מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 11 ברמת בגרות

3 יח"ל · שאלון 035371 · 6 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 371 (3 יח"ל), ברמת בגרות: 6 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · ירידת ערך של שני אופנועים

המחיר של אופנוע א' היום הוא 52,00052{,}00052,000 שקלים.
המחיר שלו יורד מדי שנה ב-11%11\%11%.

א.

מצאו מה יהיה המחיר של אופנוע א' בעוד שנה ובעוד שנתיים.

ב.

המחיר של אופנוע ב' יורד מדי שנה באחוז קבוע.
המחיר של אופנוע ב' היום הוא 46,00046{,}00046,000 שקלים ובעוד שנה יהיה 41,86041{,}86041,860 שקלים.

מצאו בכמה אחוזים יורד מדי שנה המחיר של אופנוע ב'.

ג.

איזה אופנוע, א' או ב', יהיה יקר יותר בעוד 444 שנים מהיום?

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

בעוד שנה 46,28046{,}28046,280 שקלים; בעוד שנתיים 41,189.241{,}189.241,189.2 שקלים

ירידה של 11%11\%11% בשנה - מקדם q=0.89q=0.89q=0.89.
52,000⋅0.89=46,28052{,}000\cdot0.89=46{,}28052,000⋅0.89=46,280
52,000⋅0.892=46,280⋅0.89=41,189.252{,}000\cdot0.89^2=46{,}280\cdot0.89=41{,}189.252,000⋅0.892=46,280⋅0.89=41,189.2
טעות נפוצה: להוריד בכל שנה 11%11\%11% מהמחיר המקורי (5,7205{,}7205,720 שקלים) ולקבל בעוד שנתיים 52,000−2⋅5,720=40,56052{,}000-2\cdot5{,}720=40{,}56052,000−2⋅5,720=40,560.

סעיף ב

תשובה:

9%9\%9%

q=41,86046,000=0.91q=\frac{41{,}860}{46{,}000}=0.91q=46,00041,860​=0.91
1−0.91=0.091-0.91=0.091−0.91=0.09, כלומר המחיר יורד ב-9%9\%9% בשנה.
טעות נפוצה: לענות 91%91\%91% - זה המקדם, לא אחוז הירידה.

סעיף ג

תשובה:

אופנוע א' (≈32,626\approx32{,}626≈32,626 שקלים, לעומת ≈31,544\approx31{,}544≈31,544 שקלים לאופנוע ב')

אופנוע א': 52,000⋅0.894≈32,62652{,}000\cdot0.89^4\approx32{,}62652,000⋅0.894≈32,626.
אופנוע ב': 46,000⋅0.914≈31,54446{,}000\cdot0.91^4\approx31{,}54446,000⋅0.914≈31,544.
בעוד 4 שנים אופנוע א' יקר יותר (בכ-1,0821{,}0821,082 שקלים), למרות שהמחיר שלו יורד מהר יותר.
טעות נפוצה: לחשב ירידה ליניארית: א' - 52,000−4⋅5,720=29,12052{,}000-4\cdot5{,}720=29{,}12052,000−4⋅5,720=29,120, ב' - 46,000−4⋅4,140=29,44046{,}000-4\cdot4{,}140=29{,}44046,000−4⋅4,140=29,440, ולענות שאופנוע ב' יקר יותר.

שאלה 2 · הסתברות: שירים בעברית ובאנגלית ברשימת השמעה

ברשימת השמעה של עומר יש שני סוגים של שירים: 9 שירים בעברית ו-18 שירים באנגלית.
ביום ראשון האפליקציה בחרה באקראי שיר אחד מן הרשימה והשמיעה אותו, ואחר כך שוב בחרה באקראי שיר אחד מכל השירים ברשימה (בחירה עם החזרה: ייתכן שאותו שיר יושמע פעמיים).

א.

מהי ההסתברות ששני השירים שהושמעו היו בעברית?

ב.

מהי ההסתברות שבדיוק אחד מן השירים שהושמעו היה באנגלית?

ג.

מהי ההסתברות שלפחות אחד מן השירים שהושמעו היה באנגלית?

ד.

ביום שני מחק עומר מן הרשימה שיר אחד בעברית ו-6 שירים באנגלית.
לאחר מכן האפליקציה בחרה באקראי שיר אחד מן הרשימה והשמיעה אותו, ואחר כך שוב בחרה באקראי שיר אחד מכל השירים ברשימה (בחירה עם החזרה).

האם ההסתברות שביום שני שני השירים שהושמעו היו בעברית, גדולה מן ההסתברות שמצאתם בסעיף א, קטנה ממנה או שווה לה? נמקו את תשובתכם.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

19\frac1991​

ברשימה 9+18=279+18=279+18=27 שירים, ולכן ההסתברות שבבחירה אחת ייבחר שיר בעברית היא 927=13\frac{9}{27}=\frac13279​=31​, ושייבחר שיר באנגלית: 1827=23\frac{18}{27}=\frac232718​=32​.
הבחירה עם החזרה, ולכן שתי הבחירות בלתי תלויות - ההסתברות בבחירה השנייה זהה לראשונה, ומכפילים:
P(עברית, עברית)=13⋅13=19P(\text{עברית, עברית})=\frac13\cdot\frac13=\frac19P(עברית, עברית)=31​⋅31​=91​
טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות במקום להכפיל: 13+13=23\frac13+\frac13=\frac2331​+31​=32​ - ל"גם וגם" של שני שלבים מכפילים.

סעיף ב

תשובה:

49\frac4994​

"בדיוק שיר אחד באנגלית" קורה בשני מסלולים: אנגלית ואז עברית, או עברית ואז אנגלית.
P(אנגלית, עברית)=23⋅13=29P(עברית, אנגלית)=13⋅23=29P(\text{אנגלית, עברית})=\frac23\cdot\frac13=\frac29\qquad P(\text{עברית, אנגלית})=\frac13\cdot\frac23=\frac29P(אנגלית, עברית)=32​⋅31​=92​P(עברית, אנגלית)=31​⋅32​=92​
המסלולים זרים, ולכן מחברים:
29+29=49\frac29+\frac29=\frac4992​+92​=94​
טעות נפוצה: לחשב רק סדר אחד (אנגלית ואז עברית) ולענות 29\frac2992​.

סעיף ג

תשובה:

89\frac8998​

המאורע המשלים ל"לפחות שיר אחד באנגלית" הוא "אף שיר באנגלית", כלומר שני השירים בעברית - והסתברותו 19\frac1991​ (סעיף א).
P(לפחות שיר אחד באנגלית)=1−19=89P(\text{לפחות שיר אחד באנגלית})=1-\frac19=\frac89P(לפחות שיר אחד באנגלית)=1−91​=98​
דרך אחרת: בדיוק שיר אחד באנגלית (49\frac4994​) או שני שירים באנגלית (23⋅23=49\frac23\cdot\frac23=\frac4932​⋅32​=94​): 49+49=89\frac49+\frac49=\frac8994​+94​=98​.
טעות נפוצה: לקחת כמשלים את המאורע "שני השירים באנגלית" ולחשב 1−49=591-\frac49=\frac591−94​=95​ - אבל המשלים של "לפחות אחד באנגלית" הוא "אף אחד באנגלית".

סעיף ד

תשובה:

גדולה: ביום שני 820⋅820=425=0.16>19≈0.111\frac{8}{20}\cdot\frac{8}{20}=\frac{4}{25}=0.16>\frac19\approx0.111208​⋅208​=254​=0.16>91​≈0.111

אחרי שעומר מחק שיר אחד בעברית ו-6 שירים באנגלית, נשארו ברשימה 9−1=89-1=89−1=8 שירים בעברית ו-18−6=1218-6=1218−6=12 שירים באנגלית, כלומר 20 שירים.
ההסתברות שבבחירה אחת ייבחר שיר בעברית: 820=25=0.4\frac{8}{20}=\frac25=0.4208​=52​=0.4 - יותר מ-13\frac1331​ ביום ראשון.
P(עברית, עברית)=25⋅25=425=0.16P(\text{עברית, עברית})=\frac25\cdot\frac25=\frac{4}{25}=0.16P(עברית, עברית)=52​⋅52​=254​=0.16
0.16>0.1110.16>0.1110.16>0.111, ולכן ההסתברות גדולה מזו שבסעיף א. הסיבה: עומר מחק שירים ביחס 1:61:61:6, ואילו ברשימה היחס היה 9:18=1:29:18=1:29:18=1:2 - הוא מחק יחסית הרבה יותר שירים באנגלית, וחלקם של השירים בעברית ברשימה גדל.
טעות נפוצה: להקטין רק את מספר השירים בעברית ולהשאיר 27 שירים ברשימה: (827)2=64729≈0.088\left(\frac{8}{27}\right)^2=\frac{64}{729}\approx0.088(278​)2=72964​≈0.088 - ולהסיק שההסתברות קטנה.

שאלה 3 · יחס ושטחים: תשלום לוועד בית לפי חדרים או לפי שטח

בבניין מגורים יש 8 קומות זהות. בכל קומה יש שלוש דירות: דירת 2 חדרים, דירת 3 חדרים ודירת 4 חדרים (ראו סרטוט).
ABCDEFGHIJKLMNPQRIIIIII
בסרטוט: I - דירת 2 חדרים, II - דירת 3 חדרים, III - דירת 4 חדרים. הנתונים שבסרטוט:
דירת 2 חדרים: מלבן שמידותיו 6 מ' על 8.5 מ', ולצדו העליון מרפסת שצורתה טרפז - הבסיס התחתון שלה הוא צלע המלבן (6 מ'), הבסיס העליון 3 מ' והגובה 2 מ'.
דירת 3 חדרים: מלבן שמידותיו 10 מ' על 8 מ', ולצדו מרפסת מלבנית שמידותיה 2 מ' על 5 מ'.
דירת 4 חדרים: מלבן שמידותיו 12 מ' על 10 מ', ולצדו מרפסת בצורת חצי עיגול.
בהתחלה הוחלט שהתשלום לוועד הבית יהיה לפי מספר החדרים בדירה, כלומר ביחס של 2:3:42:3:42:3:4.

א.

הדיירים בדירת 4 חדרים משלמים 320 שקלים.

(1)

כמה משלמים הדיירים בדירת 3 חדרים?

(2)

כמה משלמים הדיירים בדירת 2 חדרים?

ב.

מהו הסכום הכולל שמשלמים הדיירים בכל קומה?

ג.

מהו הסכום הכולל שמשלמים כל הדיירים בבניין?

ד.

בהמשך הוצע שהתשלום לוועד יהיה לפי שטח הדירה (כולל המרפסת) ולא לפי מספר החדרים, וסך הסכום שגובים בכל קומה יישאר הסכום שחושב בסעיף ב.

חשבו לפי הנתונים שבסרטוט את השטח של דירת 2 חדרים ואת השטח של דירת 3 חדרים.

ה.

השטח של דירת 4 חדרים הוא 150 מ"ר. מצאו כמה צריכים לשלם דיירי כל אחת מהדירות בקומה.

ו.

לאילו דיירים כדאי לשלם לפי מספר החדרים, ולאילו כדאי לשלם לפי שטח הדירה?

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א(1)

תשובה:

240 שקלים

ביחס 2:3:42:3:42:3:4 דירת 4 חדרים משלמת 4 חלקים, ולכן חלק אחד הוא 3204=80\frac{320}{4}=804320​=80 שקלים.
דירת 3 חדרים: 3⋅80=2403\cdot80=2403⋅80=240 שקלים.
טעות נפוצה: לחלק את 320 בסכום חלקי היחס, 2+3+4=92+3+4=92+3+4=9, כאילו 320 הוא הסכום של כל הקומה - ומקבלים 3⋅3209≈106.673\cdot\frac{320}{9}\approx106.673⋅9320​≈106.67 שקלים.

סעיף א(2)

תשובה:

160 שקלים

דירת 2 חדרים משלמת 2 חלקים: 2⋅80=1602\cdot80=1602⋅80=160 שקלים.
טעות נפוצה: לחלק את 320 ב-9 (סכום חלקי היחס) - ומקבלים 2⋅3209≈71.112\cdot\frac{320}{9}\approx71.112⋅9320​≈71.11 שקלים. 320 הוא התשלום של דירת 4 חדרים, כלומר 4 חלקים.

סעיף ב

תשובה:

720 שקלים

160+240+320=720160+240+320=720160+240+320=720
(או: 999 חלקים, 9⋅80=7209\cdot80=7209⋅80=720.)
טעות נפוצה: לכפול את התשלום של דירת 4 חדרים במספר הדירות בקומה - 3⋅320=9603\cdot320=9603⋅320=960 שקלים, כאילו כל הדירות בקומה בנות 4 חדרים.

סעיף ג

תשובה:

5,760 שקלים

8 קומות זהות: 8⋅720=5,7608\cdot720=5{,}7608⋅720=5,760 שקלים.
טעות נפוצה: לכפול את 320 במספר הדירות בבניין (8⋅3=248\cdot3=248⋅3=24) - 7,6807{,}6807,680 שקלים, כאילו כל הדירות בנות 4 חדרים.

סעיף ד

תשובה:

דירת 2 חדרים: 60 מ"ר; דירת 3 חדרים: 90 מ"ר

דירת 2 חדרים: מלבן 6⋅8.5=516\cdot8.5=516⋅8.5=51 מ"ר, ומרפסת בצורת טרפז עם בסיסים 6 ו-3 וגובה 2:
(6+3)⋅22=9\frac{(6+3)\cdot2}{2}=92(6+3)⋅2​=9
סה"כ 51+9=6051+9=6051+9=60 מ"ר.
דירת 3 חדרים: 10⋅8+2⋅5=80+10=9010\cdot8+2\cdot5=80+10=9010⋅8+2⋅5=80+10=90 מ"ר.
טעות נפוצה: לחשב את הטרפז כמלבן 6⋅2=126\cdot2=126⋅2=12 - ומקבלים לדירת 2 חדרים 63 מ"ר.

סעיף ה

תשובה:

דירת 2 חדרים: 144 שקלים; דירת 3 חדרים: 216 שקלים; דירת 4 חדרים: 360 שקלים

הסכום לקומה נשאר 720 שקלים, וסך השטח בקומה 60+90+150=30060+90+150=30060+90+150=300 מ"ר. לכל מ"ר:
720300=2.4\frac{720}{300}=2.4300720​=2.4
דירת 2 חדרים: 60⋅2.4=14460\cdot2.4=14460⋅2.4=144. דירת 3 חדרים: 90⋅2.4=21690\cdot2.4=21690⋅2.4=216. דירת 4 חדרים: 150⋅2.4=360150\cdot2.4=360150⋅2.4=360.
בדיקה: 144+216+360=720144+216+360=720144+216+360=720.
טעות נפוצה: להשאיר את דירת 4 חדרים על 320 שקלים ולחשב לפיה מחיר למ"ר (320150\frac{320}{150}150320​) - ומקבלים לדירת 2 חדרים 128 שקלים ולדירת 3 חדרים 192 שקלים; כך הקומה משלמת רק 640 שקלים.

סעיף ו

תשובה:

לדיירי דירות 2 ו-3 חדרים כדאי לשלם לפי השטח; לדיירי דירת 4 חדרים כדאי לשלם לפי מספר החדרים

דירהלפי חדריםלפי שטח
2 חדרים160144
3 חדרים240216
4 חדרים320360
כדאי לבחור בשיטה הזולה יותר:
דירת 2 חדרים: 144<160144<160144<160 - לפי השטח. דירת 3 חדרים: 216<240216<240216<240 - לפי השטח. דירת 4 חדרים: 320<360320<360320<360 - לפי מספר החדרים.
טעות נפוצה: לבחור לכל דירה את השיטה שבה הסכום גבוה יותר, ולענות הפוך - דירות 2 ו-3 חדרים לפי החדרים ודירת 4 חדרים לפי השטח. הדיירים משלמים, ולכן כדאי להם הסכום הנמוך.

דירה	לפי חדרים	לפי שטח
2 חדרים	160	144
3 חדרים	240	216
4 חדרים	320	360

שאלה 4 · טריגונומטריה: קרון רכבל עולה בזווית קבועה

קרון של רכבל יוצא מהתחנה התחתונה A ועולה לאורך כבל ישר בזווית של 32∘32^\circ32∘ מעל לאופק (ראו סרטוט).
B הוא מיקום הקרון, ו-C היא הנקודה שנמצאת בדיוק מתחת ל-B, בגובה התחנה התחתונה.
32°כבלגובהמרחק אופקיABC

א.

בכל דקה עובר הקרון 240 מ' לאורך הכבל.
לאיזה גובה (BC) מעל התחנה התחתונה יגיע הקרון לאחר דקה מתחילת הנסיעה?

ב.

מצאו פי כמה גדול המרחק האופקי (AC) מהגובה (BC).

ג.

מהו אורך הכבל (AB) שצריך לעבור הקרון מהתחנה התחתונה, על מנת שיגיע לגובה (BC) של 300 מ'?

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

כ-127.2 מ'

לאחר דקה AB=240AB=240AB=240 מ'. AB הוא היתר במשולש ישר הזווית ABC, ו-BC הוא הניצב שמול הזווית 32∘32^\circ32∘:
sin⁡32∘=BCAB⇒BC=240⋅sin⁡32∘≈240⋅0.530≈127.2\sin32^\circ=\frac{BC}{AB}\quad\Rightarrow\quad BC=240\cdot\sin32^\circ\approx240\cdot0.530\approx127.2sin32∘=ABBC​⇒BC=240⋅sin32∘≈240⋅0.530≈127.2
לאחר דקה יגיע הקרון לגובה של כ-127.2 מ' מעל התחנה התחתונה.
טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס ולקבל 240⋅cos⁡32∘≈203.5240\cdot\cos32^\circ\approx203.5240⋅cos32∘≈203.5 מ' - זה המרחק האופקי, לא הגובה.

סעיף ב

תשובה:

פי 1tan⁡32∘≈1.6\frac{1}{\tan32^\circ}\approx1.6tan32∘1​≈1.6

BC הוא הניצב שמול הזווית ו-AC הוא הניצב שליד הזווית, לכן:
tan⁡32∘=BCAC⇒ACBC=1tan⁡32∘≈10.625≈1.6\tan32^\circ=\frac{BC}{AC}\quad\Rightarrow\quad\frac{AC}{BC}=\frac{1}{\tan32^\circ}\approx\frac{1}{0.625}\approx1.6tan32∘=ACBC​⇒BCAC​=tan32∘1​≈0.6251​≈1.6
בכל נקודה על הכבל המרחק האופקי גדול פי 1.6 בערך מהגובה.
טעות נפוצה: לענות tan⁡32∘≈0.62\tan32^\circ\approx0.62tan32∘≈0.62 - זה היחס ההפוך BCAC\frac{BC}{AC}ACBC​.

סעיף ג

תשובה:

כ-566.1 מ'

נתון BC=300BC=300BC=300 מ' (הניצב שמול הזווית) ומחפשים את היתר AB:
sin⁡32∘=300AB⇒AB=300sin⁡32∘≈566.1\sin32^\circ=\frac{300}{AB}\quad\Rightarrow\quad AB=\frac{300}{\sin32^\circ}\approx566.1sin32∘=AB300​⇒AB=sin32∘300​≈566.1
הקרון צריך לעבור כ-566.1 מ' לאורך הכבל.
טעות נפוצה: לכפול בסינוס במקום לחלק: 300⋅sin⁡32∘≈159.0300\cdot\sin32^\circ\approx159.0300⋅sin32∘≈159.0 מ' - יוצא כבל קצר מהגובה, וזה בלתי אפשרי.

שאלה 5 · גדילה ודעיכה: ערך של ציור וערך של טרקטור

ערך הציור שבגלריה של מאיה עולה ב-6%6\%6% בכל שנה.
בתחילת שנת 2017 היה ערך הציור 200,000 שקלים.

א.

מצאו מה היה ערך הציור בתחילת שנת 2024.

ב.

מצאו בתחילת איזו שנה היה ערך הציור 238,203 שקלים.

ג.

ערך הטרקטור שבמשק של אלון יורד בכל שנה באחוז קבוע.
בתחילת שנת 2019 היה ערך הטרקטור 162,000 שקלים, ובתחילת שנת 2022 היה ערכו 118,098 שקלים.

(1)

מצאו בכמה אחוזים יורד ערך הטרקטור בכל שנה.

(2)

מצאו מה היה ערך הטרקטור בתחילת שנת 2017.

ד.

לפניכם שלושה סרטוטים I-III.
בכל סרטוט הציר האופקי הוא השנה (מתחילת שנת 2017), והציר האנכי הוא הערך בשקלים.

קבעו איזה מן הסרטוטים מתאר את ערך הציור ואת ערך הטרקטור מתחילת שנת 2017 ואילך. נמקו את קביעתכם.
סרטוט I
סרטוט II
סרטוט III

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

כ-300,726 שקלים

עלייה של 6%6\%6% בכל שנה פירושה כפל ב-q=1.06q=1.06q=1.06 בכל שנה.
מתחילת 2017 עד תחילת 2024 עברו t=2024−2017=7t=2024-2017=7t=2024−2017=7 שנים:
A7=200,000⋅1.067≈200,000⋅1.50363≈300,726A_7=200{,}000\cdot1.06^7\approx200{,}000\cdot1.50363\approx300{,}726A7​=200,000⋅1.067≈200,000⋅1.50363≈300,726
טעות נפוצה: לחשב עלייה של 6%6\%6% מהערך ההתחלתי בכל שנה (7⋅6%=42%7\cdot6\%=42\%7⋅6%=42%) ולקבל 200,000⋅1.42=284,000200{,}000\cdot1.42=284{,}000200,000⋅1.42=284,000 - בכל שנה האחוז מחושב מהערך של אותה שנה, שכבר עלה.

סעיף ב

תשובה:

בתחילת שנת 2020

200,000⋅1.06t=238,203⇒1.06t=238,203200,000≈1.191200{,}000\cdot1.06^t=238{,}203\quad\Rightarrow\quad1.06^t=\frac{238{,}203}{200{,}000}\approx1.191200,000⋅1.06t=238,203⇒1.06t=200,000238,203​≈1.191
בניסוי וטעייה: 1.062=1.12361.06^2=1.12361.062=1.1236, 1.063≈1.1911.06^3\approx1.1911.063≈1.191 - ולכן t=3t=3t=3.
3 שנים אחרי תחילת 2017 - בתחילת שנת 2020.
טעות נפוצה: לספור את 2017 כ"שנה הראשונה" ולענות 2019 - אבל בתחילת 2019 עברו רק שתי שנים, וערך הציור היה 224,720224{,}720224,720 שקלים.

סעיף ג(1)

תשובה:

ב-10%10\%10%

מתחילת 2019 עד תחילת 2022 עברו 3 שנים:
162,000⋅q3=118,098⇒q3=118,098162,000=0.729162{,}000\cdot q^3=118{,}098\quad\Rightarrow\quad q^3=\frac{118{,}098}{162{,}000}=0.729162,000⋅q3=118,098⇒q3=162,000118,098​=0.729
q=0.7293=0.9q=\sqrt[3]{0.729}=0.9q=30.729​=0.9
q=0.9=1−0.1q=0.9=1-0.1q=0.9=1−0.1, ולכן ערך הטרקטור יורד ב-10%10\%10% בכל שנה.
טעות נפוצה: לספור 4 שנים (2019, 2020, 2021, 2022) ולחשב q=0.7294≈0.924q=\sqrt[4]{0.729}\approx0.924q=40.729​≈0.924, כלומר ירידה של כ-7.6%7.6\%7.6%.

סעיף ג(2)

תשובה:

200,000 שקלים

תחילת 2017 היא שנתיים לפני תחילת 2019. בכל שנה הערך הוכפל ב-q=0.9q=0.9q=0.9, ולכן כדי לחזור אחורה שנתיים מחלקים ב-q2q^2q2:
A2017=162,0000.92=162,0000.81=200,000A_{2017}=\frac{162{,}000}{0.9^2}=\frac{162{,}000}{0.81}=200{,}000A2017​=0.92162,000​=0.81162,000​=200,000
בדיקה: 200,000⋅0.92=162,000200{,}000\cdot0.9^2=162{,}000200,000⋅0.92=162,000.
טעות נפוצה: לכפול ב-0.920.9^20.92 במקום לחלק: 162,000⋅0.81=131,220162{,}000\cdot0.81=131{,}220162,000⋅0.81=131,220 - אבל ערך הטרקטור יורד עם השנים, ולכן ב-2017 הוא היה גבוה מ-162,000.

סעיף ד

תשובה:

סרטוט I

ערך הציור עולה, וערך הטרקטור יורד - ולכן צריך סרטוט עם גרף עולה וגרף יורד. סרטוט III נפסל (שני הגרפים עולים).
בתחילת 2017 ערך הציור היה 200,000 שקלים (נתון), וגם ערך הטרקטור היה 200,000 שקלים (סעיף ג(2)). לכן שני הגרפים צריכים לצאת מאותה נקודה על הציר האנכי.
בסרטוט II הגרף העולה מתחיל גבוה יותר - נפסל. בסרטוט I שני הגרפים יוצאים מאותה נקודה, ומשם אחד עולה ואחד יורד - זה הסרטוט המתאים.
טעות נפוצה: מי שכפל ב-q2q^2q2 בסעיף ג(2) קיבל שערך הטרקטור ב-2017 היה 131,220131{,}220131,220 שקלים, פחות מערך הציור - ובוחר בסרטוט II, שבו הגרף העולה מתחיל גבוה יותר.

שאלה 6 · טבלת מכוניות לפי מספר נוסעים: ממוצע, הסתברות, חציון ורבעון

בכניסה לעיר נספרו המכוניות שנכנסו בשעות הבוקר בשלושה ימים, לפי מספר הנוסעים במכונית (כולל הנהג). הטבלה שלפניכם מציגה את התוצאות.
יוםסך הכול מכוניותנוסע 12 נוסעים3 נוסעים4 נוסעים
ראשון8004122369854
שני75035024010555
שלישי82039526211053
ענו על השאלות הבאות:

יום	סך הכול מכוניות	נוסע 1	2 נוסעים	3 נוסעים	4 נוסעים
ראשון	800	412	236	98	54
שני	750	350	240	105	55
שלישי	820	395	262	110	53

א.

מהו הממוצע של מספר הנוסעים במכונית ביום ראשון?

ב.

מהי ההסתברות שמכונית שנכנסה לעיר ביום ראשון הסיעה יותר נוסעים מהממוצע ביום זה?

ג.

מהו החציון של מספר הנוסעים במכונית ביום שלישי? הסבירו את משמעות התוצאה.

ד.

מהו הרבעון התחתון של מספר הנוסעים במכונית ביום שני? הסבירו את משמעות התוצאה.

◂ פתרון מלא לשאלה 6

סעיף א

תשובה:

1.7425 נוסעים

ביום ראשון נספרו 800 מכוניות. ממוצע משוקלל:
xˉ=1⋅412+2⋅236+3⋅98+4⋅54800=412+472+294+216800=1394800=1.7425\bar x=\frac{1\cdot412+2\cdot236+3\cdot98+4\cdot54}{800}=\frac{412+472+294+216}{800}=\frac{1394}{800}=1.7425xˉ=8001⋅412+2⋅236+3⋅98+4⋅54​=800412+472+294+216​=8001394​=1.7425
טעות נפוצה: לחלק את 1,394 במספר העמודות (4) ולקבל 348.5348.5348.5 נוסעים למכונית.

סעיף ב

תשובה:

0.485

הממוצע 1.7425, ולכן "יותר מהממוצע" הן המכוניות עם 2, 3 או 4 נוסעים:
P=236+98+54800=388800=0.485P=\frac{236+98+54}{800}=\frac{388}{800}=0.485P=800236+98+54​=800388​=0.485
טעות נפוצה: לעגל את הממוצע ל-2 ולספור רק את המכוניות עם יותר מ-2 נוסעים: 98+54800=0.19\frac{98+54}{800}=0.1980098+54​=0.19 - מכונית עם 2 נוסעים כבר מסיעה יותר מ-1.7425.

סעיף ג

תשובה:

2 נוסעים

ביום שלישי 820 מכוניות - מספר זוגי. החציון הוא ממוצע הנתונים במקומות 410 ו-411.
מצטבר: נוסע 1 - מקומות 1 עד 395; 2 נוסעים - מקומות 396 עד 657.
שני המקומות בקבוצת 2 הנוסעים, ולכן החציון 2+22=2\frac{2+2}{2}=222+2​=2.
משמעות: לפחות מחצית מהמכוניות ביום שלישי הסיעו 2 נוסעים או פחות, ולפחות מחצית הסיעו 2 נוסעים או יותר.
טעות נפוצה: לחשב חציון של מספרי המכוניות שבשורה (53,110,262,39553,110,262,39553,110,262,395) ולקבל 110+2622=186\frac{110+262}{2}=1862110+262​=186.

סעיף ד

תשובה:

נוסע 1

ביום שני 750 מכוניות. מיקום הרבעון התחתון: 750⋅0.25=187.5750\cdot0.25=187.5750⋅0.25=187.5 - לא שלם, ולכן לוקחים את הנתון במקום 188.
מצטבר: נוסע 1 - מקומות 1 עד 350. המקום 188 בקבוצה זו, ולכן הרבעון התחתון הוא 1.
משמעות: לפחות רבע מהמכוניות ביום שני הסיעו נוסע אחד בלבד (הנהג).
טעות נפוצה: לענות 187.5 - זה מיקום הרבעון ברשימה, לא ערכו; הרבעון הוא מספר הנוסעים במכונית שנמצאת במקום הזה.

שאלה 1 · ירידת ערך של שני אופנועים

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

שאלה 2 · הסתברות: שירים בעברית ובאנגלית ברשימת השמעה

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

שאלה 3 · יחס ושטחים: תשלום לוועד בית לפי חדרים או לפי שטח

סעיף א(1)

סעיף א(2)

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

סעיף ה

סעיף ו

שאלה 4 · טריגונומטריה: קרון רכבל עולה בזווית קבועה

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

שאלה 5 · גדילה ודעיכה: ערך של ציור וערך של טרקטור

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג(1)

סעיף ג(2)

סעיף ד

שאלה 6 · טבלת מכוניות לפי מספר נוסעים: ממוצע, הסתברות, חציון ורבעון

סעיף א

סעיף ב

סעיף ג

סעיף ד

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד