בגרות במתמטיקה 172 - קיץ 2025 מועד ב'

כל עמודה מראה כמה משפחות יש לכל מספר מכוניות. קוראים את גובה העמודות מהציר האנכי:

אין מכונית - 6 משפחות, מכונית 1 - 10 משפחות, 2 מכוניות - 12 משפחות, 3 מכוניות - 2 משפחות.

מספר המשפחות הוא סכום הגבהים:

טעות נפוצה: לספור את המכוניות במקום את המשפחות: $0\cdot6+1\cdot10+2\cdot12+3\cdot2=40$, ולענות 40. השאלה היא כמה משפחות, כלומר סכום השכיחויות.

הממוצע הוא מספר המכוניות הכולל חלקי מספר המשפחות.

מספר המכוניות הכולל - כל ערך כפול השכיחות שלו:

מספר המשפחות הוא 30 (סעיף א):

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של הערכים שעל הציר בלי השכיחויות, $\frac{0+1+2+3}{4}=1.5$. לכל ערך יש מספר משפחות שונה, ולכן צריך ממוצע משוקלל.

הממוצע הוא $1.33$ (סעיף ב). מספרי מכוניות שגדולים ממנו: 2 ו-3.

מספר המשפחות שיש להן 2 או 3 מכוניות:

האחוז מתוך כל 30 המשפחות:

טעות נפוצה: לעגל את הממוצע ל-1 ולספור גם את המשפחות שיש להן מכונית אחת: $\frac{10+12+2}{30}\cdot100=80\%$. אבל $1<1.33$, ולכן משפחה עם מכונית אחת אינה מעל הממוצע.

מסדרים את 30 הנתונים מהקטן לגדול. מספר הנתונים זוגי, ולכן החציון הוא הממוצע של שני האיברים האמצעיים - במקומות 15 ו-16.

שכיחות מצטברת:

מקומות 1-6: 0 מכוניות;

מקומות 7-16: מכונית 1 ($6+10=16$);

מקומות 17-28: 2 מכוניות.

במקום 15 ובמקום 16 הערך הוא 1, ולכן:

טעות נפוצה: לקחת את האמצע של הערכים שעל הציר (0, 1, 2, 3) ולענות $1.5$. החציון נקבע לפי המקום של הנתונים בסידור, כלומר לפי השכיחויות.

כשמוסיפים נתון שגדול מהממוצע - הממוצע גדל; קטן מהממוצע - קטן; שווה לממוצע - לא משתנה.

למשפחה החדשה 2 מכוניות, ו-$2>1.33$, ולכן הממוצע גדל.

בדיקה בחישוב: עכשיו יש $30+1=31$ משפחות ו-$40+2=42$ מכוניות:

טעות נפוצה: לחשוב שהממוצע לא משתנה כי גם מספר המכוניות וגם מספר המשפחות גדלו, ולענות "לא השתנה". הממוצע נשאר אותו דבר רק כשהנתון החדש שווה לממוצע, ו-2 אינו שווה ל-$1.33$.

מרחב המדגם: לכל אחת מ-6 התוצאות בקובייה הראשונה יש 6 תוצאות בקובייה השנייה, ולכן יש $6\cdot6=36$ תוצאות שוות הסתברות (זוגות סדורים: קובייה ראשונה, קובייה שנייה).

הזוגות שסכומם 3: $(1,2)$ ו-$(2,1)$ - שתי תוצאות שונות, כי פעם הקובייה הראשונה מראה 1 ופעם 2.

טעות נפוצה: לספור רק את $(1,2)$, כי "1 ו-2 זה אותו דבר כמו 2 ו-1", ולקבל $\frac{1}{36}$.

המאורע "הסכום שונה מ-3" הוא המאורע המשלים של "הסכום הוא 3", ולכן:

(בספירה: $36-2=34$ תוצאות, $\frac{34}{36}=\frac{17}{18}$.)

טעות נפוצה: לחשוב שכל 11 הסכומים האפשריים (2 עד 12) שווי הסתברות, ולכן $P=\frac{10}{11}$. הסכומים אינם שווי הסתברות - לסכום 7 יש 6 זוגות ולסכום 3 רק 2.

מספר גדול מ-4 בקובייה: 5 או 6.

ה-4 יכול להתקבל בקובייה הראשונה או בשנייה, ולכן הזוגות המתאימים:

טעות נפוצה: לפרש "גדול מ-4" כ"4 או יותר" ולספור גם את $(4,4)$: $(4,4),(4,5),(4,6),(5,4),(6,4)$, ולקבל $\frac{5}{36}$. בקובייה האחרת צריך מספר גדול מ-4 ממש, כלומר 5 או 6.

הבד מכסה את ארגז החול כולו, ולכן השטח שלו לפחות כמו שטח ארגז החול.

שטח מלבן = אורך כפול רוחב:

$15<17.28$, ולכן בד ששטחו 15 מ"ר לא יכול לכסות את כל ארגז החול - לא ייתכן.

טעות נפוצה: לחשב את השטח בנוסחת שטח משולש (אולי בגלל האלכסון שבסרטוט), $\frac{4.8\cdot3.6}{2}=8.64$, ולענות שייתכן, כי $8.64<15$. האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים, והבד מכסה את שניהם.

האלכסון יוצר עם שתי צלעות סמוכות של המלבן משולש ישר זווית (זוויות המלבן ישרות), והאלכסון הוא היתר.

לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לשכוח להוציא שורש ולענות שהאלכסון 36 מטרים - זה ריבוע האורך. אלכסון ארוך פי 7.5 מהצלע הארוכה לא ייתכן.

הגדלה ב-25% פירושה שהצלע החדשה היא $100\%+25\%=125\%$ מהצלע הישנה, כלומר כפל ב-$1.25$:

טעות נפוצה: לחשב רק 25% מכל צלע, $4.8\cdot0.25=1.2$ ו-$3.6\cdot0.25=0.9$, ולענות 1.2 ו-0.9 מטרים. אלה התוספות, לא האורכים אחרי ההגדלה.

השטח אחרי ההגדלה (סעיף ג):

השטח המקורי הוא $17.28$ (סעיף א). אחוז השינוי מחושב ביחס לשטח המקורי:

(דרך נוספת: כל צלע גדלה פי $1.25$, ולכן השטח גדל פי $1.25\cdot1.25=1.5625$, כלומר ב-56.25%.)

טעות נפוצה: לחבר את אחוזי ההגדלה של שתי הצלעות, $25\%+25\%=50\%$. ההגדלות מוכפלות, לא מחוברות.

הכיכר היא עיגול שרדיוסו 5 מטרים. שטח עיגול:

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחת היקף המעגל, $2\pi\cdot5=10\pi\approx31.42$. היקף הוא אורך (מטרים), ושטח הוא במ"ר.

הפרחים שתולים בכל הכיכר חוץ מהדשא, ולכן שטח הפרחים הוא ההפרש בין שטח הכיכר לשטח הדשא:

טעות נפוצה: לחשב את רדיוס הדשא (3), להחסיר רדיוסים, $5-3=2$, ולחשב שטח של עיגול ברדיוס 2: $\pi\cdot2^2=4\pi\approx12.57$. החלק של הפרחים הוא טבעת, לא עיגול, ושטחה הוא הפרש השטחים.

כל מחיר מוכפל בשטח שלו.

דשא: $9\pi\cdot60=540\pi\approx1{,}696.46$ שקלים.

פרחים: $16\pi\cdot85=1360\pi\approx4{,}272.57$ שקלים.

המחיר הכולל הוא כ-5,969 שקלים.

טעות נפוצה: להחליף בין המחירים ולהכפיל את שטח הדשא ב-85 ואת שטח הפרחים ב-60: $9\pi\cdot85+16\pi\cdot60=1725\pi\approx5{,}419.25$ שקלים.

אורך הגדר הוא היקף העיגול של הדשא. לשם כך צריך את הרדיוס שלו, ומוצאים אותו מהשטח:

טעות נפוצה: לקחת את 9 כרדיוס, בלי להוציא שורש, ולקבל $2\pi\cdot9=18\pi\approx56.55$ מטרים - גדר ארוכה יותר מהיקף הכיכר כולה ($10\pi\approx31.42$).

כל הגזרות יחד הן 100% מההוצאות. האחוז של קניות לא כתוב בדיאגרמה, ולכן משלימים ל-100%:

ההוצאה על קניות היא 40% מכל ההוצאות, וההוצאה על חינוך היא 20% מאותו סכום, ולכן:

ההוצאה על קניות גדולה פי 2 מההוצאה על חינוך.

טעות נפוצה: לחלק בסדר הפוך, $\frac{20}{40}=0.5$, ולענות "פי 0.5". "פי כמה גדולה ההוצאה על קניות" - ההוצאה על קניות במונה.

ההוצאה על חינוך, 3,600 שקלים, היא 20% מכל ההוצאות. נסמן את סך ההוצאות ב-$T$:

טעות נפוצה: לחשב 20% מ-3,600, $0.2\cdot3600=720$, ולענות 720 שקלים. 3,600 הוא החלק, וצריך למצוא את השלם - שגדול מהחלק.

דיור: $0.25\cdot18{,}000=4{,}500$ שקלים.

חשבונות: $0.15\cdot18{,}000=2{,}700$ שקלים.

(או: ההפרש הוא $25\%-15\%=10\%$ מסך ההוצאות, $0.1\cdot18{,}000=1{,}800$.)

טעות נפוצה: לחשב את 10% ההפרש מתוך ההוצאה על חינוך במקום מתוך סך ההוצאות: $0.1\cdot3{,}600=360$ שקלים. האחוזים בדיאגרמה הם מסך כל ההוצאות.

ההוצאה על חינוך בחודש זה:

סך ההוצאות לא השתנה - 18,000 שקלים (סעיף ב), ולכן:

טעות נפוצה: להוסיף את 720 השקלים גם לסך ההוצאות ולחשב $\frac{4{,}320}{18{,}720}\cdot100\approx23.08\%$. בשאלה נאמר שסך ההוצאות לא השתנה - ההוצאות האחרות קטנו.

באפשרות ב' משלמים 90 שקלים על כל שיעור, ולכן על 12 שיעורים:

טעות נפוצה: לבלבל בין האפשרויות ולענות 1,620 שקלים - זה המחיר של אפשרות א', שאינו תלוי במספר השיעורים.

אפשרות א': 1,620 שקלים (לא תלוי במספר השיעורים).

אפשרות ב': $16\cdot90=1{,}440$ שקלים.

בעבור 16 שיעורים אפשרות ב' זולה ב-180 שקלים.

טעות נפוצה: להשוות מחיר לשיעור - באפשרות א' $\frac{1{,}620}{16}=101.25$ שקלים לשיעור - ולענות שההפרש הוא $101.25-90=11.25$ שקלים. זה הפרש לשיעור אחד, ולא הפרש המחירים הכולל.

כל שיעור עולה 90 שקלים, ודנה לוקחת $x$ שיעורים, ולכן המחיר הוא 90 כפול מספר השיעורים:

(בדיקה: עבור $x=12$ מתקבל $1{,}080$, כמו בסעיף א.)

טעות נפוצה: לכתוב $90+x$ - חיבור במקום כפל. עבור 12 שיעורים זה נותן 102 שקלים, ולא 1,080.

המחיר באפשרות א' הוא 1,620 בכל מקרה, ובאפשרות ב' הוא $90x$ (סעיף ג). משווים:

בעבור 18 שיעורים המחיר שווה בשתי האפשרויות ($18\cdot90=1{,}620$).

טעות נפוצה: "להעביר" את 90 לצד השני בחיסור במקום בחילוק: $x=1{,}620-90=1{,}530$. 90 כופל את $x$, ולכן מחלקים בו.