בגרות במתמטיקה 172 - קיץ 2025 מועד א'

גובה כל עמודה הוא מספר הספורטאים שזכו במספר המדליות שמתחתיה. מספר הספורטאים הוא סכום גובהי העמודות:

טעות נפוצה: לסכם את מספרי המדליות במקום את מספרי הספורטאים, $0\cdot4+1\cdot6+2\cdot8+3\cdot5+4\cdot2=45$, ולענות 45 - זה מספר המדליות שחולקו, לא מספר המשתתפים.

כל עמודה היא קבוצה של ספורטאים עם אותו מספר מדליות, ולכן זה ממוצע משוקלל: כופלים כל מספר מדליות במספר הספורטאים שזכו בו, מסכמים, ומחלקים במספר הספורטאים (סעיף א(1)).

סך המדליות:

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של מספרי המדליות שעל הציר בלי להתחשב בשכיחויות, $\frac{0+1+2+3+4}{5}=2$. כל ערך מופיע מספר שונה של פעמים, ולכן צריך ממוצע משוקלל.

הממוצע הוא 1.8 (סעיף א(2)). מספרי המדליות שגדולים מ-1.8 הם 2, 3 ו-4.

מספר הספורטאים שזכו ב-2, 3 או 4 מדליות:

האחוז מתוך כל 25 הספורטאים:

טעות נפוצה: לעגל את הממוצע ל-2 ולספור רק את מי שזכו ביותר מ-2 מדליות, $5+2=7$, ולקבל $\frac{7}{25}=28\%$. מי שזכו ב-2 מדליות זכו ביותר מ-1.8, ולכן גם הם מעל הממוצע.

הספורטאי הנוסף זכה ב-2 מדליות, וזה יותר מהממוצע הקודם, 1.8.

כשמוסיפים נתון שגדול מהממוצע, הממוצע גדל; נתון שקטן מהממוצע מקטין אותו; ונתון ששווה לממוצע לא משנה אותו.

בדיקה בחישוב: סך המדליות $45+2=47$, מספר הספורטאים $25+1=26$:

לכן הממוצע גדל.

טעות נפוצה: לחשוב שכיוון שנוסף ספורטאי מחלקים ביותר אנשים ולכן הממוצע קטן. המכנה אמנם גדל, אבל גם המונה גדל ב-2, יותר מהממוצע - ולכן הממוצע גדל.

כל 28 האבנים שוות סיכוי להיבחר, ולכן ההסתברות היא מספר האבנים המתאימות חלקי 28.

יש בדיוק אבן אחת שעליה רשומים 6 ו-6, האבן $[6\,|\,6]$:

טעות נפוצה: לחשוב על שני מספרים שנבחרים זה אחר זה, כל אחד בהסתברות $\frac{1}{7}$, ולחשב $\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{7}=\frac{1}{49}$. כאן בוחרים אבן אחת מתוך 28 אבנים, וכל אבן מופיעה פעם אחת.

האבנים שעליהן שני מספרים זהים הן האבן הראשונה בכל שורה בתרשים:

$[0\,|\,0]$, $[1\,|\,1]$, $[2\,|\,2]$, $[3\,|\,3]$, $[4\,|\,4]$, $[5\,|\,5]$, $[6\,|\,6]$ - 7 אבנים.

טעות נפוצה: לספור את הדאבלים מ-1 עד 6, כמו בקובייה, ולשכוח את $[0\,|\,0]$ - ולקבל $\frac{6}{28}=\frac{3}{14}$.

מחפשים זוגות של מספרים מ-0 עד 6 שסכומם 7: $1+6$, $2+5$, $3+4$ (אין זוג עם 0, כי $0+7$ דורש את 7).

על כל זוג כזה יש אבן אחת בלבד: $[1\,|\,6]$, $[2\,|\,5]$, $[3\,|\,4]$.

טעות נפוצה: לספור את $[1\,|\,6]$ ו-$[6\,|\,1]$ כשתי תוצאות שונות, כמו בהטלת שתי קוביות, לקבל 6 זוגות מתוך $7\cdot7=49$ ולענות $\frac{6}{49}$. אבן דומינו אחת היא גם $[1\,|\,6]$ וגם $[6\,|\,1]$, ובערכה 28 אבנים.

זוגות של מספרים מ-0 עד 6 שמכפלתם 6: $1\cdot6$ ו-$2\cdot3$.

האבנים המתאימות: $[1\,|\,6]$ ו-$[2\,|\,3]$.

טעות נפוצה: לספור כל זוג פעמיים ($[1\,|\,6]$, $[6\,|\,1]$, $[2\,|\,3]$, $[3\,|\,2]$) ולקבל $\frac{4}{28}=\frac{1}{7}$. אין בערכה שתי אבנים עם אותו זוג מספרים.

שטח ריבוע הוא הצלע בריבוע: $a^2=1{,}225$.

הצלע היא מספר חיובי שריבועו 1,225:

אורך צלע המגרש 35 מטרים.

טעות נפוצה: לחלק את השטח ב-4, כמו שמוצאים צלע מתוך היקף, ולקבל $\frac{1{,}225}{4}=306.25$ מטרים. מתוך השטח מוציאים שורש.

האלכסון מחלק את הריבוע לשני משולשים ישרי זווית, שהניצבים בהם הם שתי צלעות הריבוע (35 מטרים) והיתר הוא האלכסון.

לפי משפט פיתגורס:

אורך האלכסון כ-49.5 מטרים.

טעות נפוצה: לחבר את שתי הצלעות, $35+35=70$ מטרים. זה אורך הדרך לאורך שתי צלעות; האלכסון קצר ממנה.

הגדלה ב-20% פירושה שהצלע החדשה היא 120% מהצלע המקורית, כלומר כפל ב-1.2:

אורך הצלע של המגרש החדש 42 מטרים.

טעות נפוצה: להוסיף 20 מטרים במקום 20%, ולקבל $35+20=55$ מטרים. 20% מ-35 הם רק 7 מטרים.

שטח המגרש החדש: $42^2=1{,}764$ מ"ר.

ההגדלה בשטח: $1{,}764-1{,}225=539$ מ"ר.

אחוז ההגדלה ביחס לשטח המקורי:

(אפשר גם כך: כל צלע הוכפלה ב-1.2, ולכן השטח הוכפל ב-$1.2^2=1.44$ - גדל ב-44%.)

טעות נפוצה: לחשוב שאם כל צלע גדלה ב-20% גם השטח גדל ב-20%. השטח הוא מכפלה של שתי צלעות, וכל אחת מהן גדלה, ולכן השטח גדל ביותר.

$CD$ הוא קוטר העיגול, והוא צלע של המלבן שמול $AB$, ולכן $CD=AB=50$ ס"מ.

הרדיוס הוא חצי מהקוטר: $r=\frac{50}{2}=25$ ס"מ.

שטח חצי עיגול הוא חצי משטח העיגול:

טעות נפוצה: להציב את הקוטר במקום הרדיוס, $\frac{\pi\cdot50^2}{2}\approx3{,}926.99$ סמ"ר - פי 4 מהשטח הנכון.

שטח הראי הוא סכום שטח המלבן ושטח חצי העיגול.

שטח המלבן: $50\cdot80=4{,}000$ סמ"ר.

טעות נפוצה: לחבר לשטח המלבן את שטח העיגול השלם, $4{,}000+1{,}963.5=5{,}963.5$ סמ"ר. מעל המלבן יש רק חצי עיגול.

המסגרת עוברת לאורך קו המתאר של הראי: הצלעות $DA$, $AB$, $BC$ וקשת חצי העיגול. הקטע $CD$ (המקווקו) נמצא בתוך הראי, ולכן אינו חלק מהמסגרת.

אורך הקשת הוא חצי מהיקף המעגל: $\frac{2\pi r}{2}=\pi\cdot25\approx78.54$ ס"מ.

טעות נפוצה: לחשב את היקף המלבן כולו ($260$ ס"מ) ולהוסיף את הקשת, ולקבל $338.54$ ס"מ - כך גם הקטע $CD$, שבתוך הראי, נכלל במסגרת.

המחיר נתון למטר, והאורך חושב בס"מ - קודם ממירים: $288.54$ ס"מ $=2.8854$ מטרים.

$346.25<360$, ולכן הסכום יספיק (וישארו לנדב כ-13.75 שקלים).

טעות נפוצה: לכפול את האורך בס"מ במחיר למטר, $288.54\cdot120\approx34{,}624.8$, ולענות שהסכום לא יספיק.

מחפשים בגרף את המדרגה שמעל המשקל 400 גרם. 400 נמצא בין 350 ל-500, והמדרגה בתחום הזה נמצאת בגובה 23.

לכן המחיר של משלוח חבילה של 400 גרם הוא 23 שקלים.

טעות נפוצה: לקרוא את המדרגה הקודמת, זו שמסתיימת ב-350 גרם, ולענות 20 שקלים. 400 גרם גדול מ-350, ולכן הוא במדרגה הבאה.

המדרגה בגובה 20 שקלים מתחילה ב-200 גרם בנקודה ריקה ומסתיימת ב-350 גרם בנקודה מלאה.

נקודה מלאה פירושה שהמשקל 350 גרם עצמו שייך למדרגה הזאת (מחירו 20), ונקודה ריקה פירושה שהמשקל 200 אינו שייך לה (מחירו 9).

לכן המשקל הגבוה ביותר שמחירו 20 שקלים הוא 350 גרם.

טעות נפוצה: לענות 200 גרם, כי שם מתחילה המדרגה של 20 שקלים. ב-200 הנקודה ריקה, ובכל מקרה מבקשים את המשקל הגבוה ביותר - קצה המדרגה הימני.

אילו שלחה בנפרד:

חבילה של 30 גרם (בין 0 ל-50): 4 שקלים.

חבילה של 150 גרם (בין 50 ל-200): 9 שקלים.

סך הכול $4+9=13$ שקלים.

במשלוח אחד: $30+150=180$ גרם, בין 50 ל-200, ולכן המחיר 9 שקלים.

החיסכון: $13-9=4$ שקלים.

טעות נפוצה: להניח שמחיר משלוח של 180 גרם שווה לסכום המחירים של החבילות, 13 שקלים, ולענות שדינה לא חסכה כלום. המחיר בגרף אינו פרופורציוני למשקל: 180 גרם עדיין באותה מדרגה כמו 150 גרם.

לפי אפשרות ב' משלמים 160 שקלים על כל שיעור, ולכן על 15 שיעורים:

טעות נפוצה: לחלק את הסכום של אפשרות א' במספר השיעורים, $\frac{5{,}120}{15}\approx341.33$, ולענות שזה המחיר לפי אפשרות ב'. אפשרות ב' היא תשלום לכל שיעור, בלי קשר ל-5,120.

לפי אפשרות א' נועה תשלם 5,120 שקלים, בלי קשר למספר השיעורים.

לפי אפשרות ב' היא תשלם על 28 שיעורים:

$4{,}480<5{,}120$, ולכן אפשרות ב' משתלמת יותר לנועה (היא חוסכת 640 שקלים).

טעות נפוצה: לבחור באפשרות א' בלי לחשב, כי היא 'ללא הגבלה' ונראית משתלמת למי שלומד הרבה שיעורים. עבור 28 שיעורים אפשרות א' יקרה ב-640 שקלים.

לפי אפשרות ב' כל שיעור עולה 160 שקלים, ולכן על $x$ שיעורים אורלי שילמה $160$ כפול $x$:

בדיקה: עבור $x=15$ מקבלים $2{,}400$, כמו בסעיף א.

טעות נפוצה: לכתוב $160+x$. על כל שיעור משלמים 160, ולכן כופלים במספר השיעורים ולא מוסיפים אותו.

המחיר לפי אפשרות ב' הוא $160x$ (סעיף ג(1)), והמחיר לפי אפשרות א' הוא 5,120. משווים:

אורלי למדה 32 שיעורי נהיגה. בדיקה: $32\cdot160=5{,}120$.

טעות נפוצה: לפתור את המשוואה בחיסור, $x=5{,}120-160=4{,}960$. כדי לבודד את $x$ מתוך $160x$ מחלקים ב-160.