בגרות במתמטיקה 172 - חורף 2026

הממוצע הוא סכום התוצאות חלקי מספר התוצאות.

הממוצע של 5 הקפיצות הוא 3.98 מטר.

טעות נפוצה: לבחור את התוצאה האמצעית בטבלה, 4 מטר, ולענות שזה הממוצע. 4 הוא החציון של 5 התוצאות, לא הממוצע שלהן.

"גדולה ב-30%" פירושו התוצאה הראשונה ועוד 30% ממנה, כלומר $100\%+30\%=130\%$ מהתוצאה הראשונה.

התוצאה הראשונה היא 3.6 מטר, ולכן מכפילים ב-1.3:

תוצאת הקפיצה השישית היא 4.68 מטר.

טעות נפוצה: לחשב רק את 30% מהתוצאה, $0.3\cdot3.6=1.08$, ולענות 1.08 מטר. זו התוספת בלבד; צריך להוסיף אותה לתוצאה הראשונה.

מסדרים את 6 התוצאות מהקטנה לגדולה (התוצאה השישית מסעיף ב היא הגדולה ביותר):

מספר התוצאות זוגי, ולכן החציון הוא הממוצע של שתי התוצאות האמצעיות - השלישית והרביעית:

החציון הוא 4.05 מטר.

טעות נפוצה: לחשב $\frac{6}{2}=3$ ולקחת רק את התוצאה השלישית, 4 מטר. כשמספר הנתונים זוגי יש שני איברים אמצעיים, והחציון הוא הממוצע שלהם.

סכום 5 התוצאות הראשונות הוא 19.9 (סעיף א), ומוסיפים את התוצאה השישית:

$4.097\ge4$, ולכן נעמה השיגה את מטרתה.

טעות נפוצה: לבדוק את הממוצע של 5 הקפיצות מסעיף א, $3.98<4$, ולענות שנעמה לא השיגה את מטרתה. המטרה היא על הממוצע של כל 6 הקפיצות, כולל השישית.

ההסתברות שאיילת בוחרת את הקלף 3 היא $\frac14$ (קלף אחד מתוך 4), וההסתברות שחני בוחרת את הקלף 2 היא $\frac13$.

הבחירות לא משפיעות זו על זו, ולכן מכפילים:

דרך אחרת: יש $4\cdot3=12$ זוגות קלפים שווי הסתברות, ורק הזוג $(3,2)$ מתאים.

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות במקום לכפול: $\frac14+\frac13=\frac{7}{12}$. כששני דברים צריכים לקרות יחד, ההסתברות קטנה מכל אחת מהן - ולכן כופלים.

יש $4\cdot3=12$ זוגות קלפים אפשריים, כולם שווי הסתברות.

המספרים שמופיעים גם אצל איילת וגם אצל חני הם 1 ו-2, ולכן הזוגות המתאימים הם $(1,1)$ ו-$(2,2)$:

טעות נפוצה: לחשוב שלכל קלף שאיילת בוחרת יש לחני קלף מתאים אחד מתוך 3, ולענות $\frac13$. לקלפים 3 ו-4 של איילת אין קלף מתאים אצל חני.

בונים טבלה של כל הסכומים (שורה - הקלף של איילת, עמודה - הקלף של חני):

הסכום הקטן ביותר הוא $1+0=1$ והגדול ביותר $4+2=6$, וכל מספר שלם ביניהם מתקבל.

הסכומים האפשריים: $1, 2, 3, 4, 5, 6$.

טעות נפוצה: לשכוח את הקלף 0 של חני ("אפס לא מוסיף כלום") ולענות שהסכומים הם $2, 3, 4, 5, 6$ - אבל $1+0=1$ הוא סכום אפשרי.

בטבלה מסעיף ג(1) הסכום 4 מתקבל ב-3 זוגות: $(2,2)$, $(3,1)$, $(4,0)$.

טעות נפוצה: לחבר את מספרי הקלפים במקום לכפול, ולחשוב שיש $4+3=7$ תוצאות: $\frac37$. מספר הזוגות האפשריים הוא $4\cdot3=12$.

הרוחב של כל דלת הוא $\frac14$ מרוחב הארון, 3 מטר:

(גם: 4 דלתות זהות ממלאות את כל הרוחב, $3:4=0.75$.)

הרוחב של דלת אחת הוא 0.75 מטר.

טעות נפוצה: לחלק ב-$\frac14$ במקום לכפול, $3:\frac14=12$, ולענות 12 מטר - דלת רחבה מכל הארון.

הדלת היא מלבן שרוחבו 0.75 מטר (סעיף א) וגובהו כגובה הארון, 1.8 מטר:

השטח של דלת אחת הוא 1.35 מ"ר.

טעות נפוצה: לחשב את ההיקף במקום את השטח, $2\cdot(0.75+1.8)=5.1$. שטח של מלבן הוא מכפלת האורך ברוחב.

פס עץ מונח על אלכסון של דלת. האלכסון מחלק את הדלת המלבנית לשני משולשים ישרי זווית, והוא היתר בהם. הניצבים הם הרוחב, 0.75, והגובה, 1.8.

לפי משפט פיתגורס:

האורך של פס עץ אחד הוא 1.95 מטר.

טעות נפוצה: לחסר את ריבועי הניצבים במקום לחבר, $\sqrt{1.8^2-0.75^2}=\sqrt{2.6775}\approx1.64$ - קצר מגובה הדלת, אף על פי שהאלכסון הוא הצלע הארוכה ביותר במשולש.

שני האלכסונים של מלבן שווים, ולכן האורך הכולל של שני הפסים הוא:

המחיר של מטר אחד הוא 82 שקלים:

המחיר של שני הפסים הוא 319.8 שקלים.

טעות נפוצה: לחשב את המחיר של פס אחד בלבד, $1.95\cdot82=159.9$ שקלים. דורון הדביק שני פסים - על שני האלכסונים.

שטח עיגול שרדיוסו $r$ הוא $S=\pi r^2$. הרדיוס של הצלחת הלבנה הוא 10 ס"מ:

שטח הצלחת הלבנה הוא $100\pi\approx314.16$ סמ"ר.

טעות נפוצה: להציב את הקוטר, 20, במקום הרדיוס: $\pi\cdot20^2=400\pi\approx1256.6$ - פי 4 מהשטח הנכון.

היקף מעגל שרדיוסו $r$ הוא $P=2\pi r$:

היקף הצלחת הלבנה הוא $20\pi\approx62.83$ ס"מ.

טעות נפוצה: לשכוח את ה-2 בנוסחה ולחשב $\pi\cdot10=10\pi\approx31.42$ - זה חצי מההיקף.

"גדול ב-96%" פירושו השטח של הצלחת הלבנה ועוד 96% ממנו, כלומר $196\%$ ממנו - מכפילים ב-1.96:

השטח של הצלחת האפורה הוא $196\pi\approx615.75$ סמ"ר.

טעות נפוצה: לחשב רק 96% מהשטח, $0.96\cdot100\pi=96\pi\approx301.6$ - קטן מהצלחת הלבנה, אף על פי שהצלחת האפורה גדולה ממנה.

נסמן ב-$R$ את רדיוס הצלחת האפורה. לפי סעיף ג:

(הרדיוס חיובי.) הרדיוס של הצלחת האפורה הוא 14 ס"מ.

טעות נפוצה: להגדיל גם את הרדיוס ב-96%, $10\cdot1.96=19.6$ ס"מ. השטח תלוי בריבוע הרדיוס, ולכן כשהשטח גדל פי 1.96 הרדיוס גדל רק פי $\sqrt{1.96}=1.4$.

מתרגמים כל עמודה לשקלים לפי המקרא (● = 150, ■ = 250, ★ = 1,500):

ציוד: $3\cdot250=750$

פרסום: $3\cdot250+3\cdot150=750+450=1200$

מיסים: $1500+2\cdot250+150=2150$

משכורות: $4\cdot1500=6000$

מים וחשמל: $1500+250+150=1900$

סך כל ההוצאות הוא 12,000 שקלים.

טעות נפוצה: לספור את הסמלים (20) ולהכפיל בערך של סמל אחד, למשל $20\cdot250=5{,}000$. לכל סמל ערך אחר, ולכן מתרגמים כל סמל לפי המקרא.

חצי מ-100 הלקוחות הם 50 לקוחות. 50 לקוחות שילמו 80 שקלים ו-50 לקוחות שילמו 170 שקלים:

$12{,}500>12{,}000$, ולכן ההכנסות היו גבוהות מסך כל ההוצאות.

טעות נפוצה: לחשב רק את התשלומים של הלקוחות ששילמו 170 שקלים, $50\cdot170=8{,}500<12{,}000$, ולענות שההכנסות נמוכות מההוצאות - שוכחים את 50 הלקוחות ששילמו 80 שקלים.

בפיקטוגרמה הזו לסמלים יש ערכים שונים, ולכן גובה העמודה (מספר הסמלים) אינו קובע את הסכום.

לפי סעיף א, ההוצאות על פרסום הן 1,200 שקלים, וההוצאות על משכורות הן 6,000 שקלים - הגדולות ביותר (4 סמלים של 1,500).

לכן הטענה אינה נכונה.

טעות נפוצה: להסכים עם הטענה כי בעמודת הפרסום יש הכי הרבה סמלים (6). עמודת הפרסום בנויה מהסמלים הזולים - שטרות ומטבעות.

ההוצאות על ציוד הן 750 שקלים, וכלל ההוצאות 12,000 שקלים (סעיף א):

ההוצאות על ציוד היו 6.25% מכלל ההוצאות.

טעות נפוצה: לחשב את האחוז לפי מספר הסמלים, $\frac{3}{20}\cdot100=15\%$. מספר הסמלים אינו פרופורציוני לסכום, כי לסמלים ערכים שונים.

בכל חודש מצב החשבון גדל ב-460 שקלים. ב-3 חודשים נעמי העבירה $3\cdot460=1380$ שקלים:

מצב החשבון היה $(-2{,}320)$ שקלים - עדיין גירעון.

טעות נפוצה: לחשב $3700-1380=2320$ ולענות שבחשבון יש 2,320 שקלים. החשבון התחיל במינוס, ו-1,380 שקלים לא מספיקים כדי לכסות את הגירעון.

ב-9 חודשים נעמי העבירה $9\cdot460=4140$ שקלים:

$440>0$, כלומר בחשבון יש 440 שקלים, ולכן כבר לא היה גירעון.

טעות נפוצה: להחסיר את ההעברות במקום לחבר אותן, $-3700-4140=-7840$, ולענות שהגירעון עוד גדל. ההעברות מוסיפות כסף לחשבון.

מצב החשבון בהתחלה ($x=0$) הוא $-3700$ - זה המספר החופשי.

בכל חודש נוספים 460 שקלים, ולכן אחרי $x$ חודשים נוספו $460x$ שקלים:

זה ביטוי III. בדיקה: עבור $x=3$ מתקבל $-2320$, כמו בסעיף א.

טעות נפוצה: לבחור בביטוי I, $460-3700x$ - הוא מחליף בין הסכום ההתחלתי לבין הסכום החודשי. בביטוי הזה מצב החשבון יורד ב-3,700 בכל חודש.

משווים את הביטוי מסעיף ג ל-1820:

כעבור 12 חודשים היו בחשבון 1,820 שקלים.

טעות נפוצה: לחלק את 1,820 ב-460 בלי להתחשב בגירעון, $\frac{1820}{460}\approx3.96$, ולענות כ-4 חודשים. קודם צריך לכסות את הגירעון של 3,700 שקלים, ורק אחר כך מצטברים 1,820 שקלים.