מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 10 ברמת בגרות

מספר המנויים לעיתון המודפס קטן בכל שנה באחוז קבוע - תהליך דעיכה, ולכן הגרף שלו יורד.

גרף I יורד (מ-250,000 ב-2017), וגרף II עולה.

לכן גרף I מתאר את המנויים לעיתון המודפס.

טעות נפוצה: לבחור את הגרף לפי "מי נמוך יותר" ולענות גרף II - כיוון הגרף (עולה או יורד) הוא שקובע אם התהליך הוא גדילה או דעיכה.

מהגרף: בתחילת 2017 היו $A_0=250{,}000$ מנויים לעיתון המודפס.

קטן ב-20% בכל שנה, ולכן $q=1-0.2=0.8$.

מתחילת 2017 עד תחילת 2021 עברו $t=4$ שנים.

טעות נפוצה: לספור את השנים 2017 עד 2021 כולל ולקבל $t=5$: $250{,}000\cdot0.8^5=81{,}920$.

בתחילת 2021 מספר המנויים הדיגיטליים שווה למספר המנויים לעיתון המודפס, שמצאנו בסעיף ב: 102,400.

עבור העיתון הדיגיטלי: $A_0=15{,}625$ (מהגרף), $A_4=102{,}400$, $t=4$.

$q=1.6$ פירושו גידול של 60% בכל שנה.

טעות נפוצה: לחשב את הגידול הכולל, $\frac{102{,}400-15{,}625}{15{,}625}\approx555.4\%$, ולחלק ב-4 שנים - מקבלים כ-$138.8\%$. בתהליך מעריכי לא מחלקים את האחוז הכולל במספר השנים.

מחפשים $t$ שעבורו $15{,}625\cdot1.6^t=64{,}000$.

מנסים: $1.6^1=1.6$, $1.6^2=2.56$, $1.6^3=4.096$.

לכן $t=3$, כלומר שלוש שנים אחרי תחילת 2017: בתחילת שנת 2020.

טעות נפוצה: לספור את 2017 כשנה הראשונה ולענות 2019 - $t$ הוא מספר השנים שעברו מתחילת 2017, ולכן $2017+3=2020$.

בקופסה א' יש $40-15=25$ כרטיסים צהובים.

טעות נפוצה: לקחת את מספר הכרטיסים הירוקים ולקבל $\frac{15}{40}=\frac{3}{8}$.

הכרטיסים מוצאים משתי קופסאות שונות, ולכן המאורעות בלתי תלויים, וההסתברות ששניהם יתרחשו היא מכפלת ההסתברויות.

ההסתברות לכרטיס ירוק מקופסה ב': $\frac{9}{24}=\frac{3}{8}$.

טעות נפוצה: לקחת מקופסה ב' את ההסתברות לכרטיס צהוב ($\frac{15}{24}$) ולקבל $\frac{5}{8}\cdot\frac{15}{24}=\frac{25}{64}$.

בהוצאה הראשונה: 12 סוכריות לימון מתוך 20, $P=\frac{12}{20}$.

נועה אכלה את הסוכרייה הראשונה, כלומר היא לא חזרה לשקית. אם היא הייתה בטעם לימון, נשארו 19 סוכריות, ומהן 11 בטעם לימון.

טעות נפוצה: לחשב כאילו הסוכרייה חזרה לשקית, $\frac{12}{20}\cdot\frac{12}{20}=\frac{9}{25}$.

המשולש $KLM$ ישר זווית ב-$L$, ולכן $KM$ הוא היתר.

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים, $\sqrt{12.5^2+3.5^2}\approx12.98$ - יוצא ארוך מהיתר $KM$, וזה בלתי אפשרי.

הצלעות הארוכות ביותר הן היתרים $KM$ ו-$PR$, והן צלעות מתאימות:

טעות נפוצה: לחלק בסדר הפוך ולענות "פי 0.4".

$\angle P=\angle K$ ו-$\angle Q=\angle L$, ולכן $PQ$ מתאימה ל-$KL$:

טעות נפוצה: לכפול ביחס הדמיון במקום לחלק: $3.5\cdot2.5=8.75$ - הערוגה קטנה מהגינה, ולכן צלעותיה קצרות יותר.

$QR$ מתאימה ל-$LM=12$ (סעיף א):

טעות נפוצה: להחסיר את ההפרש בין היתרים ($12.5-5=7.5$) במקום לחלק ביחס הדמיון: $12-7.5=4.5$.

אורך הגדר שווה להיקף הערוגה:

(בדיקה: היקף הגינה $3.5+12+12.5=28$, ו-$\frac{28}{2.5}=11.2$.)

טעות נפוצה: לחבר רק את שתי הצלעות שחושבו בסעיף ב: $1.4+4.8=6.2$ מטר.

טעות נפוצה: לחשב לפי היקף הגינה כולה: $28\cdot45=1260$ שקלים.

המשולש $ABE$ ישר זווית ב-$E$, ו-$AB$ הוא היתר. $BE$ מול הזווית $46^\circ$:

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס ולקבל $3.6\cos46^\circ\approx2.50$ - זה $AE$.

$BCDE$ מלבן ($BE$ ו-$CD$ מאונכים לקרקע ו-$BC\parallel ED$), ולכן $CD=BE\approx2.59$.

המשולש $ACD$ ישר זווית ב-$D$, והכבל $AC$ הוא היתר. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים, $\sqrt{9^2+2.59^2}\approx9.37$ - הכבל הוא היתר, ולכן הוא הצלע הארוכה במשולש.

$BCDE$ מלבן, ולכן $BC=ED$.

טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר, $8.62+2.50=11.12$ - $AE$ הוא חלק מ-$AD$, ולכן מחסירים אותו.

במשולש $ACD$ (ישר זווית ב-$D$): $CD$ מול הזווית $CAD$, ו-$AC$ הוא היתר.

$16.7^\circ<18^\circ$, ולכן המתקן אינו מתאים לדרישה.

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס עם הניצב שמול הזווית, $\cos\angle CAD=\frac{2.59}{9}$, לקבל $73.3^\circ$ ולענות שהמתקן מתאים.

סכום השורה "מספר המכוניות":

טעות נפוצה: לחבר את שורת המחירים: $40+60+90+150=340$.

ההכנסה הכוללת (כל מחיר כפול מספר המכוניות ששילמו אותו):

טעות נפוצה: ממוצע של ארבעת המחירים בלבד: $\frac{340}{4}=85$.

הממוצע הכי גדול מתקבל כשכל ארבע המכוניות נשטפו בשטיפה היקרה ביותר, פרימיום (150 שקלים):

טעות נפוצה: לשכוח להוסיף את ארבע המכוניות למכנה: $\frac{4350}{50}=87.00$.

בעבור כל מכונית שילמו אותו סכום, והממוצע עלה - לכן הסכום ששילמו בעבור כל מכונית גדול מהממוצע הקודם, 75 שקלים.

I. שטיפת חוץ: 60 שקלים. $60<75$ - הממוצע יורד ($\frac{3750+240}{54}\approx73.89$), ולכן ההיגד לא ייתכן.

II. מלאה בהנחה של 10 שקלים: $90-10=80$. $80>75$ - הממוצע עולה ($\frac{3750+320}{54}\approx75.37$), ולכן ייתכן.

III. פרימיום בהנחה של 45%: $150\cdot0.55=82.5$. $82.5>75$ - הממוצע עולה ($\frac{3750+330}{54}\approx75.56$), ולכן ייתכן.

טעות נפוצה: לחשוב שכל תשלום נוסף מגדיל את סך ההכנסות ולכן גם את הממוצע, ולקבוע שהיגד I ייתכן. הממוצע עולה רק כשהנתון החדש גדול מהממוצע הקודם.

התשלום בחודש 0 הוא דמי ההרשמה - נקודת החיתוך עם ציר $y$. במועדון א' דמי ההרשמה גבוהים יותר ($350>110$), ולכן הגרף שלו חותך את ציר $y$ גבוה יותר - גרף II.

גם השיפוע מתאים: התשלום החודשי במועדון א' קטן יותר ($189<219$), וגרף II מתון יותר.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I כי הוא תלול יותר, ולחשוב שהגרף התלול שייך למועדון שדמי ההרשמה בו גבוהים. התלילות נקבעת לפי התשלום החודשי.

טעות נפוצה: לכפול גם את דמי ההרשמה במספר החודשים: $(350+189)\cdot11=5{,}929$ שקלים.

התשלום = דמי הרשמה + תשלום חודשי כפול מספר החודשים:

מועדון א': $y=350+189x$

מועדון ב': $y=110+219x$

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $y=189+350x$.

טעות נפוצה: לחלק את כל הסכום בתשלום החודשי: $\frac{2{,}957}{219}\approx13.5$ חודשים - בלי להפחית את דמי ההרשמה.

אחרי 8 חודשים התשלום בשני המועדונים הוא $1{,}862$ שקלים.

טעות נפוצה: לחבר את המקדמים במקום לחסר, $408x=240$, ולקבל $x\approx0.59$.