בגרות במתמטיקה 172 - חורף 2024

שני השחיינים שוחים את אותו מרחק, 30 מ', עד קצה הבריכה. מי שמגיע לקצה מוקדם יותר הוא המהיר יותר.

הגרף הרציף מגיע לגובה 30 (קצה הבריכה) כעבור 20 שניות, והגרף המקווקו מגיע לגובה 30 רק כעבור 40 שניות.

אבי שוחה מהר יותר, ולכן הגרף הרציף הוא של אבי והגרף המקווקו הוא של בני. (אפשר גם לפי התלילות: הקטע העולה של הגרף הרציף תלול יותר - אותו מרחק בפחות זמן.)

טעות נפוצה: לבחור לאבי את הגרף המקווקו כי הוא "ארוך יותר" (נמשך עד 100 שניות). גרף שנמשך יותר זמן מתאר שחיין איטי יותר, לא מהיר יותר.

כשהשחיין נח, המרחק שלו מתחילת הבריכה לא משתנה - זה הקטע האופקי של הגרף (בגובה 30).

אבי (הגרף הרציף): הקטע האופקי מ-20 עד 30 שניות, כלומר $30-20=10$ שניות.

בני (הגרף המקווקו): הקטע האופקי מ-40 עד 60 שניות, כלומר $60-40=20$ שניות.

טעות נפוצה: לקרוא את הזמן שבו מתחיל הקטע האופקי ולענות שאבי נח 20 שניות ובני 40 שניות. משך המנוחה הוא אורך הקטע האופקי על ציר הזמן (ההפרש בין סופו לתחילתו), לא הזמן שבו הוא מתחיל.

השחיינים נפגשים כשהם נמצאים באותו מרחק מתחילת הבריכה באותו זמן - כלומר בנקודת החיתוך של שני הגרפים.

הגרפים נחתכים בקטע שבו אבי חוזר (בין 30 ל-50 שניות) ובני עדיין בדרך לקצה (בין 0 ל-40 שניות). הנקודה נמצאת בין קווי הרשת 30 ו-40 על ציר הזמן, קרוב יותר ל-30, בגובה של כ-25 מ'.

בדיקה בחישוב: אבי חוזר בקצב $30:20=1.5$ מ' לשנייה, ולכן מרחקו $30-1.5(t-30)$; בני שוחה בקצב $30:40=0.75$ מ' לשנייה, ולכן מרחקו $0.75t$.

השחיינים נפגשו כעבור כ-33 שניות.

טעות נפוצה: לענות 30 שניות - הזמן שבו אבי מתחיל לחזור. בזמן הזה אבי בקצה הבריכה (30 מ') ובני רק ב-$0.75\cdot30=22.5$ מ', והם עדיין לא נפגשו.

בנקודת הפגישה (כ-33 שניות) הגרף של אבי יורד - המרחק שלו מתחילת הבריכה קטן, כלומר הוא חוזר לנקודת ההתחלה.

הגרף של בני באותו זמן עולה - המרחק שלו מתחילת הבריכה גדל, כלומר הוא עדיין שוחה אל קצה הבריכה.

אחד מתקרב לנקודת ההתחלה והשני מתרחק ממנה, ולכן הם שחו בכיוונים מנוגדים.

טעות נפוצה: לענות "באותו כיוון" כי שניהם "עדיין שוחים" או כי שניהם התחילו מאותה נקודה. הכיוון נקבע לפי עלייה או ירידה של הגרף ברגע הפגישה, ולא לפי נקודת ההתחלה.

שחיין מסיים את שחייתו כשהוא חוזר לנקודת ההתחלה - הגרף שלו חוזר לגובה 0.

הגרף הרציף (אבי) חוזר ל-0 כעבור 50 שניות, והגרף המקווקו (בני) כעבור 100 שניות.

אבי סיים 50 שניות לפני בני.

טעות נפוצה: להשוות את הזמנים שבהם השחיינים סיימו לנוח והתחילו לחזור (סוף הקטע האופקי), $60-30=30$, ולענות 30 שניות. השחייה מסתיימת כשהגרף חוזר לגובה 0, לא כשהשחיין מתחיל לחזור.

על הציר האופקי מסמנים את הערכים - מספר הילדים במשפחה (1, 2, 3, 4, 5), ועל הציר האנכי את השכיחויות - מספר המשפחות.

מעל כל ערך מסרטטים מקל שגובהו השכיחות שלו: מעל 1 מקל בגובה 4, מעל 2 בגובה 8, מעל 3 בגובה 12, מעל 4 בגובה 6 ומעל 5 בגובה 2.

טעות נפוצה: להחליף בין הצירים - לסמן על הציר האופקי את מספר המשפחות ולסרטט מקלים בגובה מספר הילדים. בדיאגרמת מקלות של התפלגות, הערכים על הציר האופקי והשכיחויות הן הגבהים.

מספר המשפחות ביישוב הוא סכום השכיחויות:

מספר הילדים הכולל הוא סכום המכפלות ערך × שכיחות:

הממוצע הוא מספר הילדים הכולל חלקי מספר המשפחות:

טעות נפוצה: לחלק את מספר הילדים הכולל במספר הערכים בטבלה במקום במספר המשפחות, $\frac{90}{5}=18$ - "18 ילדים למשפחה" לא ייתכן כשהמספר הגדול ביותר בטבלה הוא 5.

יש 32 משפחות - מספר זוגי של נתונים, ולכן החציון הוא הממוצע של שני הנתונים האמצעיים, במקומות ה-16 וה-17 כשהנתונים מסודרים מהקטן לגדול.

סופרים לפי השכיחויות: משפחות עם ילד אחד - מקומות 1 עד 4; עם 2 ילדים - מקומות 5 עד 12; עם 3 ילדים - מקומות 13 עד 24.

גם המקום ה-16 וגם המקום ה-17 נמצאים בקבוצה של 3 ילדים, ולכן:

טעות נפוצה: לחשב חציון של שורת השכיחויות - לסדר את 4, 8, 12, 6, 2 מהקטן לגדול (2, 4, 6, 8, 12) ולענות 6. החציון הוא של מספר הילדים, והשכיחויות רק אומרות כמה פעמים כל ערך מופיע.

השכיח הוא הערך שהשכיחות שלו היא הגדולה ביותר.

השכיחות הגדולה ביותר היא 12 (12 משפחות), והיא שייכת לערך 3 ילדים. לכן השכיח הוא 3.

טעות נפוצה: לענות 12 - זו השכיחות (מספר המשפחות), ולא הערך השכיח (מספר הילדים).

המאורעות "2 ילדים" ו-"3 ילדים" זרים, ולכן מחברים את השכיחויות: $8+12=20$ משפחות מתאימות מתוך 32.

טעות נפוצה: להתייחס לערכים שבטבלה כאילו הם שווי הסתברות - "2 או 3 הם שני ערכים מתוך חמישה" - ולענות $\frac25$. ההסתברות נקבעת לפי מספר המשפחות בכל ערך, לא לפי מספר הערכים.

השכיח הוא 3 (סעיף ד). "קטן מהשכיח" פירושו 1 ילד או 2 ילדים: $4+8=12$ משפחות מתוך 32.

טעות נפוצה: לכלול גם את המשפחות עם 3 ילדים ("עד השכיח"), $\frac{4+8+12}{32}=\frac{24}{32}=\frac34$. "קטן מ-3" לא כולל את 3.

נסמן ב-$x$ את הצלע הקטנה של החניון המקורי (במטרים). הצלע הגדולה גדולה ממנה ב-20: $x+20$.

אחרי ההרחבה: הצלע הגדולה גדלה ב-20%, כלומר הוכפלה ב-$1.2$: $1.2(x+20)=1.2x+24$. הצלע הקטנה גדלה פי 2: $2x$.

היקף מלבן הוא פעמיים סכום שתי צלעות סמוכות, וההיקף החדש הוא 80:

ממדי החניון המקורי: 5 מ' על $5+20=25$ מ'.

היקף החניון המקורי: $2(5+25)=60$ מ'.

בדיקה: אחרי ההרחבה הממדים $10$ על $30$, וההיקף $2(10+30)=80$ מ'.

טעות נפוצה: להגדיל ב-20% רק את ה-$x$ ולא את כל הצלע, ולכתוב $1.2x+20$ במקום $1.2(x+20)$. אז המשוואה $2(1.2x+20+2x)=80$ נותנת $x=6.25$, והממדים $6.25$ על $26.25$ - ובדיקה מראה שההיקף אחרי ההרחבה יוצא $2(12.5+31.5)=88$ ולא 80.

האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים ישרי זווית. באחד מהם הניצבים הם שתי צלעות המלבן (2.3 והצלע החסרה), והיתר הוא האלכסון (2.8).

לפי משפט פיתגורס, הניצב החסר הוא שורש ההפרש של הריבועים:

מידות השטיח: 2.3 מ' על כ-1.6 מ'.

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים כאילו האלכסון הוא ניצב, $\sqrt{2.8^2+2.3^2}=\sqrt{13.13}\approx3.62$ מ' - צלע ארוכה מהאלכסון, וזה בלתי אפשרי.

שטח החדר: $4.2\cdot3.8=15.96$ מ"ר.

20% משטח החדר: $0.2\cdot15.96=3.192$ מ"ר - זה השטח הגדול ביותר שמותר לשטיח לכסות.

שטח השטיח (בערך המדויק של הצלע): $2.3\cdot\sqrt{2.55}\approx3.67$ מ"ר (עם הצלע המעוגלת, $2.3\cdot1.6=3.68$).

$3.67>3.192$, ולכן השטיח מכסה יותר מ-20% משטח החדר ($\frac{3.67}{15.96}\cdot100\approx23\%$) ואינו עונה על הדרישה של דלית.

טעות נפוצה: לחשב את החלק $\frac{3.67}{15.96}\approx0.23$ ולהשוות אותו ישירות ל-20: $0.23<20$, ולענות שהשטיח עונה על הדרישה. $0.23$ הוא שבר עשרוני; באחוזים זה $23\%$, יותר מ-$20\%$.

בתבנית $y=mx+b$ המספר $b$ הוא הסכום כשאף תלמיד לא שילם ($x=0$) - נקודת החיתוך של הישר עם ציר $y$. המספר $m$ הוא התוספת לכל תלמיד - ככל שהוא גדול יותר, הישר תלול יותר.

בתבנית (1) הקבוע $1500$ גדול מ-$1200$, ולכן הישר שלה חותך את ציר $y$ גבוה יותר; המקדם $5$ קטן מ-$8$, ולכן הוא מתון יותר. זה הישר המסומן ב.

בתבנית (2) הקבוע קטן יותר והמקדם גדול יותר: הישר מתחיל נמוך יותר ותלול יותר. זה הישר המסומן א.

טעות נפוצה: להתאים לפי שם בית הספר - תבנית (1) היא של בית ספר א, ולכן "הישר א" - ולענות (1) עם א ו-(2) עם ב. ההתאמה נעשית לפי נקודת החיתוך עם ציר $y$ והתלילות שבסרטוט, ולא לפי האות.

בנקודת החיתוך ערך $y$ שווה בשתי התבניות, ולכן משווים:

מציבים בתבנית (1): $y=5\cdot100+1500=2000$ (בדיקה בתבנית (2): $8\cdot100+1200=2000$).

נקודת החיתוך: $(100,\,2000)$ - כש-100 תלמידים משלמים, בשני בתי הספר נאסף אותו סכום, 2,000 שקלים.

טעות נפוצה: להעביר אגפים בלי להפוך סימן, $1500+1200=8x-5x$, כלומר $3x=2700$, ולקבל $x=900$ ו-$y=5\cdot900+1500=6000$.

מציבים $y=2800$ בכל תבנית ופותרים.

בית ספר א: $5x+1500=2800\ \Rightarrow\ 5x=1300\ \Rightarrow\ x=260$

בית ספר ב: $8x+1200=2800\ \Rightarrow\ 8x=1600\ \Rightarrow\ x=200$

$260>200$, ולכן בבית ספר א שילמו יותר תלמידים.

טעות נפוצה: לשכוח את הסכום שנתן המנהל ולחלק את כל הסכום בתשלום לתלמיד, $\frac{2800}{5}=560$ ו-$\frac{2800}{8}=350$.

כל הגזרות יחד הן כל ההוצאות, $100\%$. לכן:

משפחת סלע מוציאה $18\%$ מההוצאות על 'שונות'.

טעות נפוצה: לשכוח את אחת הגזרות (למשל החשבונות) ולקבל $100-50-20=30\%$.

סופרמרקט: $50\%$ מ-5,000:

חינוך: $20\%$ מ-5,000:

טעות נפוצה: לחשב את ההוצאה על חינוך מתוך ההוצאה על הסופרמרקט שחושבה קודם, $0.2\cdot2500=500$ שקלים. האחוזים בדיאגרמה הם מכל ההוצאה, 5,000 שקלים, ולא מגזרה אחרת.

החשבונות הם $12\%$ מכל ההוצאה. אם נסמן את ההוצאה החודשית ב-$x$:

ההוצאה החודשית הייתה כ-10,333 שקלים.

טעות נפוצה: לחשב $12\%$ מ-1,240 במקום למצוא את השלם, $1240\cdot0.12=148.8$ - הוצאה כוללת קטנה מההוצאה על החשבונות לבדה.