בגרות במתמטיקה 172 - קיץ 2024 מועד ב'

כדי שהממוצע יעלה מ-72 ל-75, הציון שמוסיפים חייב להיות גדול מהממוצע הקיים: ציון קטן מהממוצע מוריד אותו, וציון ששווה לממוצע אינו משנה אותו.

אפשר גם לחשב את הציון הדרוש. סכום ששת הציונים צריך להיות $6\cdot75=450$, וסכום חמשת הציונים הוא $5\cdot72=360$:

הציון במבחן השישי צריך להיות 90, וזה גדול מ-72.

טעות נפוצה: לחשוב שמספיק לקבל 75, הממוצע הרצוי. אבל אז הממוצע יהיה $\frac{360+75}{6}=72.5$, ולא 75.

סכום חמשת הציונים הראשונים: $5\cdot72=360$.

מוסיפים את הציון השישי ומחלקים ב-6:

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של הממוצע הישן ושל הציון החדש, $\frac{72+96}{2}=84$. הציון 96 הוא אחד מתוך שישה ציונים, לא אחד מתוך שניים.

לא צריך לדעת איזה ציון הועלה: סכום הציונים גדל ב-6 נקודות, ומספר הציונים נשאר 6.

בדרך אחרת: תוספת של 6 נקודות לציון אחד מעלה את הממוצע ב-$\frac{6}{6}=1$, ולכן $76+1=77$.

טעות נפוצה: להוסיף את 6 הנקודות לממוצע עצמו ולענות 82. התוספת מתחלקת בין ששת המבחנים, ולכן הממוצע עולה רק ב-1.

לכל קובייה 6 תוצאות, ולכן בהטלת שתי הקוביות יש $6\cdot6=36$ תוצאות שוות הסתברות (זוגות: מספר בקובייה הראשונה, מספר בקובייה השנייה).

אותו מספר בשתי הקוביות: $(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)$ - 6 תוצאות.

טעות נפוצה: לחשוב שיש $6+6=12$ תוצאות, ולקבל $\frac{6}{12}=\frac12$. כל תוצאה של קובייה אחת מתחברת לכל תוצאה של השנייה, ולכן יש $6\cdot6=36$ תוצאות.

סכום 3 מתקבל רק מ-1 ומ-2, בשני סדרים: $(1,2)$ - 1 בקובייה הראשונה ו-2 בשנייה, ו-$(2,1)$ - להפך. אלה שתי תוצאות שונות מתוך 36.

טעות נפוצה: לחשוב שכל אחד מן הסכומים 2 עד 12 מתקבל באותה הסתברות, ולענות $\frac{1}{11}$. הסכומים אינם שווי הסתברות: סכום 3 מתקבל בשתי תוצאות, וסכום 7 בשש.

הסכום הקטן ביותר האפשרי הוא $1+1=2$. "קטן מ-3" פירושו סכום 2 בלבד (3 עצמו לא נכלל).

סכום 2 מתקבל רק בתוצאה $(1,1)$:

טעות נפוצה: להבין "סכום קטן מ-3" כאילו כל אחד מן המספרים קטן מ-3, ולספור את $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$ - ולקבל $\frac{4}{36}=\frac19$. התנאי הוא על הסכום, ו-$(1,2)$ למשל נותן סכום 3, שאינו קטן מ-3.

"גדול מ-10" פירושו סכום 11 או 12.

סכום 11: $(5,6)$ ו-$(6,5)$ - שתי תוצאות. סכום 12: $(6,6)$ - תוצאה אחת.

טעות נפוצה: לחשב לפי הסכומים - 2 סכומים מתאימים (11, 12) מתוך 11 סכומים אפשריים - ולקבל $\frac{2}{11}$. צריך לספור תוצאות (זוגות), לא סכומים.

המסך הוא מלבן, והאלכסון יוצר עם האורך ועם הרוחב משולש ישר זווית. האלכסון הוא היתר (מול הזווית הישרה), והאורך והרוחב הם הניצבים.

לפי משפט פיתגורס, כשמחפשים ניצב מחסרים את ריבוע הניצב הידוע מריבוע היתר:

רוחב המסך כ-44.9 ס"מ.

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים במקום לחסר, $\sqrt{90^2+78^2}\approx119.1$ - רוחב שגדול אפילו מהאלכסון, וזה בלתי אפשרי.

שטח מלבן הוא אורך כפול רוחב:

(עם הרוחב המעוגל: $78\cdot44.9=3502.2$ - אותה תוצאה.)

שטח המסך כ-3,502 סמ"ר.

טעות נפוצה: לכפול את האורך באלכסון, $78\cdot90=7020$ סמ"ר. האלכסון אינו צלע של המלבן.

שטח התמונה: $40^2=1600$ סמ"ר.

אחוז = החלק חלקי השלם, כפול 100:

שטח התמונה הוא כ-45.7% משטח המסך.

טעות נפוצה: להשוות אורכים במקום שטחים - את צלע התמונה לאורך המסך - ולקבל $\frac{40}{78}\cdot100\approx51.3\%$. האחוז נשאל על השטח, ולכן משווים שטח לשטח.

הצלע הקצרה היא $x$, והצלע הארוכה גדולה ממנה ב-12: $x+12$.

הגדר מקיפה את המגרש, ולכן אורכה הוא היקף המלבן - שתי צלעות קצרות ושתי צלעות ארוכות:

טעות נפוצה: לכתוב את הצלע הארוכה כ-$12x$ ("גדולה פי 12" במקום "גדולה ב-12") ולקבל $2x+24x=26x$.

הצלע הקצרה לא השתנתה: $x$. הצלע הארוכה גדלה ב-3: $x+12+3=x+15$.

טעות נפוצה: להוסיף את 3 המטרים רק פעם אחת לביטוי מסעיף א, ולקבל $4x+27$. הצלע הארוכה מופיעה במלבן פעמיים, ושתיהן התארכו.

מחסרים את אורך הגדר לפני ההגדלה מאורכה אחרי ההגדלה:

התווספו 6 מטרים - כל אחת משתי הצלעות הארוכות התארכה ב-3 מטר. התוספת לא תלויה ב-$x$.

טעות נפוצה: לענות 3 מטרים, כאילו רק צלע אחת התארכה.

אורך הגדר אחרי ההגדלה הוא הביטוי מסעיף ב:

בדיקה: הצלעות אחרי ההגדלה 7.5 ו-22.5, וההיקף $2\cdot7.5+2\cdot22.5=60$.

טעות נפוצה: להשתמש בביטוי של הגדר לפני ההגדלה, $4x+24=60$, ולקבל $x=9$.

בכל חודש משלמות 8 משפחות 50 שקלים כל אחת, ולכן נכנסים לקופה $8\cdot50=400$ שקלים בחודש - זה המקדם של $x$.

בתחילת התקופה ($x=0$) היה בקופה חוב של 1,000 שקלים, כלומר $-1{,}000$ - זה המספר החופשי.

זו תבנית (3).

טעות נפוצה: לבחור את תבנית (2), $y=50x-1{,}000$ - לשכוח שמשלמות 8 משפחות ולקחת רק את התשלום של משפחה אחת.

מחפשים מתי $y=0$:

הכסף נאסף פעם בחודש, ולכן אחרי חודשיים המאזן עדיין שלילי ($400\cdot2-1{,}000=-200$), ואחרי 3 חודשים הוא חיובי ($400\cdot3-1{,}000=200$).

החוב יכוסה כעבור 3 חודשים.

טעות נפוצה: לעגל את 2.5 כלפי מטה ולענות כעבור חודשיים - אבל אז בקופה עדיין חוב של 200 שקלים.

מחפשים מתי $y=5{,}000$:

כעבור 15 חודשים.

טעות נפוצה: לשכוח את החוב ולפתור $400x=5{,}000$, ולקבל $x=12.5$, כלומר 13 חודשים. אבל קודם צריך לכסות חוב של 1,000 שקלים, ולכן צריך לאסוף $6{,}000$ שקלים.

מוצאים על הציר האנכי את 3,000, הולכים אופקית עד הישר, ויורדים לציר החודשים: $x=10$.

בדיקה בתבנית: $400\cdot10-1{,}000=3{,}000$.

טעות נפוצה: לקרוא את הערך בכיוון ההפוך - למצוא את 3 על ציר החודשים ולקרוא שם את הסכום ($200$ שקלים).

מוצאים את 5 על ציר החודשים, עולים עד הישר וקוראים על הציר האנכי: 1,000 שקלים.

בדיקה בתבנית: $400\cdot5-1{,}000=1{,}000$.

טעות נפוצה: להציב בתבנית $y=400x+1{,}000$ (חוב כסכום חיובי) ולקבל 3,000 שקלים - אבל בגרף רואים שב-$x=5$ הסכום קטן בהרבה.

משך החנייה: מ-7:00 עד 10:00 - 3 שעות.

בגרף, 3 שעות נמצאות במדרגה שמעל 2 שעות ועד 4 שעות, שגובהה 8.

מר לוי שילם 8 שקלים.

טעות נפוצה: לקרוא את הגרף בשעה 10 (שעת היציאה) במקום במשך החנייה, ולענות 14 שקלים.

בחניון ב': 5 שעות נמצאות במדרגה שמעל 4 שעות, שגובהה 14 שקלים.

בחניון א': 12 שקלים, בלי קשר למשך החנייה.

$12<14$, ולכן מר לוי בחר בחניון א' וישלם 12 שקלים.

טעות נפוצה: לענות 14 שקלים - זה המחיר בחניון ב', אבל מר לוי בחר בחניון הזול יותר.

חניון ב' זול יותר כשהתשלום בו קטן מ-12 שקלים.

עד 2 שעות (כולל) משלמים 5 שקלים, ומעל 2 ועד 4 שעות (כולל) - 8 שקלים. שני המחירים קטנים מ-12.

מעל 4 שעות משלמים 14 שקלים - יותר מ-12.

לכן מר לוי מתכוון לשהות במרכז העיר 4 שעות לכל היותר.

טעות נפוצה: לענות "פחות מ-4 שעות". ב-4 שעות בדיוק הנקודה המלאה נמצאת במדרגה של 8 שקלים, ולכן גם חנייה של 4 שעות זולה יותר בחניון ב'.