מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 9 ברמת בגרות

העמודה הראשונה היא של שנת 2016. הקו המקווקו מראשה מגיע בציר האנכי לערך 400.

המספרים בדיאגרמה הם באלפים, ולכן בשנת 2016 נסעו בקו 400 אלף נוסעים (400,000).

טעות נפוצה: לענות "400 נוסעים" ולשכוח שהמספרים בציר הם באלפים.

העמודה של שנת 2018 היא השלישית. הקו המקווקו מראשה מגיע לערך 449.44.

המספרים בדיאגרמה הם באלפים, ולכן בשנת 2018 נסעו בקו $449.44\cdot1{,}000=449{,}440$ נוסעים.

טעות נפוצה: להזיז את הנקודה העשרונית רק שתי ספרות (להיפטר מהשבר) ולכתוב 44,944 נוסעים. כפל ב-1,000 מזיז אותה שלוש ספרות ימינה.

מספר הנוסעים גדל באחוז קבוע: $A_t=A_0\cdot q^t$.

מ-2016 עד 2018 עברו $t=2018-2016=2$ שנים:

מוציאים שורש: $q=\sqrt{1.1236}=1.06$.

$q=1.06=1+0.06$, ולכן מספר הנוסעים גדל בכל שנה ב-6%.

טעות נפוצה: לספור שלוש שנים (2016, 2017, 2018), לפתור $q^3=1.1236$ ולקבל $q\approx1.0396$, כלומר גידול של כ-$3.96\%$.

מ-2018 עד 2020 עברו שנתיים, ולכן כופלים את מספר הנוסעים של 2018 במקדם פעמיים:

(בדיקה: מ-2016, ארבע שנים: $400\cdot1.06^4\approx504.99$.)

בשנת 2020 נסעו בקו כ-504.99 אלף נוסעים (כ-504,991 נוסעים).

טעות נפוצה: לכפול במקדם פעם אחת בלבד ולקבל $449.44\cdot1.06\approx476.41$ - זה מספר הנוסעים בשנת 2019.

בשנת 2020 היה מספר הנוסעים בשני הקווים שווה, ולכן מספר הנוסעים בקו האוטובוס בשנת 2020 הוא התשובה של סעיף ג:

$A_0\approx504.99$.

מספר הנוסעים בקו האוטובוס קטן בכל שנה ב-9%, ולכן $q=1-0.09=0.91$.

מ-2020 עד 2023 עברו $t=3$ שנים:

בשנת 2023 היו בקו האוטובוס כ-380.55 אלף נוסעים (כ-380,546 נוסעים).

טעות נפוצה: להפחית $3\cdot9\%=27\%$ בבת אחת, כאילו הירידה ליניארית, ולקבל $504.99\cdot0.73\approx368.64$.

10 גזרות שוות, ובכל אחת אותו סיכוי שהגלגל ייעצר בה.

גזרות עם פרס: 3 קפה ועוד 1 ארוחת בוקר, כלומר 4 גזרות.

טעות נפוצה: לספור רק את גזרות הקפה ולענות $\frac3{10}$.

כל אחד מסובב בנפרד, והתוצאה של נועה לא משפיעה על התוצאה של עידו - מאורעות בלתי תלויים.

בכל סיבוב ההסתברות לארוחת בוקר היא $\frac1{10}$.

טעות נפוצה: לחבר, $\frac1{10}+\frac1{10}=\frac15$ - "גם וגם" של מאורעות בלתי תלויים הוא מכפלה.

שני סדרים אפשריים:

נועה ארוחה ועידו קפה: $\frac1{10}\cdot\frac3{10}=\frac3{100}$.

נועה קפה ועידו ארוחה: $\frac3{10}\cdot\frac1{10}=\frac3{100}$.

טעות נפוצה: לחשב סדר אחד בלבד ולענות $\frac3{100}$.

המשלים של "לפחות אחד זוכה" הוא "אף אחד לא זוכה".

ההסתברות שאחד מהם לא יזכה: $1-\frac25=\frac35$.

טעות נפוצה: לחבר $\frac25+\frac25=\frac45$ - המקרה ששניהם זוכים נספר פעמיים.

$ABCD$ מלבן, ולכן $\angle ECF=\angle ABE=90^\circ$.

נתון: $\angle CEF=\angle BAE$.

שני זוגות של זוויות שוות - המשולשים דומים לפי ז.ז.

ההתאמה: $C\leftrightarrow B$ (הזווית הישרה), $E\leftrightarrow A$ (הזווית הנתונה), $F\leftrightarrow E$.

טעות נפוצה: לנמק רק בזוויות הישרות - שני משולשים ישרי זווית אינם בהכרח דומים.

לפי ההתאמה $E\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow B$, הצלע $EC$ מתאימה לצלע $AB$ (שתיהן בין הזווית הנתונה לזווית הישרה).

טעות נפוצה: לכתוב את היחס הפוך, $\frac{180}{135}=\frac43$ - היחס "בין $ECF$ ל-$ABE$" מתחיל בצלע של $ECF$.

לפי ההתאמה $C\leftrightarrow B$, $F\leftrightarrow E$, הצלע $CF$ מתאימה לצלע $BE$:

טעות נפוצה: להציב את כל הצלע $BC$ במקום $BE$ ולקבל $\frac34\cdot255=191.25$ ס"מ.

טעות נפוצה: לשכוח את החלוקה ב-2 ולקבל $33750$ סמ"ר.

טעות נפוצה: להחסיר רק את המשולש $ABE$ ולקבל $45900-10800=35100$ סמ"ר.

במשולש $ABD$ (ישר זווית ב-$B$): $AB$ מול הזווית $28^\circ$, ו-$BD=120$ ליד הזווית:

טעות נפוצה: להשתמש בסינוס כאילו 120 הוא היתר: $120\cdot\sin28^\circ\approx56.34$ מטר.

$C$ על הקטע $BD$, ולכן $BC=BD-CD=120-48=72$.

במשולש $ABC$ (ישר זווית ב-$B$):

טעות נפוצה: להציב את $CD=48$ במקום $BC$: $\tan\alpha=\frac{63.81}{48}$, $\alpha\approx53.05^\circ$. $CD$ אינו צלע במשולש $ABC$.

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $120\cdot8=960$ שניות.

הילד נסע את הקטע $CB$, שאורכו 72 מטר (סעיף ב):

$12<15$, ולכן הילד הגיע 3 שניות לפני רוכב האופניים.

טעות נפוצה: לענות שרוכב האופניים הגיע קודם כי הוא מהיר יותר (8 מטר לשנייה לעומת 6), בלי להתחשב בכך שהדרך שלו ארוכה יותר.

לאופניים החשמליים ולאופני ההרים יחד: $100\%-30\%-10\%=60\%$.

נסמן ב-$x$ את אחוז אופני ההרים; החשמליים: $3x$.

טעות נפוצה: לחלק את $60\%$ ב-3 ("פי 3") ולקבל $20\%$. היחס "פי 3" נותן $x+3x$, כלומר 4 חלקים.

חשמליים: $0.45\cdot60=27$; הרים: $0.15\cdot60=9$; עירוניים: $0.30\cdot60=18$; ילדים: $0.10\cdot60=6$.

בדיקה: $27+9+18+6=60$.

טעות נפוצה: לרשום את האחוזים כמספרים ($45$, $15$, $30$, $10$) - סכומם $100$ ולא $60$.

טעות נפוצה: ממוצע של ארבעת המחירים בלי שכיחויות: $\frac{60+45+30+20}{4}=38.75$ שקלים.

מחיר ההשכרה של אופניים עירוניים ($30$ שקלים) נמוך מהממוצע ($44.75$). הוספת נתונים הנמוכים מהממוצע מקטינה אותו:

טעות נפוצה: לענות "לא השתנה" כי המחירים לא השתנו. נוספו 6 נתונים נמוכים מהממוצע.

סכום התשלום: $50\cdot12=600$ שקלים. אופני ילדים: $12-x$.

בדיקה: $\frac{9\cdot60+3\cdot20}{12}=50$.

טעות נפוצה: להחליף בין המחירים ($20x+60(12-x)=600$) ולקבל $x=3$ - זה מספר אופני הילדים.

בכל יום יורדים מהמכל הכחול 100 ליטרים. ב-4 ימים: $4\cdot100=400$.

טעות נפוצה: לענות 400 - זו כמות המים שהוציאו מהמכל, לא הכמות שנשארה בו.

(אחרי 17 ימים: $1700-17\cdot100=0$.)

טעות נפוצה: לחלק בקצב של המכל הירוק, $\frac{1700}{50}=34$.

הכמות ההתחלתית 1,700, ובכל יום היא קטנה ב-100: $1700-100x$ - ביטוי III. בדיקה: $1700-400=1300$ (סעיף א(1)).

טעות נפוצה: לבחור בביטוי II, $1700+100x$ - לפיו כמות המים גדלה, אבל מוציאים מים מהמכל.

הכמות ההתחלתית 1,200, ובכל יום היא קטנה ב-50: $1200-50x$ - ביטוי I.

טעות נפוצה: לבחור בביטוי IV, $1200x-50$ - בו הכמות ההתחלתית מוכפלת במספר הימים.

בדיקה: במכל הכחול $1700-1000=700$, ובמכל הירוק $1200-500=700$.

טעות נפוצה: לחבר את הקצבים כאילו כמות אחת עולה והשנייה יורדת: $500=150x$, $x\approx3.33$. שני המכלים מתרוקנים, ולכן הפער נסגר רק בהפרש הקצבים, $100-50=50$ ליטרים ביום.

הגרף שמתחיל ב-1,700 ויורד מהר יותר הוא של המכל הכחול; הגרף שמתחיל ב-1,200 הוא של המכל הירוק.

נקודת החיתוך: כעבור 10 ימים, עם 700 ליטרים בכל מכל (סעיף ג) - לכן $b=10$, $a=700$.

הגרף של המכל הכחול פוגש את ציר הזמן כשהמכל מתרוקן - כעבור 17 ימים (סעיף א(2)) - לכן $c=17$.

טעות נפוצה: לכתוב ב-$c$ את הזמן שבו מתרוקן המכל הירוק, $\frac{1200}{50}=24$ - הגרף שפוגש את הציר ב-$c$ הוא של המכל הכחול.