בגרות במתמטיקה 172 - חורף 2025

סכום כל הגזרות בדיאגרמת עיגול הוא 100%. מפלגה ה קיבלה את מה שמשלים את חמש הגזרות האחרות ל-100%:

טעות נפוצה: להשמיט בסכום את מפלגה ו (24%), לחשב $100\%-70\%$ ולענות 30%.

מחברים את האחוזים של שלוש המפלגות:

$31\%<51\%$, ולכן שלוש המפלגות האלה בלבד אינן יכולות להקים קואליציה.

טעות נפוצה: לקרוא את "ו-ה" כאילו גם מפלגה ו משתתפת, לחבר $10+15+24+6=55$ ולענות שכן. האות ו כאן היא ו' החיבור, ולא מפלגה ו.

למפלגות ב ו-ד יש יחד $25\%+15\%=40\%$. כדי להגיע ל-51% חסרים לפחות $51\%-40\%=11\%$.

בודקים כל אחת מארבע המפלגות האחרות:

א: $40+20=60\ge51$ - מתאימה.

ג: $40+10=50<51$ - לא מתאימה.

ה: $40+6=46<51$ - לא מתאימה.

ו: $40+24=64\ge51$ - מתאימה.

האפשרויות: מפלגה א או מפלגה ו.

טעות נפוצה: לחשוב ש-50% הם "חצי מהקולות" ולכן מספיקים, ולכלול גם את מפלגה ג. לקואליציה נדרשים לפחות 51%, ו-50% אינם מספיקים.

מספר התלמידים בשכבה הוא סכום כל התאים בטבלה - מי שהתחסנו ומי שלא התחסנו בכל שלוש הכיתות:

טעות נפוצה: לסכם רק את עמודת "התחסנו", $20+28+25=73$, ולענות 73. גם מי שלא התחסן הוא תלמיד בשכבה.

בוחרים מכל השכבה, ולכן המכנה הוא 98 (סעיף א).

מספר התלמידים שהתחסנו הוא סכום עמודת "התחסנו": $20+28+25=73$.

טעות נפוצה: לחשב את ההסתברות בכל כיתה ($\frac{20}{30}$, $\frac{28}{35}$, $\frac{25}{33}$) ולקחת את הממוצע שלהן, $\frac{0.667+0.8+0.758}{3}\approx0.741$. הכיתות אינן באותו גודל, ולכן ממוצע ההסתברויות אינו ההסתברות בשכבה כולה.

הפעם בוחרים רק מכיתה י"ב2, ולכן המכנה הוא מספר התלמידים בכיתה הזאת: $28+7=35$.

מתוכם התחסנו 28:

טעות נפוצה: לחלק בכל השכבה, $\frac{28}{98}\approx0.286$. כשבוחרים מכיתה אחת, המכנה הוא מספר התלמידים באותה כיתה בלבד.

בוחרים רק מבין התלמידים שהתחסנו, ולכן המכנה הוא סכום עמודת "התחסנו": $73$.

מתוכם, מכיתה י"ב1 התחסנו 20:

טעות נפוצה: לחלק במספר התלמידים בכיתה י"ב1, $\frac{20}{30}\approx0.667$ - זו ההסתברות שתלמיד מכיתה י"ב1 התחסן, השאלה ההפוכה. כאן הקבוצה שבוחרים ממנה היא המחוסנים.

אורך הגדר הוא היקף המלבן.

הגדר המקורית: $2\cdot(2+4)=12$ מטר.

הממדים החדשים: הצלע הקצרה $2+0.5=2.5$ מטר, הצלע הארוכה $4-0.5=3.5$ מטר.

הגדר החדשה: $2\cdot(2.5+3.5)=12$ מטר.

ההיקפים שווים: מה שנוסף לצלע אחת נגרע מהצלע השנייה, וסכום הצלעות לא השתנה.

טעות נפוצה: להגדיל את הצלע הקצרה ולשכוח להקטין את הארוכה, לחשב $2\cdot(2.5+4)=13$ ולענות שהגדר החדשה ארוכה יותר.

השטח המקורי: $2\cdot4=8$ מ"ר.

השטח החדש: $2.5\cdot3.5=8.75$ מ"ר.

$8.75>8$, ולכן השטח החדש גדול יותר - למרות שההיקף לא השתנה. ככל שהמלבן קרוב יותר לריבוע, שטחו גדול יותר באותו היקף.

טעות נפוצה: להסיק מסעיף א שאם ההיקפים שווים גם השטחים שווים, ולענות "שווה" בלי לחשב. היקף שווה אינו גורר שטח שווה.

היקף מעגל הוא $2\pi r$, או $\pi d$ כשנתון הקוטר. הקוטר 30 ס"מ, ולכן הרדיוס הוא $30:2=15$ ס"מ.

(עם $\pi\approx3.14$ מקבלים $94.2$ ס"מ.)

טעות נפוצה: להציב את הקוטר במקום הרדיוס בנוסחה $2\pi r$, לחשב $2\pi\cdot30=60\pi\approx188.5$ ס"מ - פי שניים מההיקף האמיתי.

שטח עיגול הוא $\pi r^2$. הרדיוס הוא 15 ס"מ:

(עם $\pi\approx3.14$ מקבלים $706.5$ סמ"ר.)

טעות נפוצה: להעלות בריבוע את הקוטר במקום את הרדיוס, $\pi\cdot30^2=900\pi\approx2827.43$ סמ"ר - פי ארבעה מהשטח האמיתי.

מציבים את השטח בנוסחה $S=\pi r^2$:

מחלקים ב-$\pi$: $r^2=441$, ומוציאים שורש:

טעות נפוצה: לחלק ב-$\pi$ ולשכוח להוציא שורש, ולענות שהרדיוס הוא 441 ס"מ - מכסה ברוחב של כמעט 9 מטר.

היקף המכסה האדום: $2\pi\cdot21=42\pi$ ס"מ. היקף המכסה הכחול (סעיף א): $30\pi$ ס"מ.

ההפרש: $42\pi-30\pi=12\pi$ ס"מ.

"בכמה אחוזים גדול" - מחלקים את ההפרש בהיקף שאליו משווים, היקף המכסה הכחול:

אפשר גם בלי $\pi$: היחס בין ההיקפים שווה ליחס בין הרדיוסים, $\frac{21}{15}=1.4$, כלומר גדול ב-40%.

טעות נפוצה: לחלק את ההפרש בהיקף של המכסה האדום, $\frac{12\pi}{42\pi}\approx28.6\%$. הבסיס להשוואה הוא ההיקף שממנו "גדול", כלומר הכחול.

כשמספר התלמידים הוא 0 נאסף רק הסכום שבית הספר שילם. בבית ספר א' זה 1,500 שקלים, ובבית ספר ב' 1,200 שקלים - לכן הגרף של א' מתחיל גבוה יותר על ציר ה-$y$.

בנוסף, כל תלמיד בבית ספר א' מוסיף 5 שקלים, פחות מ-8 בבית ספר ב' - לכן הגרף של א' מתון יותר.

גרף II מתחיל גבוה יותר ועולה לאט יותר, ולכן הוא מתאר את בית ספר א'.

טעות נפוצה: לחשוב שהסכום הגדול יותר (1,500) שייך לגרף התלול יותר, ולבחור בגרף I. התלילות נקבעת לפי התשלום לתלמיד, לא לפי הסכום הקבוע.

הסכום הכולל הוא הסכום הקבוע שבית הספר שילם ועוד התשלום לתלמיד כפול מספר התלמידים.

בית ספר א': $1{,}500+5x$ - ביטוי (1).

בית ספר ב': $1{,}200+8x$ - ביטוי (3).

טעות נפוצה: להחליף בין הקבוע למקדם של $x$ ולבחור לבית ספר א' את ביטוי (2), $1{,}500x+5$ - לפיו כל תלמיד משלם 1,500 שקלים.

בנקודת החיתוך שני הסכומים שווים:

מציבים: $y=1{,}500+5\cdot100=2{,}000$ (ובדיקה: $1{,}200+8\cdot100=2{,}000$).

נקודת החיתוך היא $(100,\,2{,}000)$: כש-100 תלמידים נוסעים, בשני בתי הספר נאסף אותו סכום, 2,000 שקלים.

טעות נפוצה: להעביר אגפים בלי לשנות סימן, $5x+8x=1{,}500-1{,}200$, ולקבל $13x=300$, $x\approx23.08$.

מציבים $y=2{,}600$ בכל ביטוי ופותרים.

בית ספר א': $1{,}500+5x=2{,}600$, $5x=1{,}100$, $x=220$.

בית ספר ב': $1{,}200+8x=2{,}600$, $8x=1{,}400$, $x=175$.

$220>175$, ולכן בבית ספר א' מספר התלמידים ששילמו גדול יותר.

אפשר לראות זאת גם בגרף: 2,600 גדול מ-2,000 (סעיף ג), ומעל נקודת החיתוך הגרף המתון (II, בית ספר א') מגיע לאותו סכום עם יותר תלמידים.

טעות נפוצה: לנמק שבבית ספר ב' כל תלמיד משלם יותר (8 לעומת 5) ולכן נאספו שם "יותר תשלומים", ולענות ב'. דווקא כשכל תלמיד משלם פחות, צריך יותר תלמידים כדי להגיע לאותו סכום.

נסמן ב-$x$ את השכר לשעה בדרגה הנמוכה (בשקלים). השכר לשעה בדרגה הגבוהה גדול ב-16, כלומר $x+16$.

במפעל $25+75=100$ עובדים. השכר הממוצע הוא סכום השכר של כל העובדים חלקי מספר העובדים - ממוצע משוקלל:

כופלים ב-100 ופותחים סוגריים:

בדיקה: $\frac{25\cdot52+75\cdot68}{100}=\frac{1{,}300+5{,}100}{100}=64$.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע פשוט של שתי הדרגות, $\frac{x+(x+16)}{2}=64$, בלי להתחשב במספר העובדים בכל דרגה, ולקבל $x=56$.

השכר לשעה בדרגה הגבוהה: $52+16=68$ שקלים (לפי סעיף א).

75 עובדים מקבלים 68 שקלים לשעה, ורק 25 עובדים מקבלים 52 שקלים לשעה.

השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים, ולכן השכר השכיח הוא 68 שקלים לשעה.

טעות נפוצה: לענות 75 - מספר העובדים בדרגה הגבוהה (השכיחות), ולא השכר עצמו.

מסדרים את השכר של 100 העובדים מהנמוך לגבוה: 52 שקלים - מקומות 1-25; 68 שקלים - מקומות 26-100.

מספר הנתונים זוגי (100), ולכן החציון הוא ממוצע הנתונים במקומות ה-50 וה-51. שניהם בדרגה הגבוהה:

טעות נפוצה: לקחת את האמצע בין שתי הדרגות, $\frac{52+68}{2}=60$, בלי להתחשב בכך שרוב העובדים בדרגה הגבוהה.