מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 5 מעל רמת בגרות

ארבעת השבועות הידועים: 15, 27, 22, 30.

טעות נפוצה: לחלק את הסכום ב-5 (מספר השבועות בטבלה) במקום ב-4, ולקבל $\frac{94}{5}=18.8$.

סכום חמשת הנתונים = ממוצע × מספר הנתונים:

בשבוע השלישי רצה נועה 16 ק"מ.

טעות נפוצה: להניח שהנתון החסר שווה לממוצע ולענות $x=22$.

הממוצע החדש: $22+2=24$.

סכום ששת הנתונים: $6\cdot24=144$.

סכום חמשת השבועות הראשונים: $5\cdot22=110$ (סעיף ב).

בשבוע השישי רצה נועה 34 ק"מ.

טעות נפוצה: לענות 24 - זה הממוצע החדש, לא מספר הקילומטרים בשבוע השישי.

נסמן ב-$n$ את מספר השבועות בתקופה הראשונה. סכום הקילומטרים בתקופה הזאת הוא $20n$.

אחרי השבוע הנוסף יש $n+1$ שבועות, סכומם $20n+48$, והממוצע 24:

בדיקה: $\frac{120+48}{7}=\frac{168}{7}=24$.

טעות נפוצה: לשכוח שהשבוע הנוסף מגדיל גם את מספר הנתונים, לכתוב $20n+48=24n$ ולקבל $n=12$.

כל תוצאה של תור היא זוג: (המספר בגלגל, המספר בקובייה). יש $5\cdot6=30$ זוגות, וכולם שווי הסתברות.

רק הזוג $(6,6)$ מתאים:

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות, $\frac15+\frac16=\frac{11}{30}$ - אבל צריך ששניהם יראו 6 באותו תור, ויש לכך רק תוצאה אחת מתוך 30.

המספרים שמופיעים גם בגלגל וגם בקובייה הם 2, 4, 6. לכן הזוגות המתאימים: $(2,2)$, $(4,4)$, $(6,6)$.

טעות נפוצה: לקחת כמרחב המדגם את מספר האפשרויות בגלגל ובקובייה יחד, $5+6=11$, ולענות $\frac{3}{11}$. כל תוצאה היא זוג, ולכן יש $5\cdot6=30$ תוצאות.

טבלת הסכומים של 30 התוצאות:

סכום גדול מ-12: $(8,5)$, $(8,6)$, $(10,3)$, $(10,4)$, $(10,5)$, $(10,6)$ - שש תוצאות.

טעות נפוצה: לספור גם את הסכום 12 בדיוק, $(6,6),(8,4),(10,2)$, ולקבל $\frac{9}{30}=0.3$. "גדול מ-12" לא כולל את 12.

סכום 5 (שני): $(2,3)$, $(4,1)$ - שתי תוצאות, $P=\frac{2}{30}$.

סכום 10 (עידן): $(4,6)$, $(6,4)$, $(8,2)$ - שלוש תוצאות, $P=\frac{3}{30}$.

$\frac{3}{30}>\frac{2}{30}$, ולכן לעידן יש סיכוי גדול יותר לזכות בנקודה.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$(4,6)$ ו-$(6,4)$ הן אותה תוצאה, לספור לעידן רק שתי תוצאות ולענות שהסיכויים שווים. ב-$(4,6)$ הגלגל מראה 4 והקובייה 6, וב-$(6,4)$ להפך - אלה שתי תוצאות שונות.

שטח הגינה:

הערוגות תופסות $40\%$ מהשטח:

סך שטח הערוגות: 216 מ"ר.

טעות נפוצה: לחשב $40\%$ כחלוקה ב-40, $\frac{540}{40}=13.5$.

כל ערוגה היא חצי מסך השטח:

שטח משולש הוא בסיס כפול גובה חלקי 2, והבסיס הוא 18 מטר. מסמנים את הגובה ב-$h$:

הגובה: 12 מטר.

טעות נפוצה: להציב את שטח שתי הערוגות (216) כשטח של משולש אחד, $9h=216$, ולקבל $h=24$ מטר - גובה כזה לא נכנס בגינה שאורכה 30 (שני משולשים כאלה היו חופפים).

הגובה לבסיס במשולש שווה שוקיים חוצה את הבסיס: $18:2=9$ מטר.

השוק היא היתר במשולש ישר זווית שניצביו 9 ו-12. מסמנים את אורכה ב-$a$:

ההיקף:

טעות נפוצה: להציב את הבסיס השלם, $\sqrt{18^2+12^2}=\sqrt{468}\approx21.63$, ולקבל היקף של כ-$61.27$ מטר.

בכל ערוגה שתי שוקיים של 15 מטר, ובשתי הערוגות ארבע שוקיים:

מספר הלבנים:

טעות נפוצה: לחשב לפי ההיקף המלא של שתי הערוגות, $\frac{2\cdot48}{0.3}=320$ - הבסיסים אינם מקושטים.

$ABLK$ מלבן, ולכן $BL\perp CD$ והמשולש $BLC$ ישר זווית ($\angle BLC=90^\circ$), עם היתר $BC$.

אורך הקטע $BL$ הוא 48 ס"מ.

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים, $\sqrt{50^2+14^2}=\sqrt{2696}\approx51.92$ ס"מ - יוצא ניצב ארוך מהיתר.

$0.84$ מטרים הם $84$ ס"מ.

בטרפז שווה שוקיים הגבהים $AK$ ו-$BL$ חותכים מהבסיס הגדול קטעים שווים: $DK=LC=14$ ס"מ.

אורך הקטע $KL$ הוא 56 ס"מ.

טעות נפוצה: לחסר רק את $LC$, $84-14=70$ ס"מ.

שטח המלבן הוא 2,688 סמ"ר.

טעות נפוצה: לכפול בשוק $BC$ במקום בגובה, $56\cdot50=2800$ סמ"ר.

$AB=KL=56$ ס"מ (צלעות נגדיות במלבן), והגובה $BL=48$ ס"מ.

שטח החלון גדול פי $1.25$ משטח הזכוכית השקופה.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 בשטח הטרפז, $140\cdot48=6720$, ולענות פי $2.5$.

בנפרד: 160 גרם (בין 100 ל-200) - 8 שקלים; 80 גרם (בין 0 ל-100) - 5 שקלים. סך הכול $8+5=13$ שקלים.

במשלוח אחד: $160+80=240$ גרם, בין 200 ל-400 - 15 שקלים.

$15>13$, ולכן לא כדאי לאחד: האיחוד יקר יותר ב-2 שקלים. המשקל המאוחד עבר את 200 גרם וקפץ למדרגה של 15.

טעות נפוצה: להניח שמשלוח אחד תמיד זול משני משלוחים ולענות שכדאי לאחד, בלי לבדוק את המחיר של 240 גרם.

נסמן ב-$w$ את משקל החבילה הנוספת. בנפרד משלמים $8+$(מחיר $w$), ובמשלוח אחד - את המחיר של $160+w$. בודקים לפי המדרגות:

$0<w\le40$: בנפרד $8+5=13$; מאוחד $160+w\le200$ - 8. האיחוד זול יותר.

$40<w\le100$: בנפרד $8+5=13$; מאוחד $200<160+w\le260$ - 15. כאן בנפרד זול יותר.

$100<w\le200$: בנפרד $8+8=16$; מאוחד $260<160+w\le360$ - 15. האיחוד זול יותר.

$200<w\le240$: בנפרד $8+15=23$; מאוחד $360<160+w\le400$ - 15. האיחוד זול יותר.

$240<w\le400$: בנפרד $8+15=23$; מאוחד $400<160+w\le560$ - 18. האיחוד זול יותר.

הקצוות: ב-$w=40$ המשקל המאוחד הוא 200 גרם בדיוק, והנקודה המלאה ב-200 היא במחיר 8 - האיחוד זול. ב-$w=100$ החבילה הנוספת עולה 5 (נקודה מלאה) והמאוחד 260 גרם עולה 15 - בנפרד זול.

לכן בנפרד משתלם יותר כאשר $40<w\le100$.

טעות נפוצה: לטעות בקצוות ולענות $40\le w<100$. ב-40 גרם המשלוח המאוחד (200 גרם) עדיין עולה 8 שקלים, וב-100 גרם החבילה הנוספת עדיין במדרגה של 5 שקלים.

מהטבלה של סעיף ב, החיסכון (בנפרד פחות מאוחד) בכל תחום:

$0<w\le40$: $13-8=5$. $100<w\le200$: $16-15=1$. $200<w\le240$: $23-15=8$. $240<w\le400$: $23-18=5$. (ובתחום $40<w\le100$ אין חיסכון.)

החיסכון הגדול ביותר, 8 שקלים, הוא כאשר $200<w\le240$: החבילה הנוספת לבדה כבר במדרגה של 15 שקלים, והחבילה המאוחדת (עד 400 גרם) נשארת באותה מדרגה - כך שהחבילה של 160 גרם 'נוסעת בחינם'.

טעות נפוצה: לחשוב שככל שהחבילה הנוספת כבדה יותר החיסכון גדול יותר, ולענות 400 גרם - אבל שם החבילה המאוחדת (560 גרם) עולה 18, והחיסכון רק 5 שקלים.

באפשרות ב' משלמים דמי הרשמה פעם אחת, ועוד 35 שקלים על כל שיעור:

טעות נפוצה: לשכוח את דמי ההרשמה ולענות $12\cdot35=420$ שקלים.

אפשרות א': 760 שקלים.

אפשרות ב': $200+20\cdot35=200+700=900$ שקלים.

בעבור 20 שיעורים אפשרות ב' יקרה ב-140 שקלים.

טעות נפוצה: לשכוח את דמי ההרשמה, לחשב באפשרות ב' $20\cdot35=700$ ולענות שההפרש הוא 60 שקלים (ושאפשרות ב' זולה יותר).

דמי ההרשמה קבועים - 200 שקלים, ועל כל אחד מ-$x$ השיעורים משלמים 35 שקלים:

(בדיקה: עבור $x=12$ מתקבל 620, כמו בסעיף א.)

טעות נפוצה: לחבר את דמי ההרשמה למחיר השיעור ולכתוב $235x$ - כאילו משלמים דמי הרשמה על כל שיעור. עבור 12 שיעורים זה נותן 2,820 שקלים במקום 620.

משווים את המחיר באפשרות ב' (סעיף ג) למחיר הקבוע של אפשרות א':

בדיקה: $200+16\cdot35=200+560=760$.

טעות נפוצה: להתעלם מדמי ההרשמה ולפתור $35x=760$, $x\approx21.71$ - שגם אינו מספר שלם של שיעורים.