ולענות 160 ק"מ - זה המרחק של האוטובוס מן התחנה, לא המרחק בין שני כלי הרכב.

שני הגרפים נחתכים בנקודה $(4,140)$: 4 שעות אחרי שהאוטובוס יצא, שני כלי הרכב נמצאים 140 ק"מ מן התחנה.

לפני הנקודה הזו האוטובוס היה לפני המונית (גרף I מעל גרף II), ואחריה המונית עקפה אותו.

לכן הם נפגשו, 140 ק"מ מן התחנה.

טעות נפוצה: לחשוב שהם נפגשו ביעד, 210 ק"מ מן התחנה, כי שני הגרפים מגיעים לגובה 210 - אבל המונית הגיעה ל-210 אחרי 5 שעות והאוטובוס אחרי 6. מפגש הוא אותו מקום באותו זמן, כלומר נקודת חיתוך של הגרפים.

ההסתברות להוציא כרטיס צהוב היא $1-0.6=0.4$.

נסמן ב-$n$ את מספר הכרטיסים בקופסה. 12 הכרטיסים הצהובים הם $0.4$ מכל הכרטיסים:

בקופסה 30 כרטיסים, ומהם $30-12=18$ סגולים (בדיקה: $\frac{18}{30}=0.6$).

טעות נפוצה: לייחס את $0.6$ לכרטיסים הצהובים, $0.6n=12$, ולקבל $n=20$.

המאורע המשלים של "לפחות אחד צהוב" הוא "שני הכרטיסים סגולים".

הכרטיס הוחזר, ולכן בכל הוצאה ההסתברות לסגול היא $0.6$:

ההסתברות ששני הכרטיסים סגולים:

ולכן ההסתברות שלפחות אחד מהם צהוב:

(בדיקה ישירה: $0.4\cdot0.4+0.4\cdot0.6+0.6\cdot0.4=0.16+0.24+0.24=0.64$.)

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות לצהוב בשתי ההוצאות, $0.4+0.4=0.8$ - כך נספר פעמיים המקרה ששני הכרטיסים צהובים.

נסמן ב-$p$ את ההסתברות להוציא כרטיס צהוב אחרי ההוספה. ההוצאות בלתי תלויות, ולכן $p\cdot p=0.36$, ומכיוון ש-$p$ חיובי, $p=0.6$.

נסמן ב-$k$ את מספר הכרטיסים הצהובים שהוסיפו. אחרי ההוספה יש $12+k$ כרטיסים צהובים מתוך $30+k$:

בדיקה: $\frac{27}{45}=0.6$, ו-$0.6\cdot0.6=0.36$.

טעות נפוצה: לדרוש שהכרטיסים הצהובים יהיו $0.6$ מ-30 הכרטיסים המקוריים, $12+k=18$, ולענות $k=6$. אבל גם מספר הכרטיסים הכולל גדל: $\frac{18}{36}=0.5$.

נסמן ב-$m$ את מספר הכרטיסים שמוסיפים מכל צבע. יהיו $12+m$ כרטיסים צהובים מתוך $30+2m$:

זה שוויון שאינו נכון, ולכן אין $m$ מתאים.

הסבר: בהתחלה יש $18-12=6$ כרטיסים סגולים יותר מצהובים, והוספה שווה משני הצבעים לא משנה את ההפרש. הצהובים תמיד פחות מחצי, וההסתברות מתקרבת ל-$0.5$ (למשל $m=100$: $\frac{112}{230}\approx0.49$) אבל לא מגיעה אליו.

טעות נפוצה: לכתוב במכנה $30+m$ (לספור את הכרטיסים שנוספו פעם אחת בלבד), לפתור $\frac{12+m}{30+m}=0.5$ ולענות "כן, 6 מכל צבע". אבל אז בקופסה 42 כרטיסים, 18 מהם צהובים, וההסתברות $\frac{18}{42}=\frac37\approx0.43$.

הבריכה היא עיגול שרדיוסו $2.5$ מ'. שטח עיגול: $S=\pi r^2$.

שטח הבריכה הוא כ-19.63 מ"ר.

טעות נפוצה: לחשב היקף במקום שטח, $2\pi\cdot2.5=5\pi\approx15.71$.

האי הוא עיגול שרדיוסו 1 מ':

שטח האי הוא כ-3.14 מ"ר.

טעות נפוצה: להציב בנוסחה את הקוטר (2 מ') במקום את הרדיוס ולקבל $\pi\cdot2^2=4\pi\approx12.57$.

שטח המים הוא הטבעת שבין העיגול הגדול לאי: שטח הבריכה פחות שטח האי.

השטח שבו יש מים הוא כ-16.49 מ"ר.

טעות נפוצה: לחסר את הרדיוסים ולהעלות בריבוע, $\pi(2.5-1)^2=2.25\pi\approx7.07$.

קוטר הבריכה הראשונה: $2\cdot2.5=5$ מ'.

קוטר הבריכה השנייה גדול ב-30%, כלומר פי $1.3$:

בריכה עגולה נכנסת בחלקה ריבועית אם הקוטר שלה אינו גדול מצלע הריבוע.

חלקה 1 (6 מ') וחלקה 3 ($6.4$ מ') קטנות מ-$6.5$ מ' - הבריכה לא תיכנס. חלקה 2 (7 מ') גדולה מ-$6.5$ - הבריכה נכנסת.

החלקה המתאימה היא חלקה 2.

טעות נפוצה: להגדיל את הרדיוס ב-30% במקום את הקוטר, $2.5\cdot1.3=3.25$ מ', להשוות אותו לצלעות ולבחור את החלקה הקטנה ביותר, חלקה 1.

סכום שתי צלעות סמוכות הוא חצי ההיקף: $\frac{102}{2}=51$.

נסמן צלע אחת ב-$x$; הצלע השנייה $51-x$.

האלכסון הוא היתר במשולש ישר הזווית שניצביו הם שתי הצלעות:

$x=36$ או $x=15$. שני הפתרונות נותנים את אותו מלבן: צלע אחת 36 והשנייה $51-36=15$.

בדיקה: $15^2+36^2=225+1296=1521=39^2$, ו-$2\cdot(15+36)=102$.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 בנוסחת השורשים, לכתוב $x=51\pm21$ ולקבל צלעות של 72 ו-30 ס"מ. אבל $72+30=102$ הוא ההיקף כולו, לא חצי ממנו - הבדיקה מגלה את הטעות.

צלע הריבוע: $\frac{102}{4}=25.5$ ס"מ, ושטחו $25.5^2=650.25$ סמ"ר.

שטח האריח המלבני: $15\cdot36=540$ סמ"ר.

לאותו היקף יכולים להיות שטחים שונים; כאן לריבוע שטח גדול יותר.

טעות נפוצה: לחשוב שלשתי צורות עם אותו היקף יש אותו שטח, ולענות שהשטחים שווים (הפרש 0).

אם יש אריח כזה, הצלעות שלו $x$ ו-$51-x$ מקיימות:

הביטוי שמתחת לשורש בנוסחת השורשים:

אין שורש למספר שלילי, ולכן למשוואה אין פתרון: אין אריח מלבני כזה. (האלכסון הקצר ביותר מתקבל בריבוע שצלעו 25.5, ואורכו כ-36.06 ס"מ - יותר מ-30.)

טעות נפוצה: לחשוב שאפשר לבחור כל אלכסון שקצר מחצי ההיקף (51 ס"מ) ולענות שיש אריח כזה, בלי לבדוק את המשוואה.

המספר הקבוע בתבנית הוא הסכום של ועד ההורים - הסכום כש-$x=0$, נקודת החיתוך עם ציר $y$. המקדם של $x$ הוא התשלום של כל תלמיד, והוא קובע את התלילות.

תבנית (1): קבוע גדול יותר ($1800>1200$) ומקדם קטן יותר ($40<60$) - הישר שמתחיל גבוה יותר ועולה מתון יותר, ישר II.

תבנית (2): מתחיל נמוך יותר ותלול יותר - ישר I.

טעות נפוצה: להתאים את הישר התלול לתבנית עם הקבוע הגדול, כלומר (1) עם ישר I - בלבול בין נקודת החיתוך עם ציר $y$ לבין השיפוע.

בנקודת החיתוך שתי התבניות נותנות אותו $y$:

$y=40\cdot30+1800=3000$ (ובתבנית השנייה: $60\cdot30+1200=3000$).

נקודת החיתוך: $(30,\,3000)$ - אם בכל כיתה משלמים 30 תלמידים, בשתיהן נאספים 3,000 שקלים.

טעות נפוצה: לחבר את הקבועים במקום לחסר, $1800+1200=20x$, ולקבל $x=150$ ו-$y=40\cdot150+1800=7800$.

מציבים $y=2400$ בכל תבנית.

כיתה י'1: $40x+1800=2400\ \Rightarrow\ 40x=600\ \Rightarrow\ x=15$

כיתה י'2: $60x+1200=2400\ \Rightarrow\ 60x=1200\ \Rightarrow\ x=20$

$20>15$, ולכן בכיתה י'2 שילמו יותר תלמידים. (הסכום 2,400 קטן מ-3,000 שבנקודת החיתוך, ושם הישר של י'2 נמוך יותר - כדי להגיע לאותו סכום צריך בו יותר תלמידים.)

טעות נפוצה: לשכוח את הסכום של ועד ההורים, $\frac{2400}{40}=60$ ו-$\frac{2400}{60}=40$, ולענות שבכיתה י'1 שילמו יותר תלמידים.

שניהם שילמו יותר מ-120 שקלים, ולכן שניהם צילמו יותר דפים ממה שכלול במנוי.

רינה צילמה $800-650=150$ דפים יותר מעמית. עמית כבר עבר את המכסה, ולכן כל 150 הדפים האלה הם דפים נוספים.

על 150 הדפים האלה שילמה רינה $180-150=30$ שקלים יותר:

המחיר לדף נוסף הוא 0.2 שקלים.

טעות נפוצה: לחלק את מה שרינה שילמה מעבר למנוי בכל הדפים שצילמה, $\frac{180-120}{800}=0.075$ שקלים - אבל לא כל 800 הדפים מחויבים.

רינה שילמה $180-120=60$ שקלים על דפים נוספים, במחיר 0.2 לדף:

כלומר רינה צילמה 300 דפים נוספים. נסמן ב-$N$ את מספר הדפים הכלולים:

בדיקה עם עמית: $120+0.2\cdot(650-500)=120+30=150$ שקלים, כנתון.

טעות נפוצה: לענות 300 דפים - זה מספר הדפים הנוספים של רינה, לא מספר הדפים הכלולים במנוי.

על דפים נוספים שילם יואב $198-120=78$ שקלים:

אלה דפים נוספים, מעבר ל-500 הדפים הכלולים:

יואב צילם 890 דפים.

טעות נפוצה: לענות 390 דפים - זה רק מספר הדפים הנוספים, בלי 500 הדפים הכלולים במנוי.

120 שקלים הם המחיר הקבוע של המנוי בלבד, בלי תוספת. לכן נוגה לא עברה את המכסה: היא צילמה 500 דפים או פחות.

אי אפשר לדעת את המספר המדויק - כל מספר דפים עד 500 עולה 120 שקלים.

טעות נפוצה: לענות שנוגה צילמה בדיוק 500 דפים. גם מי שצילמה 100 דפים משלמת 120 שקלים בדיוק.