מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 6 מעל רמת בגרות

בשעה 10:30 הקבוצה נמצאת על הקטע העולה השני, שבין 9:30 ל-11:30: בשעה 9:30 המרחק מן החווה 12 ק"מ, ובשעה 11:30 - 30 ק"מ.

10:30 היא בדיוק באמצע פרק הזמן הזה (שעה אחרי 9:30 ושעה לפני 11:30), והקטע ישר, ולכן המרחק הוא באמצע בין 12 ל-30:

בשעה 10:30 הקבוצה הייתה במרחק 21 ק"מ מן החווה.

טעות נפוצה: לקרוא את 10:30 כאילו זה 10.3 שעות, כלומר רק 0.8 שעה אחרי 9:30, ולקבל $12+0.8\cdot9=19.2$ ק"מ. 30 דקות הן חצי שעה, ולכן 10:30 היא שעה שלמה אחרי 9:30 - בדיוק באמצע הקטע.

עצירה בגרף מרחק-זמן היא קטע אופקי: הזמן עובר, והמרחק מן החווה לא משתנה.

בגרף יש שני קטעים אופקיים:

מ-9:00 עד 9:30, במרחק 12 ק"מ מן החווה - עצירה של חצי שעה.

מ-11:30 עד 13:30, במרחק 30 ק"מ מן החווה - עצירה של שעתיים.

לכן הקבוצה עצרה פעמיים: העצירה הראשונה נמשכה חצי שעה, והשנייה נמשכה שעתיים.

טעות נפוצה: לא לשים לב לקטע האופקי הקצר שבין 9:00 ל-9:30, ולענות שהקבוצה עצרה פעם אחת בלבד, לשעתיים. גם קטע אופקי קצר הוא עצירה.

מחפשים בגרף את הנקודות שבהן המרחק מן החווה הוא 6 ק"מ. יש שתיים כאלה: אחת בדרך הלוך ואחת בדרך חזור.

בדרך הלוך: מ-8:00 עד 9:00 (שעה אחת) הקבוצה עברה 12 ק"מ בקצב קבוע. 6 ק"מ הם חצי מהדרך הזאת, ולכן עברה חצי שעה: $8:00+0.5$ שעה $=8:30$.

בדרך חזור: מ-13:30 עד 16:00 (שעתיים וחצי) הקבוצה חזרה 30 ק"מ, כלומר $\frac{30}{2.5}=12$ ק"מ בכל שעה. במרחק 6 ק"מ מן החווה נשארו לה עוד 6 ק"מ, כלומר חצי שעה של רכיבה, ולכן זה היה חצי שעה לפני 16:00: בשעה 15:30.

טעות נפוצה: למצוא רק את הנקודה בדרך הלוך ולענות 8:30 בלבד. גם בדרך חזרה אל החווה הקבוצה עברה במרחק 6 ק"מ מן החווה.

בדרך הלוך הקבוצה הגיעה עד 30 ק"מ מן החווה (12 ק"מ עד 9:00 ועוד 18 ק"מ מ-9:30 עד 11:30).

בדרך חזור היא רכבה מ-30 ק"מ עד החווה, עוד 30 ק"מ.

הקבוצה רכבה סך הכול 60 ק"מ.

טעות נפוצה: לענות 30 ק"מ - המרחק הגדול ביותר מן החווה - ולשכוח את הדרך חזרה.

בדרך חזרה (הקטע היורד, מ-13:30 עד 16:00) הקבוצה רכבה 30 ק"מ בשעתיים וחצי, כלומר ב-2.5 שעות.

מהירות הרכיבה בדרך חזרה הייתה 12 קמ"ש.

טעות נפוצה: למדוד את הזמן מתחילת העצירה השנייה בשעה 11:30 ולחלק ב-4.5 שעות: $\frac{30}{4.5}\approx6.67$ קמ"ש. בזמן העצירה הקבוצה לא רכבה, ולכן היא לא נכללת בזמן הרכיבה.

מספר השחקנים שעברו את המבחן הוא $21+x+13=34+x$, ומספר השחקנים בחוג הוא $25+(x+8)+19=52+x$.

ההסתברות ששחקן מהחוג עבר את המבחן היא 0.75:

בדיקה: בחוג $72$ שחקנים, $54$ עברו, ו-$\frac{54}{72}=0.75$.

טעות נפוצה: לשכוח ש-$x$ נמצא גם במכנה, לפתור $\frac{34+x}{52}=0.75$ ולקבל $x=39-34=5$ - ואז בחוג $57$ שחקנים ו-$\frac{39}{57}\approx0.684$, לא $0.75$.

בקבוצה ב יש $20+8=28$ שחקנים, ומתוכם 20 עברו את המבחן:

טעות נפוצה: לחלק בכל השחקנים בחוג, $\frac{20}{72}\approx0.278$.

בוחרים מבין השחקנים שלא עברו את המבחן: $4+8+6=18$. מתוכם 6 מקבוצה ג:

טעות נפוצה: לחלק במספר השחקנים בקבוצה ג, $\frac{6}{19}\approx0.316$ - זו ההסתברות ששחקן מקבוצה ג לא עבר את המבחן.

בשתי ההסתברויות המונה זהה - 21 השחקנים מקבוצה א שעברו את המבחן - אבל הקבוצה שבוחרים ממנה שונה.

שחקן מקבוצה א: המכנה הוא הקבוצה, $21+4=25$:

שחקן מבין אלה שעברו: המכנה הוא כל מי שעבר, $21+20+13=54$:

$0.84\ne0.389$, ולכן דנה אינה צודקת. ההסתברויות שונות כי המכנים שונים: 25 השחקנים בקבוצה א לעומת 54 השחקנים שעברו.

טעות נפוצה: לחשב את שתי ההסתברויות עם המכנה 72 (כל החוג), לקבל $\frac{21}{72}\approx0.292$ בשתיהן ולענות שדנה צודקת.

היקף מעגל: $P=2\pi r$.

היקף השעון הוא כ-94.25 ס"מ.

טעות נפוצה: לשכוח את ה-2 בנוסחה, $\pi\cdot15=15\pi\approx47.12$ ס"מ - זה חצי מההיקף.

שטח עיגול: $S=\pi r^2$.

שטח השעון הוא כ-706.86 סמ"ר.

טעות נפוצה: לערבב את שתי הנוסחאות ולכתוב $S=2\pi r^2$, ולקבל $2\pi\cdot225=450\pi\approx1413.72$ סמ"ר - פי 2 מהשטח.

מציבים את ההיקף הנתון בנוסחת ההיקף:

אורך הרדיוס של השעון הזה הוא כ-10 ס"מ.

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחת השטח, $\pi r^2=62.8$, ולקבל $r=\sqrt{\frac{62.8}{\pi}}\approx4.47$ ס"מ. הנתון הוא היקף, לא שטח.

המלבן החיצוני: אורך $6+2x$, רוחב $4+2x$.

שטח השביל = שטח המלבן החיצוני פחות שטח המדשאה:

טעות נפוצה: להוסיף $x$ רק בצד אחד, $(6+x)(4+x)-24=x^2+10x$ - השביל מקיף את המדשאה משני הצדדים.

$x=2$ או $x=-7$. רוחב שביל חיובי, ולכן $x=-7$ נפסל, ו-$x=2$.

בדיקה: $10\cdot8-24=56$.

טעות נפוצה: להשוות ל-56 את שטח המלבן החיצוני כולו, $(6+2x)(4+2x)=56$, ולקבל $x\approx1.27$ - אבל 56 הוא שטח השביל בלבד, בלי המדשאה.

עם $x=2$ המלבן החיצוני הוא $6+4=10$ על $4+4=8$ מטר:

טעות נפוצה: להוסיף את $x$ פעם אחת לכל ממד, $2(8+6)=28$ מטר.

צריך שטח שביל של 24 מ"ר (כמו המדשאה). לפי סעיף א:

$x=-6$ נפסל, ולכן רוחב השביל 1 מטר. בדיקה: $8\cdot6-24=24$.

טעות נפוצה: לחשב את השביל כארבעה פסים לאורך הצלעות, $2\cdot6x+2\cdot4x=20x=24$, ולקבל $x=1.2$ - כך נשכחים ארבעת הריבועים שבפינות, $4x^2$.

כל הגזרות יחד הן 100% מההוצאות. האחוז של מזון לא כתוב בדיאגרמה, ולכן משלימים ל-100%:

ההוצאה על מזון היא 30% מכל ההוצאות, וההוצאה על תחבורה היא 12% מאותו סכום, ולכן:

ההוצאה על מזון גדולה פי 2.5 מההוצאה על תחבורה.

טעות נפוצה: לחלק בסדר הפוך, $\frac{12}{30}=0.4$, ולענות "פי 0.4". "פי כמה גדולה ההוצאה על מזון" - ההוצאה על מזון במונה.

ההוצאה על בילויים, 480 שקלים, היא 8% מכל ההוצאות. נסמן את סך ההוצאות ב-$T$:

סך כל ההוצאות החודשיות הוא 6,000 שקלים.

טעות נפוצה: לחשב 8% מ-480, $0.08\cdot480=38.4$, ולענות 38.4 שקלים. 480 הוא החלק, וצריך למצוא את השלם - שגדול מהחלק.

שכר דירה: $0.40\cdot6{,}000=2{,}400$ שקלים.

מזון: $0.30\cdot6{,}000=1{,}800$ שקלים (30% מסעיף א).

(או: ההפרש הוא $40\%-30\%=10\%$ מסך ההוצאות, $0.1\cdot6{,}000=600$.)

טעות נפוצה: לחשב את 10% ההפרש מתוך ההוצאה על בילויים במקום מתוך סך ההוצאות: $0.1\cdot480=48$ שקלים. האחוזים בדיאגרמה הם מסך כל ההוצאות.

ההוצאה הרגילה על תחבורה: $0.12\cdot6{,}000=720$ שקלים.

ההוצאה על תחבורה בחודש זה:

סך ההוצאות לא השתנה - 6,000 שקלים (סעיף ב), ולכן:

טעות נפוצה: להחסיר את 180 השקלים גם מסך ההוצאות ולחשב $\frac{540}{5{,}820}\cdot100\approx9.28\%$. בשאלה נאמר שסך ההוצאות לא השתנה - ההוצאות האחרות גדלו.

נסמן ב-$d$ את הסכום החודשי. אחרי 5 חודשים:

(השינוי במצב החשבון הוא $-1130-(-2880)=1750$ שקלים ב-5 חודשים.)

טעות נפוצה: לחבר את שני הסכומים, $\frac{2880+1130}{5}=802$. מצב החשבון עלה מ-$(-2880)$ ל-$(-1130)$, כלומר ב-1,750 שקלים בלבד - ההפרש, לא הסכום.

בהתחלה ($x=0$) מצב החשבון $-2880$, ובכל חודש נוספים 350 שקלים (סעיף א):

בדיקה: עבור $x=5$ מתקבל $-2880+1750=-1130$, כנתון.

טעות נפוצה: לכתוב $350-2880x$ - להחליף בין המצב ההתחלתי לבין הסכום החודשי. בביטוי כזה מצב החשבון היה יורד מחודש לחודש.

מחפשים את המספר השלם הקטן ביותר $x$ שעבורו $-2880+350x\ge0$:

ההעברות הן פעם בחודש, ולכן $x$ שלם: הערך השלם הקטן ביותר הוא 9.

בדיקה: אחרי 8 חודשים $-2880+2800=-80$ (עדיין גירעון); אחרי 9 חודשים $-2880+3150=270$.

טעות נפוצה: לעגל את 8.23 למספר השלם הקרוב ולענות 8 חודשים - אבל אחרי 8 חודשים נשאר גירעון של 80 שקלים.

נסמן ב-$m$ את הסכום החודשי. כעבור 6 חודשים מצב החשבון הוא $-2880+6m$, ולא יהיה גירעון אם:

הסכום הקטן ביותר הוא 480 שקלים בחודש (ואז אחרי 6 חודשים מצב החשבון בדיוק 0).

טעות נפוצה: לחשב את הגירעון שנשאר אחרי 6 חודשים עם 350 שקלים, $-2880+2100=-780$, לחלק ב-6 ולענות 130 שקלים. 130 הוא רק מה שצריך להוסיף על 350 - הסכום החודשי עצמו הוא $350+130=480$.