מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 7 מעל רמת בגרות

טעות נפוצה: לחלק ב-6, כי בסיפור יש 6 זריקות, ולקבל $\frac{210}{6}=35$ - פחות מכל אחת מהתוצאות, ולכן בוודאי שגוי. כרגע יש רק 5 תוצאות.

כדי שהממוצע של 6 הזריקות יהיה 43 לפחות, הסכום של 6 התוצאות צריך להיות לפחות:

סכום 5 התוצאות הראשונות הוא 210 (סעיף א), ולכן הזריקה השישית צריכה להיות לפחות:

בדיקה: $\frac{210+48}{6}=\frac{258}{6}=43$.

התוצאה הקטנה ביותר היא 48 מטר.

טעות נפוצה: לחשוב שמספיק לזרוק 43 מטר, כמו הממוצע הרצוי. אז הממוצע הוא רק $\frac{210+43}{6}\approx42.17<43$ - הזריקות הקודמות מושכות את הממוצע למטה, ולכן הזריקה השישית צריכה להיות גבוהה מ-43.

ההפרש בין התוצאות: $48-40=8$ מטר.

אחוז השינוי מחושב ביחס לתוצאה שאליה משווים - הזריקה הראשונה:

תוצאת הזריקה השישית גדולה ב-20% מתוצאת הזריקה הראשונה.

טעות נפוצה: לחלק את ההפרש בתוצאה החדשה, $\frac{8}{48}\cdot100\approx16.67$, ולענות 16.67%. משווים לזריקה הראשונה, ולכן היא הבסיס.

חמש התוצאות הראשונות מסודרות לפי הגודל: $38.5,\ 40,\ 42.5,\ 44,\ 45$.

עם הזריקה השישית יש 6 נתונים, והחציון הוא הממוצע של האיבר השלישי והרביעי.

אם הזריקה השישית ארוכה מ-44 מטר (כמה שתהיה), היא נכנסת אחרי 44, והאיברים השלישי והרביעי הם 42.5 ו-44:

אם הזריקה השישית קצרה יותר, האיבר השלישי או הרביעי רק קטן, והחציון קטן מ-43.25 או שווה לו.

לכן החציון לעולם אינו עולה על 43.25 מטר, ו-$43.25<43.5$: עומר אינו צודק.

טעות נפוצה: לחשוב שזריקה ארוכה מאוד מגדילה את החציון כמו שהיא מגדילה את הממוצע (עם זריקה של 60 מטר הממוצע הוא $\frac{270}{6}=45$), ולענות שעומר צודק. החציון תלוי רק בשני האיברים האמצעיים, והם לא משתנים כשהזריקה השישית ארוכה מ-44 מטר.

מספר התוצאות האפשריות: כל אחד בוחר מתוך $n$ פתקים, ולכן $n\cdot n=n^2$ תוצאות שוות הסתברות.

התוצאות שסכומן 6: $(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)$ - 5 תוצאות, בתנאי שיש פתק 5 (כלומר $n\ge5$).

$n=8$ או $n=-8$. מספר פתקים אינו שלילי, ולכן $n=8$ (ו-$8\ge5$, כפי שהנחנו).

בדיקה: אם $n<5$ אין 5 תוצאות כאלה - למשל עבור $n=4$ ההסתברות $\frac{3}{16}$, לא $\frac{5}{64}$.

טעות נפוצה: לחשוב שמספר התוצאות האפשריות הוא $n+n=2n$, לפתור $\frac{5}{2n}=\frac{5}{64}$ ולקבל $n=32$.

המספרים הגדולים מ-5 הם 6, 7, 8 - שלושה אצל כל אחד.

התוצאות המתאימות: 3 אפשרויות לאורי כפול 3 אפשרויות לליה, $3\cdot3=9$ תוצאות מתוך 64.

טעות נפוצה: לחשב רק את ההסתברות שמספר אחד גדול מ-5, $\frac{3}{8}$. צריך ששני המספרים יהיו גדולים מ-5.

הסכום הגדול ביותר הוא $8+8=16$, ולכן הסכומים הגדולים מ-14 הם 15 ו-16.

סכום 15: $(7,8),(8,7)$. סכום 16: $(8,8)$. סך הכול 3 תוצאות.

טעות נפוצה: לספור את $(7,8)$ ו-$(8,7)$ כתוצאה אחת ולקבל $\frac{2}{64}=\frac{1}{32}$.

התוצאות שסכומן 12 (כל מספר לכל היותר 8): $(4,8),(5,7),(6,6),(7,5),(8,4)$ - 5 תוצאות.

ליה צודקת. הסיבה: כל תוצאה שסכומה 6, כמו $(1,5)$, מתאימה לתוצאה שסכומה 12, $(8,4)$, כשמחליפים כל מספר $a$ ב-$9-a$.

טעות נפוצה: לשכוח שהמספר הגדול ביותר הוא 8, לספור את כל הזוגות מ-$(1,11)$ עד $(11,1)$ - 11 תוצאות - ולענות שליה אינה צודקת כי $\frac{11}{64}\ne\frac{5}{64}$.

האלכסון הוא היתר במשולש ישר זווית שניצביו הם שתי צלעות השטיח. הצלע החסרה היא ניצב:

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים כמו בחישוב יתר, $\sqrt{5.1^2+4.5^2}=\sqrt{46.26}\approx6.8$ - צלע ארוכה מהאלכסון, וזה לא ייתכן.

אם כל צלע גדלה פי $k$, השטח גדל פי $k\cdot k=k^2$.

כל צלע גדלה פי $1.3$, כלומר ב-30%.

בדיקה: $4.5\cdot1.3=5.85$, $2.4\cdot1.3=3.12$, ו-$5.85\cdot3.12=18.252$.

טעות נפוצה: לחשב שהשטח גדל ב-69% ולחלק בין שתי הצלעות, $\frac{69\%}{2}=34.5\%$. השטח גדל פי ריבוע המכפיל של הצלעות, ולכן מוציאים שורש ולא מחלקים ב-2.

הצלעות של השטיח החדש: $5.85$ ו-$3.12$ (סעיף ב). לפי פיתגורס:

זה לא מקרה: כשכל הצלעות גדלות פי $1.3$, כל אורך במלבן - גם האלכסון - גדל פי $1.3$ ($5.1\cdot1.3=6.63$).

טעות נפוצה: להניח שהאלכסון גדל כמו השטח, ב-69%, ולענות $5.1\cdot1.69\approx8.62$ מטרים.

שטח מלבן הוא אורך כפול רוחב:

שטח רצפת האולם הוא 600 מ"ר.

טעות נפוצה: לחשב את ההיקף במקום את השטח, $2\cdot(30+20)=100$, ולענות 100 מ"ר.

שטח הרחבה הוא $24\%$ משטח האולם (600 מ"ר, סעיף א). $24\%$ הם $\frac{24}{100}=0.24$:

שטח רחבת הריקודים הוא 144 מ"ר.

טעות נפוצה: להמיר את $24\%$ ל-$0.024$ ולקבל $0.024\cdot600=14.4$ מ"ר - רחבה קטנה מאוד לאולם של 600 מ"ר.

שטח ריבוע הוא צלע כפול צלע: $a\cdot a=a^2$. שטח הרחבה הוא 144 מ"ר (סעיף ב(1)):

בדיקה: $12\cdot12=144$.

טעות נפוצה: לחלק את השטח ב-4, כמו בהיקף ריבוע: $\frac{144}{4}=36$. אבל ריבוע שצלעו 36 שטחו 1,296 מ"ר - יותר מכל האולם.

פס התאורה מקיף את הרחבה, ולכן אורכו הוא ההיקף של הריבוע (לא השטח שלו):

מחיר פס התאורה:

$4080>4000$, ולכן 4,000 שקלים לא יספיקו (חסרים 80 שקלים).

טעות נפוצה: לחבר רק שתי צלעות, $12+12=24$ מטרים, ולקבל $24\cdot85=2040<4000$ - ולהסיק שהכסף יספיק. ההיקף של ריבוע הוא סכום ארבע הצלעות.

90 כדורי העף הם $25\%$ מכל הכדורים שנמכרו. נסמן ב-$N$ את מספר הכדורים שנמכרו:

נמכרו 360 כדורים.

טעות נפוצה: לחשב $25\%$ מ-90 במקום למצוא את השלם, $90\cdot0.25=22.5$.

נמכרו 126 כדורי כדורגל, ו-144 כדורי כדורסל וכדורי טניס יחד (בדיקה: $126+90+144=360$).

טעות נפוצה: לחסר מהסך רק את כדורי העף, $360-90=270$, ולשכוח את כדורי הכדורגל.

ההכנסה מכדורגל ומכדורעף:

נסמן ב-$x$ את מספר כדורי הכדורסל. אז נמכרו $144-x$ כדורי טניס:

נמכרו 36 כדורי כדורסל ו-$144-36=108$ כדורי טניס.

בדיקה: $12{,}060+36\cdot70+108\cdot30=12{,}060+2{,}520+3{,}240=17{,}820$.

טעות נפוצה: לסמן ב-$x$ גם את מספר כדורי הכדורסל וגם את מספר כדורי הטניס, $12{,}060+70x+30x=17{,}820$, ולקבל $x=57.6$ - מספר לא שלם, וגם $2\cdot57.6\ne144$.

בדיקה: $10\%+30\%=40\%$ - הגזרה המשותפת.

טעות נפוצה: לחשב את האחוז מתוך 144 (הגזרה המשותפת) במקום מתוך כל 360 הכדורים, $\frac{36}{144}\cdot100=25\%$.

כל משלוח נוסף עולה 14 שקלים:

תוספת התשלום היא 84 שקלים.

טעות נפוצה: להוסיף גם את 480 השקלים של המנוי ולענות 564 שקלים - השאלה מבקשת רק את התוספת.

40 משלוחים כלולים במנוי. המאפייה חרגה ב-$52-40=12$ משלוחים.

תוספת התשלום: $12\cdot14=168$ שקלים.

המאפייה שילמה 648 שקלים.

טעות נפוצה: לחייב את כל 52 המשלוחים, $480+52\cdot14=1{,}208$ שקלים. רק המשלוחים שמעבר ל-40 מחויבים.

נסמן ב-$x$ את מספר המשלוחים הנוספים. התשלום הכולל הוא 480 ועוד 14 לכל משלוח נוסף:

חנות הפרחים השתמשה ב-15 משלוחים נוספים (כלומר שלחה $40+15=55$ משלוחים).

טעות נפוצה: לחלק את כל התשלום בתעריף, $\frac{690}{14}\approx49.3$ משלוחים, בלי להפחית קודם את 480 השקלים של המנוי.

המחיר מורכב מתשלום קבוע של 480 שקלים (לא תלוי ב-$x$) ועוד 14 שקלים כפול מספר המשלוחים הנוספים $x$:

זה ביטוי (3). בדיקה: עבור $x=15$ מתקבל $480+210=690$, כמו בסעיף ג.

טעות נפוצה: לבחור ב-(1), $480x+14$ - החלפה בין הקבוע למקדם של $x$, כאילו כל משלוח נוסף עולה 480 שקלים. עבור $x=15$ הוא נותן $7{,}214$ שקלים ולא 690.