מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 12 ברמת בגרות

תחילת 2017 היא נקודת ההתחלה של הגרף: $40{,}000$ מנויים.

לתחילת 2020 עולים מהשנה 2020 אל הגרף וממשיכים לאורך הקו המקווקו אל הציר האנכי: $46{,}305$ מנויים.

טעות נפוצה: לטעות בשנה ולקרוא את הגרף מעל 2019 (שם יש $40{,}000\cdot1.05^2=44{,}100$ מנויים) במקום מעל 2020, שממנה יוצא הקו המקווקו.

מתחילת 2017 עד תחילת 2020 עברו $t=3$ שנים:

$q=1.05$ פירושו גדילה של $5\%$ בשנה.

טעות נפוצה: לחשב גידול כולל של $15.7625\%$ ולחלק ב-3 - ומקבלים כ-$5.25\%$ בשנה. האחוז השנתי מחושב בכל שנה מהכמות החדשה, ולכן מוציאים שורש שלישי מהמקדם ולא מחלקים את האחוז.

מתחילת 2017 (נקודת ההתחלה של הגרף) עד תחילת 2022 עוברות $t=5$ שנים:

בתחילת 2022 יהיו כ-$51{,}051$ מנויים.

טעות נפוצה: להתחיל מ-$46{,}305$ (תחילת 2020) ולהעלות בחזקת 5 - ומקבלים כ-$59{,}098$. מ-2020 עד 2022 עוברות רק שנתיים: $46{,}305\cdot1.05^2\approx51{,}051$.

תחילת 2015 היא שנתיים לפני תחילת 2017. מספר המנויים של 2015 גדל במשך שנתיים ל-$40{,}000$:

בתחילת 2015 היו כ-$36{,}281$ מנויים.

טעות נפוצה: לכפול ב-$0.95$ לכל שנה אחורה - $40{,}000\cdot0.95^2=36{,}100$. ירידה של $5\%$ אינה מבטלת עלייה של $5\%$; חוזרים אחורה בחלוקה ב-$1.05$.

טעות נפוצה: לחלק במספר הסוללות המשומשות ($300-75=225$) ולקבל $\frac{75}{225}\approx0.333$.

ההסתברות להוציא סוללה משומשת: $1-0.25=0.75$.

הצעצוע יכול לפעול עם סוללה חדשה או עם סוללה משומשת. כופלים לאורך כל מסלול ומחברים:

טעות נפוצה: לקחת ממוצע פשוט, $\frac{0.9+0.4}{2}=0.65$, אף שרוב הסוללות משומשות.

הסוללה מוחזרת למגירה, ולכן שתי הפעמים בלתי תלויות, ובכל אחת מהן ההסתברות שהצעצוע יפעל היא 0.525.

טעות נפוצה: לחשב כאילו שתי הפעמים הן עם אותה סוללה: $0.25\cdot0.9^2+0.75\cdot0.4^2=0.3225$. אבל בפעם השנייה רון מוציא סוללה חדשה באקראי.

המשולש $ABC$ שווה שוקיים ($AB=AC$), ו-$AF$ מאונך לבסיס $BC$. במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס חוצה את הבסיס, ולכן:

המשולש $AFC$ ישר זווית ב-$F$, ו-$AC$ הוא היתר. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: להציב את כל הבסיס $BC=4.2$ כניצב: $\sqrt{2^2+4.2^2}\approx4.65$ - הניצב במשולש $AFC$ הוא רק חצי מהבסיס.

הקודקוד $A$ מתאים לעצמו, ושוק מתאימה לשוק: המוט $AC$ (שוק במשולש $ABC$) מתאים למוט $AD$ (שוק במשולש $ADE$).

טעות נפוצה: לחלק את הבסיס $BC$ בשוק $AD$: $\frac{4.2}{2.32}\approx1.81$ - אלה צלעות שאינן מתאימות.

הגובה $AG$ במשולש $ADE$ מתאים לגובה $AF$ במשולש $ABC$, והמשולש $ADE$ הוא הקטן:

הנקודה $A$ נמצאת בין $F$ ל-$G$, ולכן:

טעות נפוצה: לכפול ב-$\frac54$ במקום ב-$\frac45$ ולקבל $AG=2.5$ ו-$FG=4.5$ - אבל $AG$ שייך למשולש הקטן, ולכן הוא קצר מ-$AF$.

$AB=AC=2.9$ ו-$AE=AD=2.32$ (שני המשולשים שווי שוקיים). האורך הכולל של ארבעת המוטות המשופעים:

טעות נפוצה: לשכוח ש-$AE=AD$ ולחבר רק שלושה מוטות: $(2.9+2.9+2.32)\cdot150=1{,}218$.

זוויות המעוין: $110^\circ$ ו-$180^\circ-110^\circ=70^\circ$. בסרטוט הזוויות הקהות הן ב-$B$ וב-$D$.

האלכסונים מאונכים, חוצים זה את זה וחוצים את הזוויות. במשולש $AOB$: $\angle AOB=90^\circ$, $AB=40$, $\angle ABO=\frac{110^\circ}{2}=55^\circ$.

הפס הקצר הוא $BD$ - האלכסון שיוצא מהזוויות הקהות. $BO$ צמוד לזווית $55^\circ$:

טעות נפוצה: לשכוח להכפיל ב-2 ולענות $22.94$ ס"מ - זה רק הקטע $BO$.

באותו משולש, $AO$ נמצא מול הזווית $55^\circ$:

טעות נפוצה: לחשב את $AO$ מ-$BO$ בעזרת טנגנס הפוך, $AO=\frac{BO}{\tan55^\circ}\approx16.06$, ולקבל $AC\approx32.13$ ס"מ - קצר מהפס "הקצר". $AO$ הוא הניצב שמול הזווית $55^\circ$, ולכן $AO=BO\cdot\tan55^\circ$.

שטח מעוין הוא מחצית מכפלת האלכסונים:

טעות נפוצה: לא לחלק ב-2 ולקבל $\approx3007.0$ סמ"ר.

הזווית החדה $70^\circ$, ולכן הזווית הקהה $180^\circ-70^\circ=110^\circ$ - בדיוק הזוויות של השלט של דנה, עם אותה צלע. זה אותו מעוין.

חישוב ישיר: האלכסון $AC$ חוצה את הזווית החדה, ולכן $\angle BAO=35^\circ$:

הפס הקצר $BD\approx45.89$ ס"מ, והפס הארוך $AC\approx65.53$ ס"מ.

טעות נפוצה: לא לחצות את הזווית ולחשב במשולש עם $70^\circ$: $80\cos70^\circ\approx27.36$ ו-$80\sin70^\circ\approx75.18$.

לשני השלטים אותה צלע ואותן זוויות ($70^\circ$ ו-$110^\circ$), ולכן אותם אלכסונים (סעיף ג(1)).

שטח המעוין נקבע מהאלכסונים, ולכן אלי צריך בדיוק אותו שטח נייר כמו דנה: $\approx1503.5$ סמ"ר.

טעות נפוצה: לחשב את השטח כצלע בריבוע, $40\cdot40=1600$ סמ"ר, כאילו השלט ריבועי.

הסרט עובר לאורך ההיקף, ולמעוין ארבע צלעות שוות:

טעות נפוצה: לחבר את אורכי פסי העץ: $45.89+65.53\approx111.42$ ס"מ. פסי העץ הם האלכסונים, לא השוליים.

הסכום גדל ב-2.5% בכל שנה, ולכן מקדם הגדילה הוא $q=1+0.025=1.025$, והכמות ההתחלתית היא $A_0=62{,}000$.

מתחילת 2018 עד תחילת 2025 עברו $t=2025-2018=7$ שנים.

טעות נפוצה: לספור את השנים 2018 עד 2025 כ-8 שנים ($t=8$), ומקבלים $62{,}000\cdot1.025^8\approx75{,}541$ - בתחילת 2025 הכסף גדל רק 7 פעמים.

מחפשים $t$ שעבורו $62{,}000\cdot1.025^t=66{,}767$, כלומר

מנסים ערכים: $1.025^2\approx1.0506$, $1.025^3\approx1.0769$ - ולכן $t=3$.

בדיקה: $62{,}000\cdot1.025^3\approx66{,}767$.

3 שנים אחרי תחילת 2018 - בתחילת שנת $2018+3=2021$.

טעות נפוצה: לספור את 2018 כשנה הראשונה ולענות 2020 - בתחילת 2020 עברו רק שנתיים, והיו בתוכנית כ-$65{,}139$ שקלים.

נסמן ב-$q$ את מקדם הדעיכה. מתחילת 2021 עד תחילת 2023 עברו 2 שנים:

$q=0.95=1-0.05$, ולכן המחיר קטן בכל שנה ב-5%.

טעות נפוצה: לחשב את הירידה הכוללת, $\frac{90{,}000-81{,}225}{90{,}000}=0.0975$, ולענות שהמחיר קטן ב-9.75% בכל שנה - זו הירידה בשתי השנים יחד.

מחיר הקרוואן בתחילת 2025 - שנתיים אחרי תחילת 2023, ולכן כופלים ב-$q^2$:

(או מ-2021: $90{,}000\cdot0.95^4\approx73{,}306$.)

בתוכנית החיסכון בתחילת 2025 היו כ-$73{,}699$ שקלים (סעיף א).

$73{,}699>73{,}306$, ולכן הסכום הספיק לקניית הקרוואן.

טעות נפוצה: לכפול ב-$0.95$ פעם אחת בלבד, $81{,}225\cdot0.95\approx77{,}164$ - זה המחיר בתחילת 2024 - ולהסיק שהחיסכון לא הספיק. מ-2023 עד 2025 עברו שתי שנים.

בתחילת 2021 החשבון של מועדון ב' היה במינוס, ולכן הגרף שלו מתחיל מתחת לציר ה-$x$ - זה גרף I.

הוא גם התלול מבין השניים: 750 שקלים בחודש לעומת 450.

טעות נפוצה: לבחור בגרף II כי מימין לנקודת החיתוך הוא הנמוך מבין השניים, מתוך מחשבה שהחשבון שהתחיל בחוב יישאר תמיד עם פחות כסף. מועדון ב' מוסיף יותר בכל חודש ולכן עוקף את מועדון א'; את הגרף מזהים לפי נקודת ההתחלה מתחת לציר ה-$x$ - גרף I.

ב-$y=b+mx$: $b$ הוא הסכום בתחילת 2021 ו-$m$ הוא התוספת החודשית.

מועדון א': $b=1{,}200$, $m=450$ - ביטוי 1.

מועדון ב': $b=-3{,}900$, $m=750$ - ביטוי 2.

טעות נפוצה: להחליף בין הסכום ההתחלתי לתוספת ולבחור בביטוי 3 למועדון א' ובביטוי 4 למועדון ב'.

מציבים $x=5$ בביטוי של מועדון ב':

הסכום שלילי, ולכן כעבור 5 חודשים החשבון עדיין היה ביתרת חובה (של 150 שקלים).

טעות נפוצה: לחשב $3{,}900-3{,}750=150$, לאבד את הסימן ולהסיק שבחשבון יש 150 שקלים ושהוא כבר לא ביתרת חובה.

בדיקה: $1{,}200+450\cdot17=8{,}850$ וגם $-3{,}900+750\cdot17=8{,}850$.

טעות נפוצה: להעביר את $-3{,}900$ בלי להחליף סימן: $1{,}200-3{,}900=300x$, ולקבל $x=-9$.